专题23概率统计解答题突破C辑（解析版）

2021年高考数学压轴必刷题（第三辑）

专题23概率统计解答题突破C辑

1.某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调

查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：

月份123456

销售单价（元）99.51010.5118

销售量（件）111086514.2

（1）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；

（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过（）.5元，则认为所得到的回归直

线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元

/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润:销售收入-成本）.

参考公式：回归直线方程+其中6=县警二2，，>/=392,£>:=502.5,

V.Xf—nx~/=li=l

【答案】（1）y=-3.2x+40.

（2）可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

（3）该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大.

【解析】

(1)因为x=g(9+9.5+10+10.5+11)=10,=g(ll+10+8+6+5)=8,

392-5x10x8

所以，==-3.2,则4=8-(一3.2卜10=40,

502.5-5xlO2

于是y关于X的回归直线方程为?=-3.2X+40；

(2)当x=8时，y=-3.2x8+40=14.4,则|夕一引=14.4-14=0.4v0.5,

所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的;

(3)令销售利润为W,则W=(x-Z5乂-3.2x+40)=-3.2f+48x-100(2.5<x<12.5),

因为卬=3.2/(_/+]5)_]00工3.2><仔—；+15)_1Oo=8O^

当且仅当％=—x+15,即％=7.5时，W取最大值.

所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大.

点睛：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属中档题.

2.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了上比技术改造后的效果，采集

了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，并绘制了如茎叶图：

改造前改造后

986551S

S66543221022679

5441323345677S9

0411223

(1)①设所采集的40个连续正常运行时间的中位数小，并将连续正常运行时间超过阳和不超过〃7的次

数填入下面的列联表:

超过团不超过

改造前ab

改造后Cd

②根据①中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？

-be?

附:

(4+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

P[K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(2)工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两

种.对生产线设定维护周期为7天（即从开工运行到第Z7天伏£N"）进行维护.生产线在一个生产周期内设

置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护

费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第•次为

0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内

的维护方案：7=30,k=l、2、3、4.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率

作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.

【答案】（1）①填表见解析；②有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）

答案不唯一，具体见解析.

（1）①由茎叶图的数据可得中位数机=30,

2

根据茎叶图可得：。=5,b=\5,c=15,d=5,则2x2列联表如下表所示：

超过加不超过m

改造前515

改造后155

②根据①中的列联表，犬=4°X（5X5-15X15）

=10>6.635*

20x20x20x20

因此，仃99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；

（2）120天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，

一个维护周期内,以牛产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得

51

p——=一，

204

（1、

设一个生产周期内需要J次维护，4〜B4，z,正常维护费为05x4=2万元，

保障维护费为首项为0.2,公差为0.2的等差数列，共g次维护需要的保障费为

长0.2+0.2+（"1）0.2]一…一

-------------~~-——=0.+0.ig力兀，

故一个生产周期内保障维护X次的生产维护费为（0.修2+0.14+2）万元，

设•个生产周期内的生产维护费为X万元，则X可能取值为2、2.2、2.6、3.2、4.

则尸（X=2）=《•

门、3

33

尸（X=3.2）=C；-

\4>4-64

尸（X=4）=（；1

256

则X的分布列为:

X22.22.63.24

81272731

P

2566412864256

oI77273+4x—^―=5824=2.275（万元）.

故E（X）=2x——+2.2x—+2.6x——+3.2x—

—2566412864256256

3.2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为

病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（（7。皿。5加江）说农6239,COV/D-19）,简称“新冠

肺炎”下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.

为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数V与时间变量/的两个回归模

型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量，的值依次为1,2...,10）建立模型孑=c+力和

§=a+615.

（1）根据散点图判断，§=c+A与力1.5'哪一个适宜作为累计确诊人数》与时间变量，的回归方

程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于/的回归方程：

（3）以下是I月25R至1月29日累计确诊人数的直实数据.根据（2）的结果问答下列问题:

时间1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日

累计确诊人数的真实数据19752744451559747111

（/）当1月25日至1月27日这3天的误差）模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）

都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？

（"）2020年1月24日在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新

冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施

是否有效？

附：一组数据（%,用），…，回归直线口二。+44公式为

y（wz-w）（vi,-v）£/匕一加

P—二^=卷——片-河

unu

Z（«；-«）Xi-

i=l/=1

_110

参考数据：其中用=1.53（0=—\（0,.

