各种矢量还有它们不同的线性

各种矢量还有它们不同的线性，例如：位置、速度、力、电磁势

等等，是1-线的。动量矩、力矩、电磁场强度等等，是2-线的，2-线矢又是两个不同1-线矢的叉乘积。而3个不同1-线矢的叉乘积，就是3-线矢。两个不同

2-线矢的叉乘积，就是22-线矢。…等等，通称为：各种多线矢。

在3维空间，1-线矢是3维的。2-线矢也是3维的，它可由与其正交的1-线矢表达，是赝1-线矢。3-线矢是1维的，已没有方向性，是赝标量。22-线矢、22，22-线矢、…等等，也都是3维的，也都可由与其正交的1-线矢表达，而都是赝1-线矢。222-线矢、22，22，22-线矢、…等等，也都是1维的，也都没有方向性，也都是赝标量。因而所有的各种多线矢。都可由标量、赝标量与1-线矢、赝1-线矢表达，而不必定义其它的各种多线矢。但仍须注意标量、1-线矢与赝标量、赝1-线矢，在矢算中的差别

但是，要特别注意：在4维和大于4维的时空的各类多线矢，就与3维空间的多线矢有显著的差别。在n维空间，

各1-线矢有n维。各m(m小于或等于n)

线矢的维数=从n个中取m个的组合数c(m,n)。

在4维时空，1-线矢有4维。

2-线矢的维数=从4维中取2个的组合数，即：有c(2,4)=6维。22-线矢的维数=从2-线矢的6维中取2个的组合数，即：有c(2,c(2,4))=c(2,6)=15维。还有22,1-线矢，它的维数=从3维中取2个的组合数个中取2个的组合数再乘以4，即：有c(2,c(2,4-1))

乘4=c(2,3)

乘4==3乘4=12维，…等等,

它们分别有各自确定的，不同的，维数。

这就还具体表明：4维时空的各类多线矢，均具有不同的、确定的维数，而且，高次、线的多线矢确实可以具有远大于4维的维数。可以明确、具体地回答：4维时空中确实可以存在远大于4维的各类多线矢。在3维空间，各类多线矢都可表达为标量、赝标量、1-线矢或赝1-线矢。其中1-线矢或赝1-线矢的“正方向”均可仅由各1-线轴矢的方向，以及其组成的轴矢，按123顺序作右手螺旋确定。

在4维时空，各类多线矢的正方向，就须按：1-线轴矢的0123顺序，各“多线轴矢”中以“含0序者”在前；含0序多者，更在前；其它，按123顺序作右手螺旋确定。例如：1-线矢：0,1,2,3,2-线矢：01,02,03,23,31,12,3-线矢：023,031,012,123,4-线矢：0123,

22-线矢：02,03;03,01;01,02;01,23;01,31;01,12;02,23;02,31;02,12;03,23;03,31;03,121;23,31;31,12;12,23;

22,1-线矢：(02,03)1;(03,01)2;(01,02)3;(23,31)0;(31,12)0;(12,23)0;(02,23)1;(03,23)1;(03,31)2;(01,31)2;(01,12)3;(02,12)3;…等等。

“足标排列顺序”是P的多线轴矢[轴矢p]=(-1)^n(p)[轴矢p+]。其中[轴矢p+]是“足标排列顺序”为如上“正序”的相应多线轴矢；n(p)是“足标排列顺序”由P变为如上相应“正序”须经交换相邻顺序的次数。

与通常各相应维数矢量的完全一样，都是由各同类多线矢，按各相同分量相加减的“矢量和”。

但是，要特别注意：4维和大于4维的时空的各类多线矢都各有各自不同的相应维数。因而，就与3维空间的多线矢的加减法也有显著的差别。定义任意两个多线矢[矢(A)]和[矢(B)]间的夹角为：[角(A)(B)]。

任意两个1线矢[矢A]和[矢B]间的夹角，[角AB]，都与通常的矢量间的夹角一样定义。在任何两个不完全相重合的多线矢[矢(A)]和[矢(B)]的内部，都至少各有一个与相重合的子空间彼此线性无关的1线矢。因而，可分别在[矢(A)]和[矢(B)]内各选一个与相重合的子空间彼此线性无关、且彼此之间夹角最小的1线矢，而由这两个1线矢间的夹角定义[角(A)(B)]；如果[矢(A)]和[矢(B)]完全相重合，则分别在其间各选的一个夹角最小的1线矢，必然是同一个1线矢，即：其间的夹角[角(A)(B)]必=0。

任意两个1线矢[矢A]和[矢B]间的夹角，[角AB]，都与通常的矢量间的夹角一样定义。

在任何两个不完全相重合的多线矢[矢(A)]和[矢(B)]的内部，都至少各有一个与相重合的子空间彼此线性无关的1线矢。因而，可分别在[矢(A)]和[矢(B)]内各选一个与相重合的子空间彼此线性无关、且彼此之间夹角最小的1线矢，而由这两个1线矢间的夹角定义[角(A)(B)]；如果[矢(A)]和[矢(B)]完全相重合，则分别在其间各选的一个夹角最小的1线矢，必然是同一个1线矢，即：其间的夹角[角(A)(B)]必=0。

这样，就定义了各种情况下，各类多线矢间的夹角。并有：当[矢(A)]和[矢(B)]完全重合：[角(A)(B)]=0；sin[角(A)(B)]=0;cos[角(A)(B)]=1,当[矢(A)]和[矢(B)]彼此正交：[角(A)(B)]=/2；sin[角(A)(B)]=1;cos[角(A)(B)]=0。例如：

