浙江省嘉兴市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试题 含解析

学年浙江省嘉兴市高二上学期期末测试数学试题❖85分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点且倾斜角为的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线的倾斜角及直线方程即可求解.【详解】根据题意，要求直线的倾斜角为，则该直线与x轴垂直，其斜率不存在，又由直线过点，则其方程为故选：.2.在空间直角坐标系中，已知，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用向量坐标运算计算即可.【详解】解：因为向量，，则故选：3.已知等差数列的前n项和为，，，则（）A.9B.15C.24D.35【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为d，根据等差的数列的通项公式及前项和公式即可求解.第1页/共19页【详解】设等差数列的公差为d，，，所以，解得，所以.故选：.4.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出焦参数，根据焦点的位置确定准线方程．【详解】由题意焦点在轴正半轴，，，所以准线方程为．故选：C．5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】，，根据椭圆定义得到可得出结果.【详解】解：设，，因为椭圆C：，所以由椭圆的定义可知，，所以，即，由勾股定理可知：，求得第2页/共19页故选：B.6.已知二面角大小为l上有AB两点，线段AC与BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且线段AC与BD都垂直于若，，，则CD的长为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】画出草图，根据向量垂直的结论得到，再根据二面角大小，借助向量法，结合数量积公式计算即可.【详解】解：，，，又直线分别在这个二面角的两个半平面内，二面角的大小为，，，，，，故选：A.7.已知AB为圆上存在点PP为线段AB的中点，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第3页/共19页AB的中点为在以为圆心，1为半径的圆上，由题意可得，解不等式即可求解.【详解】圆C的方程为，所以圆心为，半径，取AB的中点为，连接，由于，则，因此点在以为圆心，1为半径的圆上，又点在直线上，所以直线与圆，有公共点，则，解得，故实数m的取值范围是故选：.8.定义若数列的前n项和满足，，令，且恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第4页/共19页【分析】根据题意求得，结合，且恒成立，得到，或者，列出不等式，即可求得取值范围．【详解】解：因为，当时，，当时，，满足上式，故因为，所以即，所以，即因为，且恒成立，所以，或者，即或者，解得或者，所以故选：B.二、多选题：本题共3小题，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.圆的半径为B.椭圆的离心率为C.双曲线的实轴长为2第5页/共19页D.抛物线的焦点坐标为【答案】ABD【解析】【分析】根据圆的方程求得半径，结合椭圆离心率公式，双曲线的实轴概念，抛物线焦点概念，逐项判定即可.【详解】解：对于A，圆的标准方程为：，半径为，故A正确；对于B，，，，得，故B正确；对于C，双曲线的实轴长为4，故C错误；对于D，由方程的，，焦点坐标为：，故D正确.故选：ABD.10.等比数列的公比为，且满足，，，记，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.使成立的最小自然数等于【答案】AD【解析】【分析】利用等比数列的通项及其性质逐一求解即可.【详解】对于A选项，因为为等比数列，且，，若，则，不合乎题意，若，则，这与矛盾，若，则，这与矛盾，若，由，所以，，故A正确；第6页/共19页对于B选项，由等比中项知，所以，故B错误；对于C选项，因为，故C错误；对于D选项，由等比中项知：，，故D正确；故选：AD.四棱锥的底面为正方形，底面，，，，，其中，下列说法正确的是（）A.存在实数，使得异面直线与的所成角为B.三棱锥的体积为C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为D.二面角的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和线的方向向量，以及面的法向量，结合向量夹角公式，基本不等式和棱锥体积公式计算，逐个验证判断即可.【详解】解：如图，将四棱锥补形成正四棱柱，建立空间直角坐标系，则，，，，第7页/共19页由，得，同理，对于A选项：，，所以，即，故A错误；对于B选项：，故B正确；对于C选项：，，设为平面的一个法向量，则，即，取，，设直线与平面所成角，则，即，要求的最大值，只需考虑，令，则，故，当且仅当，即时取等号，所以，故C正确；对于D选项：，，，设为面的一个法向量，则，即，取，同理可求得面的一个法向量为，所以，所以当时，二面角的最大值为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，第8页/共19页若，则实数k的值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.