1UM

10%10;1010

1112,314,5

tyco力a1.51.51.51.51.5

1=1i=li=l1=1

5.539019385764031525154700100150225338507

【答案】（1）§适宜；（2）y=10+201.5/：（3）（/）可靠；（//）有效.

解：（1）根据散点图可知：¥=。+415适宜作为累计确诊人数V与时间变量/的回归方程类型;

（2）设&=15，则

ioio___

£3一可（ye）154700_10xl9x390

,以*同=764。一小面-'

；-1r-1

4=歹—酝=390—20x19=10，・•・y=10+201.5/；

|2010-1975|

(3)⑴f=ll时，9=2010,<0.1

1975

当E2时,整3。]。网翳㈣

当，=13时，亍=4510,邑1。一4515|<0],所以⑵的回归方程可靠;

4515

(/7)当1=15时，£=10150,10150远大于7111,所以防护措施有效.

4.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购

买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器

时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面

柱状图：

0161718192021更换的易损零件数

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单

位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.

(I)若n=19,求y与工的函数解析式；

(II)若要求“需更换的易损零件数不大于〃”的频率不小于05求n的最小值；

(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件，分别计算这

100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是2

0个易损零件？

3800,E9,,、

【答案】⑴y={s八CMs(kwN)；(2)19;(3)购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

500x-5700,x>19/7

【解析】

(I)当客*：!粤时，)=3800：当富忸调时，y=3800+500(x-19)=500x-5700,所以声与熏的函

3800,x<19,

数解析式为y={(xeN).

500x-5700,x>19,

(II)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故廖的最小值为1

9.

(III)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用

为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的

平均数为」-x(3800x70+4300x20+4800xl0)=4000.

100

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为400

0,10台的费用为4500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

j^x(4000x90+4500x!0)=4050.

比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

5.2019年2月13日《西安市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习

惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情

况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数;

(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[657.5),[7.5,8.5)的学生中抽

取9名参加座谈会.

(/)你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；

(”)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多.请根据200名学生的调研数据，填写下面的2x2列联

表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足(每周阅读时间不足8.5小时)与“是否理工类专

业”有关？(精确到0.1)

阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时

理工类专业4060

非理工类专业

n(ad-bc)2

附：K2=(n=a-\-b-vc+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

尸（八即）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）9,（2）（/）每周阅读时间为［6.5,7.5）的学生中抽取3名，每周阅读时间为［7.5,8.5）的学生

中抽取6名.理由见解析，（"）有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关.

（1）6x0.03+7x0.1+8x0.2+9x0.35+10x0.19+11x0.09+12x0.04=9

（2）U）每周阅读时间为［6.5,7.5）的学生中抽取3名，每周阅读时间为［7.5,8.5）的学生中抽取6名.

理由：每周阅读时间为［6.5,7.5）与每周阅读时间为［7.5,8.5）是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结

构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1,0.2,所以

按照1:2进行名额分配

（ii）2x2列联表为：

阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时

理工类专业4060

非理工类专业2674

200x(40x74-26x60)2

K二=_______：_________________«4.4>3.841

-66x134x100x100

所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关.

6.“一本书,一碗面.一条河,一座桥”曾是兰州的城市名片,而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另

一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与

马拉松训练与比赛的人口逐年增加.为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查.其中一项

调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统

计，得到以下统计表:

平均每周进行长跑训练的天数不大于2天3天或4天不少于5天

人数3013040

若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”.

（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；

（2）根据上表的数据，填写下列2x2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提

下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？

热烈参与者非热烈参与者合计

男140

女55

合计

参考公式及数据：K2=-------------------------，其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k{})0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）4000；（2）不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关

（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者”的人数约为：20000X^=400

0.

(2)

热烈参与者非热烈参与者合计

男35105140

女55560

合计40160200

K2=200x（35x55-105x5）^^>292>6635>

40x160x140x60

故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关.

7.某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金

额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个

学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方

图，图（2）是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.

（I）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数：

（II）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2x2联

表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？

（01）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X,

求随机变量X的分布列和期望.

p«>%0.100.050.0100.0050.001

k。2.713.846.647.8810.83

2二n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(I)160人；(H)有；(HI)见解析.

