2025届高考数学大二轮复习层级二专题六概率与统计第3讲概率随机变量及其分布课时作业理

PAGE1-层级二专题六第3讲(理)限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2024·西安模拟)勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，其证明方法有几百种之多，闻名的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的具体证明．如图，在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形CFGH组成的．若Rt△ABC的三边长构成等差数列，则在正方形ABDE内任取一点，此点取自小正方形CFGH内的概率为()A.eq\f(1,49) B.eq\f(3,25)C.eq\f(1,25) D.eq\f(25,49)解析：C[由于Rt△ABC的三边长成等差数列，所以2b＝a＋c，又a2＋b2＝c2，于是(2b－c)2＋b2＝c2，故eq\f(b,c)＝eq\f(4,5)，eq\f(a,c)＝eq\f(3,5).大正方形ABDE的面积为c2，小正方形CFGH的面积为(b－a)2，在正方形ABDE内任取一点，此点取自小正方形CFGH内的概率为eq\f(b－a2,c2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)－\f(a,c)))2＝eq\f(1,25).故选C.]2．(2024·石家庄模拟)《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广阔观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从A，B，C和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,16)解析：B[甲、乙两人从A，B，C和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有4×4＝16(种)等可能状况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的状况有Ceq\o\al(1,2)×3＝6(种)，∴所求概率为eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).]3．某班实行了一次“心有灵犀”的活动，老师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为()A．0.9 B．0.8C．1.2 D．1.1解析：A[由题意得X＝0,1,2，则P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，所以E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.]4．甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，则有人能够解决这个问题的概率为()A.eq\f(13,12) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,24)解析：B[本题主要考查相互独立事务、互斥事务的概率，考查对立事务的概率公式，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题．这个问题没有被解决的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，故有人能够解决这个问题的概率为1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).故选B项．]5．(2024·大连三模)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为eq\f(2,3)，假如甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A．3 B.eq\f(8,3)C．2 D.eq\f(5,3)解析：B[每个轮次甲不能通过的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，通过的概率为1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9)，因为甲3个轮次通过的次数X听从二项分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(8,9)))，所以X的数学期望为3×eq\f(8,9)＝eq\f(8,3).]6．(2024·衡水模拟)某公司为了精确把握市场，做好产品支配，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发觉每天的销量x(单位：件)分布在[50,100)内，且销量x的分布频率f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,10)－0.5，10n≤x＜10n＋1，n为偶数，,\f(n,20)－a，10n≤x＜10n＋1，n为奇数.))若销量大于或等于70件，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，将频率视为概率，则随机变量X的数学期望为()A.eq\f(13,7) B.eq\f(6,7)C.eq\f(16,7) D.eq\f(8,7)解析：C[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n≥50，,10n＋1≤100，))解得5≤n≤9，故n可取5,6,7,8,9，代入f(x)，得eq\f(6,10)－0.5＋eq\f(8,10)－0.5＋eq\f(5,20)－a＋eq\f(7,20)－a＋eq\f(9,20)－a＝1，得a＝0.15.故销量在[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率分别是0.2,0.3,0.3，频率之比为2∶3∶3，所以各组抽取的天数分别为2,3,3，X的全部可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(2,C\o\al(3,8))＝eq\f(2,56)＝eq\f(1,28)，P(X＝3)＝eq\f(2×3×3,C\o\al(3,8))＝eq\f(18,56)＝eq\f(9,28)，P(X＝2)＝1－eq\f(1,28)－eq\f(9,28)＝eq\f(9,14).X的分布列为X123Peq\f(1,28)eq\f(9,14)eq\f(9,28)数学期望E(X)＝1×eq\f(1,28)＋2×eq\f(9,14)＋3×eq\f(9,28)＝eq\f(16,7).故选C.]二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7．(2024·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，实行七场四胜制(当一队赢得四场成功时，该队获胜，决赛结束)．依据前期竞赛成果，甲队的主客场支配依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场竞赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．解析：甲队以4∶1获胜的概率为[Ceq\o\al(1,2)0.6×0.4×0.52＋0.62×Ceq\o\al(1,2)0.5×0.5]×0.6＝0.18.答案：0.188．(2024·宁波三模)某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的工作共分为A，B，C三类工种，依据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频率如表所示，并以此估计赔付概率.工种类别ABC赔付频率eq\f(1,105)eq\f(2,105)eq\f(1,104)若规定该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，则A，B，C三类工种每份保单保费的上限之和为________元．解析：设工种A的每份保单保费为a元，保险公司每份保单的利润为随机变量X，则X的分布列为Xaa－5×105P1－eq\f(1,105)eq\f(1,105)保险公司期望利润E(X)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,105)))＋(a－5×105)×eq\f(1,105)＝(a－5)(元)，依据规定知a－5≤0.2a，解得a≤6.25.设工种B的每份保单保费为b元，同理可得保险公司期望利润为(b－10)元，依据规定知，b－10≤0.2b，解得b≤12.5，设工种C的每份保单保费为c元，同理可得保险公司期望利润为(c－50)元，依据规定知，c－50≤0.2c，解得c≤62.5.则A，B，C三类工种每份保单保费的上限之和为6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元)．答案：81.25三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9．