教材+真题特色微专题：三次函数图象及性质 解析版

于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.(1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心；【解析】(1)∵f(x)=x3-3x2=(x-1)-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-g(x).∴g(x)为奇函数.∴f(x)=x3-3x2的图象关于点(1,-2)对称.即f(x)=x3-3x2的图象的对称中心是点(1,-2).解：函数f(x)=x3-x2-2x+1的定义域为R．对f(x)求导数得f/(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).x(-∞,-1)-1(-1,2)2f/(x)+0-0+f(x)11小值.f(x)=x3-4x+4有极小值，并且极小值 -．上述结论可以从函数f(x)=x3-4x+4在区间[0,3[上的图象(图5.3-16)得到直观验证.5.人教B版2019年选择性必修三P113复习题B组第4题：已知【答案】(-∞,-9[∪[3,+∞((1)你能归纳函数f(x(图象的大致形状吗？它的图象有什么222-3ac≤02-3ac>02-3ac≤02-3ac>0(1)求f(x(的极值；(2)求f(x(的单调区间；(3)求f(x(在区间[-5,1[上的最大值与最小值。2-33f/(x0(=-(x1-x2(2。A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f(x2(C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x)【解析】对A，因为函数f(x(的定义域为R，而f/(x(=2(x-1((x-4(+(x-1(2=3(x-1((x-3(，易知当xf/(x(<0f/(x(>0，函数f(x(在(-∞,1(上单调递增，在44-x2=x(1-x(>0，所以1>x>x2>0，而由上可知，函数f(x(在(0,1(上单调递增，所以f(x(>f(x2(，错f(2x-1(>f(3(，即-4<f(2x-1(<0，正确；对D，当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=(1-x(2(-2-x(-(x-1(2(x-4(=(x-1(2(2-2x(>0，所以f(2-x)>f(x)，正确；故选ACD.D.存在a，使得点(1,f(1((为曲线y=f(x)的对称中心∈(-∞,0(∪(a,+∞(时f/(x)>0，故f(x)x=a处取到极小值，由f(0)=1>0，f(a)有一个零点，又f(-1)=-1-3a<0，f(2a)=4a3+1>0，则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0，则f(x)在(-1,f(x)=f(2b-x)，即2x3-3ax2+1=2EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(3),3)f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a，r12-6a=0(18-12a=6-6af(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线x(=3x2-1，令f/(x(>0得x>或x<-，令f/(x)<0得-<x<，55()2a(x-a(2(x-b(的极大值点，∴在x=a左右附近都是小于零的.f(x(的图象如下图所示：2f(x(的图象如下图所示：22成立.=f(x)在点(0,0(处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x故选D.66【解析】由f'(x(=6x2-2ax=0得x=0,x=，因为函数f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点且f1]上单调递减，所以f(x)max=f(0)，f(x)min=min{f(-1),f(1){=f(-1)，最大值与最小值的和为f(0)+f(-1)=1-4=-3.7.(2014高考数学课标1理科A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)(x)<0;x∈,+∞(,f/(x)>0;且f(0)=1>0,f(x)有小于零的零点,不符合题意．当 且x0>0,只需f>0,即a2>4,a<-2．选B令t=,则问题又等价于a=-t3+3t有唯一的正零根,即y=a与y=-t3+3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧记f(t)=-t3+3t,f/(t)=-3t2+3,由f/(t)=0,t=±1,t∈(-∞,-1(,f/(t)<0;t∈(-1,1(,f/(t)>0;,t∈(1,+∞(,f/(t)<0,要使a=-需a<f(-1)=-2,选BA.[-5,-3]B.-6,-L|ΓC.[-6,-2]D.[-4,-3]773-x2+4x+3≥0可化为a≥--+，令f(x(=--+，则-6；当-2≤x<0时，ax3-x2+4x+3≥0可化是-6≤a≤-2，即实数a的取值范围是[-6，-2].1.已知三次函数f(x)=x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在定义域R上无极值点，则m的取值A.m<2或m>4B.m≥2或m≤4C.2≤m≤4D.2<m<4f/(x(=x2-2(4m-1(x+15m2-2m-7，由题意得导函数f/(x(=x2-2(4m-1(x+15m2-2m-2-2(4m-1(x+15m2-2m-7≥0恒成立，∴Δ=4(4m-1(2-4(15m2-2m-7(-f/(-2)3.三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是减函数，则m的取值范围是()A.m<0B.m<1C.m≤0D.m≤1882-1≤0minA.0B.1C.2D.3所以f(0)>0>f(1)，又x趋向-∞时f(x)趋向-∞,x趋向+∞时f(x5.已知三次函数f(x(=ax3+x2+cx+有三个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3(，函数g(x(=f(x(-1.