⑴获得三等奖学金的频率为：

(0.008+0.016+0.04)x5x0.15+(0.04+0.056+0.016)x5x0.4+(0.016+0.008)x5x0.4=0.32

500x0.32=160.

故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160人.

(n)每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有

500x(0.008+0.016+0.04+0.04+0.056+0.016)x5=440人，

其中获得一、二等奖学金学生有

500x(0.008+0.016+0.04)x5x0.05+500x(0.04+0.056+0.016)x5x(0.25+0.05)=92

每周谡外学习时间超过35小时称为“努力型”学生有500x0.12=60人，

其中获得一、二等奖学金学生有60x(0.35+0.25)=36人，

2x2列联表如图所示：

“非努力型”学生“努力型”学生总计

获得一二等奖学金学生9236128

未获得一二等奖学金学

34824372

生

总计44060500

500x(348x36-92x24)2

K2«42.36>10,83

440x60x128x372

故有99.9%的把握认为获得•二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关;

(HI)X的可能取值为0,600,1500,3000

P(X=600)=0.32,

P(X=1500)=0.198,

P(X=3000)=0.058,

p(X=0)=l-0.32-0.198-0.058=0,424

X的分布列

X060015003000

P0.4240.320.1980.058

其期望为EX=0x0.424+600x0.32+150(h0.198+3000x0.058=192+297+174=663元.

8.2018年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与

此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂

愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加.

某读书APP抽样调查了非一线城市M和一线城市N各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频

率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户7

城市M

震不N

（1）请填写以下2x2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关?

活跃用户不活跃用户合计

城市M

城市N

合计

（2）以频率估计概率，从城市M中任选2名用户，从城市N中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户

的人数为求J的分布列和数学期望.

（3）该读书APP还统计了2018年4个季度的用户使用时长y（单位：百万小时），发现y与季度（X）线

性相关，得到回归直线为£=4x+3,已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归

方程估计2019年第一季度（x=5）该读书APP用户使用时长约为多少百万小时.

附：尸=（»）（%?）（"“）’其中〃="+,+°+小

尸（六“。）

0.0250.0100.0050.001

k。5.0246.6357.87910.828

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）22.3百万小时

（1）由已知可得以下2x2列联表：

活跃用户不活跃用户合计

城市M6040100

城市N8020100

合计14060200

i+gK2=2()()x(60x20-8()x40r=200%9>524>7>879，

100x100x140x6021

所以有99.5*的把握认为用户是否活跃与所在城市有关.

34

(2)由统计数据可知，城市M中活跃用户占城市N中活跃用户占

设从M城市中任选的2名用户中活跃用户数为X，则乂~8(2,|

4

设从N城市中任选的1名用户中活跃用户数为y,则y服从两点分布，其中p(y=i)=g.

故g=0,l,2,3,

1_4

尸(g=0)=尸(X=

5~125

P传=i)=P(x=o)P(y=i)+P(x=i).p(y=o)=c*J?+c；|*|q噫;

234(33\1_57

尸(g=2)=p(x=i).p(y=i)+p(x=2)p(y=o)=Cw：w+cl

155~125

/、2

%=3)=p(x=2)p(y=i)=C；4=--

\/J14J

故所求专的分布列为

g0123

4285736

p

125125125125

E(^)=Ox—4-lx—+2x—+3x—=2.

'/125125125125

(3)由已知可得亍=2.5,又9=12.3,

可得12.3=4x2.5+4,所以4=2.3,所以$，=4x+2.3.

以x=5代入可得9=22.3(百万小时)，

即2019年第一季度该读书APP用尸使用时长约为22.3百万小时.

9.已知在生产设备正常的情况下，某零件生产线生产的零件尺寸X(单位：mm)服从正态分布

N(85,4),当零件尺寸X满足3G,X<〃+3o"时合格，当X-3cr或X../+3。时不合格.

(1)已知当零件合格时，每个零件利润为10元；当零件不合格时，每个零件亏损200元.假设这条生产线

每天生产10000个这样的零件，则在生产正常的情况下，求该生产线每天利润的期望；

(2)为了了解生产线的生产是否正常，需要对零件进行检测.该生产线每天自动检测100个零件，设零件

不合数为"，8(100,0.003),〃=%(心N')时我们认为该生产线正常生产的概率为尸(%),当

生产线生产的概率低于0.02时我们判定生产线异常.