(2024·长沙模拟)东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．依据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，假如两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售状况互不影响，为了解市场的需求状况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)依据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？解析：(1)依据题意可得P(ξ＝30)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,25)，P(ξ＝31)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,10)×2＝eq\f(3,25)，P(ξ＝32)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝33)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(2,5)×2＝eq\f(7,25)，P(ξ＝34)＝eq\f(3,10)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(11,50)，P(ξ＝35)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,10)×2＝eq\f(2,25)，P(ξ＝36)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100).ξ的分布列如下：ξ30313233343536Peq\f(1,25)eq\f(3,25)eq\f(1,4)eq\f(7,25)eq\f(11,50)eq\f(2,25)eq\f(1,100)E(ξ)＝30×eq\f(1,25)＋31×eq\f(3,25)＋32×eq\f(1,4)＋33×eq\f(7,25)＋34×eq\f(11,50)＋35×eq\f(2,25)＋36×eq\f(1,100)＝32.8.(2)当一次性购进32份食品时，设每两天的利润为X，则X的可能取值有104,116,128，且P(X＝104)＝0.04，P(X＝116)＝0.12，P(X＝128)＝1－0.04－0.12＝0.84，∴E(X)＝104×0.04＋116×0.12＋128×0.84＝125.6.当一次性购进33份食品时，设每两天的利润为Y，则Y的可能取值有96,108,120,132.且P(Y＝96)＝0.04，P(Y＝108)＝0.12，P(Y＝120)＝0.25，P(Y＝132)＝1－0.04－0.12－0.25＝0.59，∴E(Y)＝96×0.04＋108×0.12＋120×0.25＋132×0.59＝124.68.∵E(X)＞E(Y)，∴东方商店一次性购进32份食品时得到的利润更大．10．(2024·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的运用状况，从全校学生中随机抽取了100人，发觉样本中A，B两种支付方式都不运用的有5人，样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：支付金额(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000仅运用A18人9人3人仅运用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都运用的概率；(2)从样本仅运用A和仅运用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有改变．现从样本仅运用A的学生中，随机抽查3人，发觉他们本月的支付金额都大于2000元．依据抽查结果，能否认为样本仅运用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变？说明理由．解析：本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活休戚相关．(1)由题意可知，两种支付方式都运用的人数为：(100－30－25－5)人＝40人，则：该学生上个月A，B两种支付方式都运用的概率p＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5).(2)由题意可知，仅运用A支付方法的学生中，金额不大于1000元的人数占eq\f(3,5)，金额大于1000的人数占eq\f(2,5)，仅运用B支付方法的学生中，金额不大于1000元的人数占eq\f(2,5)，金额大于1000元的人数占eq\f(3,5)，且X可能的取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25)，P(X＝1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(13,25)，P(X＝2)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25)，X的分布列为：X012p(X)eq\f(6,25)eq\f(13,25)eq\f(6,25)其数学期望：E(X)＝0×eq\f(6,25)＋1×eq\f(13,25)＋2×eq\f(6,25)＝1.(3)我们不认为样本仅运用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变．理由如下：随机事务在一次随机试验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生依据自己的实际状况每个月的消费应当相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事务”．11．(2024·福建质检)“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着2024年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2024年1月1日起实施的个税新政主要内容包括：①个税起征点为5000元；②每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；③专项附加扣除包括住房贷款利息或者住房租金(以下简称住房)、子女教化、赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表(个税起征点3500元)新个税税率表(个税起征点5000元)缴税级数每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点税率(%)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除税率(%)1不超过1500元的部分3不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元的部分30超过35000元至55000元的部分30……………随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2024年的人均月收入为24000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项附加扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教化专项附加扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教化专项附加扣除又不符合赡养老人专项附加扣除、符合子女教化专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除、符合赡养老人专项附加扣除但不符合子女教化专项附加扣除、既符合子女教化专项附加扣除又符合赡养老人专项附加扣除的人数之比是2∶1∶1∶1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教化每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．依据样本估计总体的思想，解决如下问题：(1)设该市该收入层级的IT从业者2024年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；(2)依据新旧个税政策，估计从2024年1月起先，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过其2024年的人均月收入？解析：(1)既不符合子女教化专项附加扣除又不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24000－5000－1000＝18000(元)，月缴个税X＝3000×3%＋9000×10%＋6000×20%＝2190；符合子女教化专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24000－5000－1000－1000＝17000(元)，月缴个税X＝3000×3%＋9000×10%＋5000×20%＝1990；符合赡养老人专项附加扣除但不符合子女教化专项附加扣除的人群每月应纳税所得额