若多线矢[矢(A)]=2线矢[矢AB]、[矢(B)]=1线矢[矢C]，其间的夹角为：[角(AB)C]。当[矢AB]和[矢C]完全重合：[角(AB)C]=0。当[矢AB]和[矢C]彼此正交：[角(AB)C]=派/2。若多线矢[矢(A)]=2线矢[矢AB]、[矢(B)]=2线矢[矢CD]，其间的夹角为：[角(AB)(CD)]。当[矢AB]和[矢CD]完全重合：[角(AB)(CD)]=0。当[矢AB]和[矢CD]

彼此正交：[角(AB)(CD)]=派/2，…，等等。若多线矢[矢(A)]=22线矢[矢AB,BC]、[矢(B)]=1线矢[矢D]，其间的夹角为：[角(AB,BC)D]。当[矢AB,BC]和[矢D]完全重合：[角(AB,BC)D]=0。当[矢AB,BC]和[矢D]彼此正交：[角(AB,BC)D]=派/2，…，等等。类似地，还可定义任意更多个多线矢其间的夹角。但是，4维时空中，仅有4个彼此线性无关的1线轴矢，因而，也仅有6个不同的两个1线轴矢间的夹角；仅有6个彼此线性无关的2线轴矢，因而，仅有15个不同的两个2线轴矢间的夹角；以及相应的各类多线矢间相应数目的不同夹角。(1)任意两个多线矢[矢(A)](=(A)[单位矢(A)])和[矢(B)](=(B)[单位矢(B)])的叉乘积是完全含有[矢(A)]和[矢(B)]为其子空间的高次、线多线矢[矢(A)(B)]。其方向为：单位叉乘多线矢[单位矢(A)(B)]=[单位矢(A)])叉乘[单位矢(B)])/sin[角(A)(B)]。其模长为：模([矢(A)]叉乘[矢(B)])=(A)(B)sin[角(A)(B)]，即：[矢(A)]叉乘[矢(B)]=(A)(B)sin[角(A)(B)][单位矢(A)(B)]。

当[矢(A)]和[矢(B)]中有1个的全部子空间与另1个的部分或全部子空间完全重合时，即：sin[角(A)(B)]=0；[单位矢(A)(B)]无意义；[矢(A)]叉乘[矢(B)]=0将此定义用于3维空间的1线矢，其结果与通常3维空间矢算的数值相同；但方向不同。后者的方向是定义为：与[矢(A)]和[矢(B)]正交的另1个线矢。但是，在4维和更多维时空的1线矢，就因它们的叉乘积根本不是这样的1线矢，而只能采用本文这样的定义。

(2)任意两个多线矢[矢(A)](=(A)[单位矢(A)])和[矢(B)](=(B)[单位矢(B)])的点乘积是[矢(A)]点乘[矢(B)]。它包含[矢(A)]和[矢(B)]中，消去两者中彼此完全相同的子空间后，剩余的全部其它子空间。其方向为：相应的“单位点乘多线矢”[单位矢(A)点乘(B)]=[单位矢(A)]点乘[单位矢(B)]/cos[角(A)(B)]。其“模长”为：模([矢(A)]点乘[矢(B)])=(A)(B)cos[角(A)(B)]，即：[矢(A)]点乘[矢(B)]=(A)(B)cos[角(A)(B)][单位矢(A)点乘(B)]。当[矢(A)]和[矢(B)]没有彼此完全相同的子空间，cos[角(A)(B)]=0；[单位矢(A)点乘(B)]无意义；[矢(A)]点乘[矢(B)]=0。当[矢(A)]中全部含有[矢(B)]，[矢(A)]点乘[矢(B)]是[矢(A)]中去掉[矢(B)]的全部子空间后，所剩余的部分。当[矢(A)]和[矢(B)]中仅有部分彼此完全相同的子空间，[矢(A)]点乘[矢(B)]是[矢(A)]和[矢(B)]中去掉那些彼此完全相同的子空间后，的剩余部分，而形成相应的“纤维丛矢”。时空可变系多线矢物理学的创建、作用与发展（12）4．4．4．4维时空各类多线基矢(单位轴矢)叉、点乘积的具体化（接（11））[基矢a]点乘[基矢b]=0(a不=b);=1(a=b),[基矢a]叉乘[基矢b]=0(a=b);=sin[角ab][基矢ab](a不=b),[基矢ab]点乘[基矢c]=0(c不=a或b);=-[基矢b](c=a);=[基矢a](c=b),[基矢ab]叉乘[基矢c]=sin[角ab,c][基矢abc](c不=a或b);=0(c=a或b),

…

…

…

[基矢ab]点乘[基矢cd]=0(cd不=ab);=1(cd=ab);=cos[角ab,bd][纤维丛矢a,d](c=b,a不=d);=-cos[角ab,ad][纤维丛矢b,d](c=a,b不=d);=-cos[角ab,bc][纤维丛矢a,c](d=b,a不=c);=cos[角ab,ac][纤维丛矢b,c](d=a,b不=c),[基矢ab]叉乘[基矢cd]=sin[角ab,cd][基矢ab,cd](cd不=ab);=0(cd=ab);[基矢ab]叉乘[基矢ac]=sin[角ab,ac][基矢ab,ac](c不=b);=0(c=b);[基矢ab]叉乘[基矢bc]=sin[角ab,bc][基矢ab,bc](c不=a);=0(c=a),…

…

…

[基矢ab,ac]点乘[基矢d]=0(d不=a,b,c);

=cos[角(ab,ac)a][纤维丛矢b,c](d=a);=cos[角(ab,ac)b][纤维丛矢a,ac](d=b);

=cos[角(ab,ac)c][纤维丛矢ab,a](d=c),[基矢ab,ac]叉乘[基矢d]=sin[角(ab,ac)d][基矢(ab,ac)d](d不=a,b,c);=0