某天该生产线检测的零件尺寸如下：

尺寸/mm[78,79)[79,91)[91,92]合计

件数1981100

根据以上检测数据判断该生产线是否异常.

(附：若随机变量X服从正态分布'(〃,4),则尸(〃-g,Xv"+cr)=68.3%,

P(〃-2G,X<〃+2b)=95.4%,P(〃-W,X<〃+3b)=99.7%,0.997*0.740,

9c98

C：000997x0.003x0.223,C.^0.997x0.003«().033)

【答案】(1)937007E；(2)生产线异常.

(1)设一个零件盈利y元，则丫的分布列为

Y10-200

概率0.9970.003

£(y)=10x0.997+(-200)x0.003=9.37,所以10000x9.37=93700,

则生产正常的情况下，该生产线每天利润的期望是93700元.

(2)因为M=85,cr=2,所以79Kx<91时，零件合格,

所以自动检测的100个零件中不合格的有2个，即〃=2,此时生产线正常生产的概率

P（7>2）=1-P（?7=O）-P（?7=1）-P（77=2）

100982

=1-O.997-C：0no.997"x0.003-C^O.997x0.003

«1-0.0740-0.223-0.033=0.004

因为0.004v0.02,所以可以判定生产线异常.

10.某厂计划购买50台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零件，若在

购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需300元.在使用期间如果备件不足再购

买，则每个要500元.所以在购买前要决策购买数目.使得该厂购买机床时搭配的易损备用零件费用最

省.为此业内相关人员先搜集了50台以往这种机床在四年内更换的易损零件数，并整理数据后得如下柱状

图.

每台

更

换易

损

零件

数

以这50台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率.记X表示2台机床

四年内实际共需更换的易损零件数，〃表示购买2台机床的同时备用的易损零件数目，P（X=〃）为购买

机床时备用件数〃发生的概率.

（1）求P（XW0.5时〃的最小值；

（2）求X的分布列及备用的易损零件数〃=19时X的数学期望；

（3）将购买的机床分配给50名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同而加工

出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量x表示不同技工的年龄，变量V为相应的效益值

（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和y关于工的线性回归方程

y=1.2x+40,已知他们年龄x的方差为14.4,所对应的效益方差为4=22.5.

①试预测年龄为50岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益;

②试根据，•的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱.

附：下面三个计算回归直线方程y=bx+a的斜率3和截距a及表示随机变量”与y相关关系强弱的系数

「计算公式：…热可’飞(；w序可

【答案】(1)19；⑵分布列见解析，E(X)=5490元；⑶①100元；②该机床的技工所产生的日经

济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系.

(1)根据图示柱表，易知更换易损零件的频数为10的频率为为=0.2.易损零件的频数为20的频率为

20八)

—=0.4.

50

•・•将频率视为概率，且知每台机床易损零件的发生与否是相互独立的，结合图表得：

当X=16时，P(X=16=8+8)=0.2x0.2=0.04：

当X=17时，P(X=17=8+9=9+8)=0.2x0.4+0.4x0.2=0.16；

当X=18时，P(X=18=94-9=10+8=8+10)=0.4x0.4+2x0.2x0.2=0.24；

当X=19时，P(X=19=10+9=9+10=11+8=8+11)=2x0.4x0.24-2x0.2x0.2=0.24.

据互斥事件发生的概率知P(XW18)=P(X=16)+P(X=17)+尸(X=18)=0.44<0.5；

P(X<19)=P(X<18)+P(X=19)=0.44+0.24=0.68>0.5.

于是力的最小值为19；

(2)由(1)进而知，随机变量X的可能取值为：16、17、18、19、20、21,

当X=20时，P(X=20=10+10=11+9=94-11)=0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.2；

当X=21时，P(X=21=10+11=11+10)=2x0.2x0.2=0.08：

当X=21时，P(X=22=11+11)=0.2x0.2=0.04.

于是分布列为：

X16171819202122

P0.()40.160.240.240.20.080.04

进而结合(1)知.当备用的易损零件数，=19时,X随机变曷取值为16、17、18、19、20、21,需

注意的是，虽备用的易损零件数〃=19时，但发生的概率仍按实际需要的X台机床时计算.