则()A.3ac<1C.若g(x(恰有两个不同的零点m,n(m<n)，则2m+n=-D.若g(x(有三个不同的零点t1,t2,t3(t1<t2<t3(，则xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),1)+xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),2)+xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),3)=tEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),1)+tEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),2)+tEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),3),x2,x3成2<-EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),3)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),3)A.f(x(的值域为RB.f(x(图象的对称中心为(0,2(C.当b-3a>0时，f(x(在区间(-1,1(内单调递减99D.当ab>0时，f(x(有两个极值点f(x(-2=ax3-bx满足g(-x(=-ax3+bx=-g(x(，可知g(x(为奇函数，BD.A.f(x)有三个零点B.x=0是f(x)的极小值点C.f(x)的图象关于点(-1,-2)对称D.当0<x<1时，f(x)>f(x2(极小值点，故B正确；对于C，因为f(-1+x)+f(-1-x)=(-1+x+2)2(-1+x-1)+(-1-x+2)2(-1-x-1)=(x+1(2(x-2(+(1-x(2(-2-x(=-4，即f(-1+x)+f(-1-x)=2×(-2(，则f(x)的图象关于点(-1,2A.f(x(在(0,+∞(上单调递增B.当f(x(有且仅有3个零点时，b的取以令f/(x(>0解得x<0或x>2，令f/(x(<0解得0<x<2，故f(x(在区间(-∞,0(或(2,+∞(上单调(0(>0(0(>0EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(b),8)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(>),a)x(=6ax-6a，x(=2-6ax,axEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(3),0)-3axEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),0)+b(，所以在点C处的切线方程为：y-(axEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(3),0)-3axEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),0)+b(=(3axEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),0)-6ax0((x-x0(，又因为切线过点P(2,a(，所以a-(axEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(3),0)-3axEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),0)+b(=(3axEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),0)-6ax0((2-x0(，解得2axEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),0)数可转化为y=g(x(与y=b图象交点个数，g/(x(=6ax2-18ax+12a=6a(x-1((x-2(，9.已知三次函数ax3+bx2+x+c无极值，且满足a+≤8，则a2-b2=.2-4a≤0，即a≥b2>0，所以a+≥b2+≥2=4=16-4=12.10.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示，则EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(f),f)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up11(/),/)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(p),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(m),3m)f(0(=-1，故f(x(=x3+2x-1的对称中心为(0,-1(.故当x1+x2=0时，f(x1(+f(x2(=2×(-1(=-2.=0．记f(x(的极大值为M，则M的取值范围是.【详解】因为f(2-t(=f(t(=f(t(=0，所以t是f(x(的零点也是极值点，2-t也是f(x(的零点，不妨设f(x(=(x+t-2((x-t)2，故f(x(=(x-t)2+2(x+t-2((x-t)=(x-t((x-t+2x+2t-4(=f(x(单调递减，可得f(x(的极大值M=f=(t-1)3，因为t∈(2)若x=1是函数f(x(的极值点，证明：函数f(x(的图象关于点M,f成中心对称.当4a<x<2时，f(x(<0,f(x(单调递减.(4a,2(时，f(x(单调递减.故f(x(=x3-x2+2x+2，所以M,，因为f(3-x(+f(x(=(3-x)3-(3-x)2+2(3-x(+2+x3-x2+2x+2=[(3-x)3+x3[-[(3-x)2+x2[+10=(9x2-27x+27(-(2x2-6x+9(+10=，所以函数f(x(的图象关于点M,成中心对称.14.已知函数f(x(=x(x-c)2.(2)若函数y=f(x(的图象与直线y=-x+c相切，求实数c的值.x(=(x-c)2+2(x-c(⋅x=(x-c((3x-c(，当c=2时，则f'(x(=(x-2((3x-2(，令f'(x(>0，解得x<或x>2；令f'