【详解】解：，，存在实数使得，解得故答案：13.3再加上反复进行上述两种运算，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数3个步骤变成简称为3步“雹程”现满足：为正整数，，当时，使得需要__________步雹程.【答案】7【解析】【分析】由求解.【详解】解：当时，，共7步，故答案为：714.已知抛物线，点在C上，k为常数，按照如下方式依次构造点和过点作斜率为k的直线与C的另一交点为，过点作斜率为的直线与C的另一交点为，记的坐标为，的坐标为，直线的斜率为，则第9页/共19页__________.【答案】【解析】【分析】由在C上，求得抛物线方程，故，再结合抛物线方程得到和，从而得到求解.【详解】因为点在C上，故，抛物线，因为，，直线的斜率为k，所以①同理②，两式相加化简得，所以，因此，即故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，圆经过点，且与圆相切于点（1）求直线的方程;（2）求圆的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】第10页/共19页1）根据直线斜率公式所求切线的斜率，再运用点斜式直线方程求解.（2）方法一：用待定系数法即可求解；方法二：根据圆上的弦的垂直平分线经过圆心即可求解.【小问1详解】把圆化为标准方程，得圆心，，则直线，即【小问2详解】方法一：设圆的方程为，则两式相减得，则，又因为，所以，故所求圆的方程为方法二：圆心线段MN的中垂线方程为，则圆心在直线上，也在直线上，解得圆心，圆的半径，圆的标准方程16.如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，点F满足，其中第11页/共19页（1）若平面，求的值；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】1）通过建立空间直角坐标系，先根据已知点坐标求出相关向量，再依据线面平行时向量与平面法向量的关系求出参数值，从而得解；（2）利用（1）中结论，结合两个平面法向量的夹角来计算面面角的余弦值.【小问1详解】因为，由已知得平面ABC，如图建立空间直角坐标系，所以，，，，，所以，，设平面的法向量为，第12页/共19页则，即，取，因，所以，，因为平面，所以，则【小问2详解】因为，所以，，，设平面AEF的法向量为，则即，取向量，设平面与平面AEF所成角为，则所以平面与平面DBE所成角的余弦值为17.已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线C上.（1）求C的方程;（2）过点的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立?若存在，求的值;若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】.第13页/共19页、，通过计算判断是否存在满足条件的常数.【小问1详解】由已知得解得，，所以双曲线C的方程为【小问2详解】设，，由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，联立消x得解得，假设存实数，使得2恒成立，当，有一个交点为，此时不满足，故，因此，，则故存在实数满足条件.18.已知为等差数列，，，记.（1）求数列，的通项公式;（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，第14页/共19页（i）求数列的前n项和（ii）在数列中是否存在3项，，其中m，k，p成等差数列成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2i）ii）不存在，理由见解析【解析】1）根据给定条件，求出数列的公差，进而求出通项公式.（2iii【小问1详解】依题意，等差数列的公差，，，所以数列，的通项公式分别为，.【小问2详解】（i）依题意，，则，，设，记前n项和，，，两式相减得：，因此，所以.（ii）假设数列中存在3项成等差数列）成等比数列，则，于是，即，第15页/共19页由成等差数列，得，则，化简得，因此，又，则与已知矛盾，所以数列中不存在三项，，成等比数列.19.造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为（1）求a的值;（2）当点在C上时，求证：（3）如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】1）根据曲线C上的点满足的条件，结合可求a的值；（2）当点在C上时，方法一：利用解不等式求解；方法二：利用P在x轴与直线上的射影分别为QR用求解即可.（3）讨论直线的斜率，当斜率存在时，设直线AB的方程为，其中，利用弦第16页/共19页长公式，三角形面积公式可得，再结合换元法以及三角函有界性可求四边形面积的最小值.【小问1详解】因为O在曲线上，所以O到的距离为，而，所以有，即【小问2详解】方法一：因为，所以曲线C的方程为，可化为，即，因此，所以，当且仅当且时取等号.方法二：同上曲线C的方程为，因此，所以，当且仅当且时取等号.方法三：如图设点P在x轴，直线上的射影分别为Q，R，则根据定义，因此，即，所以，当且仅当且时取等号.第17页/共19页【小问3详解】由，得当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，由对称性不妨设，，