2021届广东省高三上学期新高考适应性测试(一)数学试题(教师版含解析)

广东省2021届新高考适应性测试卷数学(一)本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题纸上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，复数z=，则|z－i|=()A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先对复数进行化简，求出的值，再利用复数的模长计算公式计算可得答案.【详解】解：z===2(1+i)，所以|z－i|=|2＋i|=.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题.2.已知集合，集合，若，则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得出，可知，解出集合，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】且，则，.若，则，可得，不合乎题意；若，则，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于中等题.3.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制丈尺，斛立方尺，圆周率)，则该圆柱形容器能放米()A.斛 B.斛 C.斛 D.斛【答案】B【解析】【分析】计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为，则(尺)，所以，该圆柱形容器的体积为(立方尺)，因此，该圆柱形容器能放米(斛).故选：B.【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.4.在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是()A. B.C. D.()【答案】B【解析】【分析】根据散点图的趋势，选定正确的选项.【详解】散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D，故选B．【点睛】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题.5.曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可【详解】由，，所以过点切线方程为答案选B【点睛】本题考查在曲线上某一点切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线导数表达式，求出，最终表示出切线方程6.的展开式中，的系数为()A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由题意转化条件得，再由二项式定理写出的通项公式，分别令、，求和即可得解.【详解】由题意，的通项公式为，令，则；令，则；所以展开式中，的系数为.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.若，则()A.-1 B. C.-1或 D.或【答案】C【解析】【分析】将已知等式平方，可根据二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系将等式化为，解方程可求得结果.【详解】由得：即，解得：或本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够通过平方运算，将等式化简为关于的方程，涉及到二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系的应用.8.若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数a的取值范围是()A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根据点到直线距离公式，转化为点到两条平行直线的距离之和来求解实数a的取值范围【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和与无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如下图所示，故圆心到直线的距离，解得或(舍去)故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是()A.2 B.6 C.4 D.8【答案】AC【解析】【分析】由题意得，，解方程即可.【详解】设的横坐标为，由题意，，，解得或.故选：AC【点睛】本题考查抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.10.函数的部分图象如图所示，则()A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据最小值求得，根据周期求得，根据点求得，由此求得的解析式，结合诱导公式确定正确选项.【详解】由图象可得，，解得，所以，所以，又的图象过点，则，解得，又，所以，即.故选BD【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题.11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则()A.某学生从中选3门，共有30种选法B.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D.课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法【答案】CD【解析】【分析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.【详解】6门中选3门共有种，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．故选：CD【点睛】本题考查排列组合的应用，属于基础题.12.设三个函数，和的零点分别为，，，则有()A B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】将，分别看成与两个函数分别于的交点，结合，的图象关于直线对称，直线与垂直，可以得到，对应的点是关于和的交点对称的，得到，的关系．可求，则问题可解．【详解】解：因为，所以，所以在上是增函数，又当时，所以，作出，，三个函数的图像如图所示：其中，分别是两个函数与的图像与直线的交点，因为指数函数与的图像关于直线对称，且也关于对称，所以交点，关于直线对称，所以，即，所以，再由基本不等式得.故选：AC.【点睛】本题考查了利用数形结合研究函数的零点问题，本题的关键与难点是分析出、两点关于直线对称．属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，若，则____.【答案】1或-2【解析】【分析】分和两种情况，分别求出值即可．【详解】令或，解得或.故答案为：1或-2【点睛】本题考查函数求值，考查分段函数，属于基础题．14.已知向量满足，则向量在向量上的投影为________.【答案】【解析】【分析】运用向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，代入计算可得所求值．【详解】解：向量满足，可得，，即为，，两式相减可得，则向量在向量上的投影为．故答案为：．【点睛】本题考查向量的性质：向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，考查运算能力，属于基础题．15.已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为_____.【答案】或【解析】【分析】解出点的坐标，用两点间距离公式求出，化简整理出的关系式，从而求得离心率．【详解】若渐近线的方程为，则点的坐标为.因为，所以，则，所以，从而.若渐近线的方程为，则点的坐标为，同理可得.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.16.如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为，设，则当时，函数的值域为______．【答案】【解析】【分析】当时，截面多边形是六边形HIJKLM，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果.【详解】当时，截面多边形是六边形HIJKLM，设==λ，则==1﹣λ，∴HI+IJ=，∴截面六边形的周长为；故答案为【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，.(1)求角；(2)若，，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)若选①：利用正弦定理和余弦定理可求出角；若选②：利用正弦定理和两角和与差公式可得角；(2)利用余弦定理求出，代入三角形面积公式即可．【详解】(1)若选①：由正弦定理得，所以，由余弦定理得，解得，因为，所以.若选②：由正弦定理得，即，即，因为，所以，所以，所以.(2)由余弦定理得，得，即，解得，则的面积，故的面积为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题．18.已知数列的前项和为，，且满足.(1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，；(2).【解析】【分析】(1)利用化简已知条件，从而证得数列是等比数列，先求得，然后求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得.【详解】(1)由题得，，整理得，.因为，，所以当时，，当时，，所以当时，有，因此是以2为首项，2为公比等比数列.所以，所以.(2)由(1)知，则，①①×2，得，②②-①，得.【点睛】本小题主要考查已知求，考查错位相减求和法，属于中档题.19.如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且AB=2AD=2.(1)求证：；(2)若异面直线AE和DC所成的角为，求平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质可证得.再线面垂直的判定定理和性质定理可得证；(2)以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由二面角的向量求解方法可求得平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值.【详解】(1)∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为平面，∴垂直于圆所在平面.又在圆所在的平面内，∴.∵是直角，∴，又，∴平面，∴.(2)如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，，知，

∴，∴，由题设可知，，∴，.设平面的一个法向量为，由，即得，，取，得.∴.又平面的一个法向量为，∴.平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【点睛】本题考查空间中线线垂直的证明和二面角的求解方法，属于中档题.20.某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正确得分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功．()求至少回答对一个问题的概率．()求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列．()求这位挑战者闯关成功的概率．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为.(Ⅱ)这位挑战者回答这三个问题总得分的所有可能取值为.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；(Ⅲ)结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为.试题解析：(Ⅰ)设至少回答对一个问题为事件,则.(Ⅱ)这位挑战者回答这三个问题的总得分的所有可能取值为.根据题意,,,,,,.随机变量的分布列是:(Ⅲ)设这位挑战者闯关成功为事件,则.21.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为，，在椭圆上，且.的周长为8.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆上的动点作的切线，过原点作于点，求的面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根据判断出轴，结合的周长求得，根据短轴求得，由此求得椭圆的标准方程.(2)联立直线的方程和椭圆的方程，根据求得的关系式，求得、，进而求得的面积的表达式，结合基本定理求得面积的最大值.【详解】(1)由，可知，，三点共线，且轴，由的周长为8，得，所以，且，所以椭圆的标准方程为.(2)显然直线斜率存在且不为0，设直线：，联立，得，且，得，所以.联立，得，.所以，，所以，当且仅当时取等号.所以的面积的最大值为.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.22.设函数.(1)证明：函数在区间内单调递增；(2)当时，恒成立，求整数的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】(1)