则购买易损零件所产生的实际费用数学期望为

E(X)=19x300x0.04+19x300x0.16+19x300x0.24+19x300x0.24

+(19x300+500)x0.2+(19x300+2x500)x0.08+(19x300+3x500)x0.04

=19x300(0.04+0.16+0.24+0.24)+1240+536+288=3876+1488+536+288=5940(元)；

(3)①先根据回归方程易知£=1.2x50+40=100(元)，即50岁的技工日使用该机床产生的效益为

1007U;

②•・•由方差计算公式知s；='+(“2_%)+…+(如—x)J

即等价化为50s；=■7)2+(W-到2+…+(/0一,~,

同理50s；=(%-y)2+(%—y)2+…+(%—),)2

又s；=14.4,s；=22.5,A=1.2,据公式求出相关系数厂则有

,=l二元)?一方=zla一元)(丫一方*

―亚/厂分*后:仙一寸一70^7

易知：该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系.

U.新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒.我们把

与这种身带新型冠状病毒(称之为患者)有过密切接触的人群称为密切关联者.已知每位密切关联者通过

核酸检测被确诊为阳性后的概率为〃(Ovpvl).一旦被确诊为阳性后即将其隔离.某位患者在隔离之

前，每天有2位密切关联者与之接触(而这女个人不与其他患者接触)，其中被感染的人数为

X(O<X《A).

(1)求一天内被感染人数X的概率〃(x)的表达式和X的数学期望;

(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间.设

每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与女位密切关联者接触.从某一从名患者被带新型冠状病毒

的第1天开始算起，第〃天新增患者的数学期望记为（九之2）.

①当左=10，P=g，求七8的值；

②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被

感染患病的概率p'满足关系式p'=ln（l+p）—当p'取得最大值时，计算p'所对应的线'和〃所对

应的E值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取力二10）.

1?

（参考数据：ln2“0.7,旧3六1.1,In5kl.6,-«0.3,7ko.7,66=46650计算结果保留整数）

337

【答案】⑴p（X）=C^px[\-p）K~X（0<X<K）,E（X）=Kp；（2）©233280；②线=6480

（人）；线'=16（人）；必要性见解析.

（1）根据题意，因为任何一个与患者密切接触的关联者，被感染（患病）的概率均为“，

又每天有％位密切关联者与一患者接触，设事件A：被病毒感染的人群，

随机变量X的取值为：0,1,2,…，k.显然事件A服从二项分布X~8（£p）,

即p（X）二点pX（1—p）K'X（0<X<K）,显然E（X）=.

（2）①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1,

第2天被感染人数增至为：l+lkp=T+kp；

第3天被感染人数增至为：（1+切）+（1+切）切=（1+切）2,

显然第〃一1天被感染人数增至为；（1+3）”-2,第〃天被感染人数增至为；（1+切）”T,

于是根据题意中均值定义，第〃天新增加人数的数学期望纥=（1+切广1-（1+切）”，

即纥=S（l+S）”—2,于是&=10x±l+10x±=5x66=233280.

②根据题意函数p'=〃p）=ln（l+p）-|p,求导得：/（〃）=焉告3；二）'

当且仅当T。,小时，r（p）>o,此时P'=/（P）单调递增；当PE卜，r（p）«o，

即p'=/(p)单调递减，于是P,M/XP'UX-p(g)=ln3_ln2_；k0.1.

此时p=g,〃'=0.1,

于是E6=10xg(l+10xg)=5X64=6480(人)，

F^IOX—fl+10x—=2"=161人).

610110J

经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为16人，

而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为6480人，

即线远大于于是戴口罩是非常必要的.

12.某种疾病可分为I、II两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病

人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患I型病的人数占男性病人的』，女性患I型病的人数占女性

6

病人的L

3

(1)若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少

人？

(2)某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排2个接种周

期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为P,每人每次接种花费加(〃2>0)元，每个周

期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种

至第一周期结束，再进入第二周期；第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试

验结束；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为4,每人每次花费〃(九>0)元，每个周期接种3

次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入

第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.

①若甲团队的试验平均花费大于乙团队的试验平均花费，求P、9、加、〃满足的关系式；

②若用二〃，p=2q,从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？

附：雨=7(a+Z\?)(ca+d*)(林a+)1c)(—Z?+d)

P[K24）0.100.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）12人；（2）®（）nqy-9nq2+2mp2+6n-6m<0：②见解析

解：（1）设男性患者有z人，则女性患者有2z人，列联表如下：

I型病n型病合计

5zz

男z