第五节函数的极值与最值讲义-高二下学期数学人教A版选择性（答案详解）

0第五节函数的极值与最值核心基础达标【1】(1)错误(2)错误(3)错误(4)正确(5)正确(6)错误(7)正确(8)正确(9)正确(10)正确(11)错误解析:(1)函数的极大值不一定大于其极小值,故错误;(2)导数为0的点不一定是极值点,比如fx=x3,f′0(3)函数y=f(4)函数的极值点是自变量的值,极值是函数值.故正确;(5)函数的最大值可能在端点处取到,故函数的最大值不一定是函数的极大值,正确;(6)函数fx在区间a,b上的最大值与最小值可能在区间端点处取得,(7)若函数fx在区间a,b上连续,若fx在a,b单调,则f即函数fx在区间a,b上连续,则fx在区间a,b(8)若“f′x>0在R上恒成立”则“fx在R上单调递增”,若“fx在R上单调递增”则“f故“fx在R上单调递增”是“f′x>0在(9)由最值的定义可知,函数fx在给定的区间a,b(10)根据极值点和极值的定义可以判断,若fx在R上存在极值,则它在R(11)有极值的函数不一定有最值,比如fx=xlnx,x∈0,1∪1,+∞,f′x=lnx−1lnx2fx=xlnx在x∈当x∈0,1时,fx<0恒成立,当故fx=xlnx【2】A解析:设f′x=0的根为x1则由图可知,函数fx在a,x1内单调递增,在在x2,x3内单调递增,在所以函数fx在区间(a,b)内有极小值f当fx2≤fa,fx2≤fb所以A错误,B正确;函数fx在区间(a,b)内有极大值fx1、fx3当fa≥0,fx2>0,fb≥【3】C解析:gx=当x<−2时,gx>0,当−2<x<0时,当0<x<1时,当x>1时,gx>0,∴fx在x=−2和x=1处取得极小值,故B,D在x=0处取得极大值.所以fx有3个极值点,故A错.解析:当−2<x<−1时,x+1<0当−1<x<2时,x+1>0当x>2时,x+1>0,而所以−2,−1,2,+∞上fx则x=−1、x=2故A、C、D错误,B正确.故选:B【5】D解析:对于①,根据导函数图像可知,2是导函数的零点,且2的左右两侧导函数值符号异号,故2是极值点,故①正确;对于②,1不是极值点,因为1的左右两侧导函数符号一致,故②错误；对于③,0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值,故③错误；对于④,导函数在(2,2)恒大等于零,故为函数的增区间,故④正确.故选:D【6】B解析:由函数图像可知f′当x<−2时,x+1<当−2<x<−1时,x当−1<x<1时,x当x>1时,x+1>所以fx有极大值f−2和极小值f【7】AD解析:由y=f′x的图象可知:当x∈−∞,−fx当x∈−3,−1时,f′因此有f−2>f−1,x当x∈−1,1,或x∈1,+∞时,因此函数fx在(1,1)上没有极大值,且x=1不是所以选项B、C不正确,故选:AD重点题型专练【8】(1)极小值为3；极大值为1；(2)极大值为1e(3)极小值为22,极大值为10；(4)极大值283；极小值−4极小值0；极大值4e−2；(6)极大值0；极小值−1234解析:(1)因为f′令f′x=0当x变化时,f′xx−∞,−1(1,1)11f0+0f单调递减3单调递增1单调递减由上表看出,当x=−1时,fx取得极小值,为当x=1时,fx取得极大值,为(2)函数fx=lnxx的定义域为0令f′x=0当x变化时,f′x与fx(0,e)ee,+∞f+0f单调递增1单调递减因此,x=e是函数的极大值点,极大值为fe(3)函数fx=x3−3x2−令f′x=0当x变化时,f′x与fx−∞,−1(1,3)33f+00+f增10减22增由表可知,x=−1是函数fx的极大值点,极大值为x=3是函数fx的极小值点,极小值为(4)函数fx的定义域是R,f′x=x2−4=x−当x变化时,f′xx−∞,−2(2,2)22f+00+f↗极大值f↘极小值f↗由表可知,函数fx的极大值为f−f2(5)f′令f′x=0x−∞,0(0,2)22f0+0f↘0↗4↘所以当x=0时,fx有极小值0;当x=2时,f(6)f′令f′x=0得xx−∞,0(0,4)44f+00+f↗0↘−↗所以当x=0时,fx有极大值0;当x=2时,(7)f′令f′x=0当x变化时,f′xx−∞,0(0,1)11f0+0+f单调递减↘极小值单调递增↗无极值单调递增↗所以当x=0时,函数取得极小值,且极小值为【9】答案见解析解析:fx=x−a由f′x①当a≤0时,f′x>0,函数fx在②当a>0时,由f′x=又当x∈0,a函数fx当x∈a,+∞时,函数fx从而函数fx在x=a处取得极小值,且极小值为综上,当a≤0时,函数fx无极值点点;当a>0时,函数fx在x【10】答案见解析解析:由题设知a≠令f′x=0得x=当a>0时,随着x的变化,f′x与x−∞,0022f+00+f单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴当a<0时,随着x的变化,f′x与x−∞,2200f0+0f单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴f综上,fx【11】答案见解析解析:由题意得f′令f′x=0,解得x=−2a或x=a−下面分两种情况讨论:①若a>23,则−2a<a−2,当表:x−∞,−−(2a,a2)aaf+00+f↗极大值↘极小值↗∴fx在−∞,−2a,a−数,∴函数fx在x=−2a处取得极大值f−2a函数fx在x=a−2处取得极小值f②若a<23,则−2a>a−2,当表:x−∞,a(a2,2a)−−f+00+f↗极大值↘极小值↗∴fx在−∞,a−2∴函数fx在x=a−2f函数fx在x=−2a处取得极小值f−2a综上,当a>23时,fx的极大值为3ae当a<23时,fx的极大值为4−【12】极小值为b解析:将sinx代入fxf求导得fsinx′=2sinx−acosx,−π2①当a≤−2,b∈R②当a≥2,b∈R③当−2<a<2,在−π2sinx0=a⋅−π2<x≤x0时,函数fsinx单调递减;x0<x<π2时,函数【13】a=解析:因为fx在x=−1时有极值0,且所以f′−1=0f−1=0即当a=1,b=3时,f′x=3x2+6x当a=2,b=当x∈−3,−1当x∈−∞,−3和−1,+∞时,fx为增函数,所以fx在因此a=【14】a解析:因为fx所以f′令f′x=x2+bx+ax=0,依题意2、3是方程x2+0,+∞,f′x=6x+x−5=x2−5x+6x=x−3x−2x,所以当0<x<2或x>3【15】D解析:由题意知,定义域为R,要使函数fx有极值,则f′则Δ=1+4c>0【16】C解析:因为fx=13x因为fx没有极值,所以f′x≥0又因为f′x所以f′x≥0所以2a−12−4≤0所以a∈0,【17】5解析:∵f∴当x∈−∞,−m∪m,+∞时,时,f′∴fx在−∞,−m,m,+∞∴的极大值f−m=2m⋅m+【18】B解析:由f′x=3x2所以f′x有两个变号零点,则整理得m2−3m>0,可得m>3【19】B解析:fx所以f=因为函数fx=x−ax所以f′a=ea∴ff令f′x=0,得x=当x∈−∞,a−2时,f′x>0当x∈a−2,a时,f′x<当x∈a,+∞时,f′x>0,所以所以fx在x=a−2处有极大值为fa−2=4ea−2=4,解得a=2,所以b=2.故选:B【20】D解析:函数fx=13x3−a+12x2+a2+ax−1,求导得f′x=x2−2a+1x+a2+a,由x=0是fx的极小值点,得f′0=a2+a则x=0是fx的极小值点,符合题意,fx=13x3+12x2−1,又当x<−1解析:因为fx所以f′因为函数fx=所以f′x即−a=令gx=2x+6令g′x=0,得x=3当1<x<3时,当3<x<2时,所以当x=3时,gx取得极小值43所以gx∈43,又当a=−43时,fx递增,无极值,所以实数a的取值范围是−8,−【22】B解析:由fx=xex−mx可得其定义域为因为函数fx=所以方程f′x即m=e令gx=ex+显然g′x在(0,2)上满足g所以函数gx因此g0<gx<因为m=ex+xex【23】A解析:由题意可得f′x=穿变号零点,∴f′−【24】3解析:fx=12e当a≥0时,f故fx在R故a<0,且f令ex=t>0,则t令gt需满足Δ=a2−4综上,a<−2,故整数a的最大值为3.故答案为:【25】(1)f(2)f(3)f(4)最大值为e4−4解析:(1)f′令f′x=0,得x=因为当x∈−3,−1当x∈−1,1当x∈(1,3]所以x=1和x=−1是函数fx且f1又因为fx在区间端点的取值为f比较以上函数值可得fx(2)函数fx的定义域为1−x2≥当−1<x<1令f′x=0当x∈−1,2当x∈22,1根据极值的判定方法,可知fx在x=所以fx在−1,1fx在区间端点的函数值为f比较以上函数值可得fx(3)f′x=2cos2x−1又x∈−π2,π2,所以2x∈−当x∈−π2,−当x∈−π6,当x∈π6,π所以函数fx在−π2,π2上的两个极值分别为fπ比较以上函数值,可得fx(4)fx=x4−lnxf令f′x=0,得x=−1当x∈−e,−1时,当x∈−1,−1因为f−e且e4−4>e−4【26】1解析:函数fx所以f′当且仅当ex=e−x又因为2−2cos2x≥所以fx在x∈其最大值为f0【27】ln解析:函数fx∴当0<x≤2时,fx当x>2时,f所以fx<ln2;综上,函数的最大值为【28】D解析:fx的定义域为0所以当x∈0,1时,当x∈1,+∞时,所以fx的最小值为f1=e+【29】f解析:由fx则f′x=lnx+a,由①当e−a<1e,即a>1时,则fx②当1e≤e−a≤e,即−1≤a≤函数,在x∈e−a,e则fx③当e−a>e,即a<−1时,f′则fx综上所述,fx【30】详见解析解析:gx∴g当x∈0,1∴当1−2a≥0⇒∴gx∴g当1−2agx在0,ln2a单调递减,在∴g当e−2a≤0⇒a∴gx∴g综上所述:a≤12时,12<a<ea≥e2时,【31】答案见详解解析:fx的定义域为−a,a若0<a≤1,可知fx在−a所以fx的最大值为f若a>1,令f′x>0,解得令f′x<0,解得−a可知fx在−a−a−且f−所以fx的最大值为2a综上所述:若0<a≤1,若a>1,fx【32】答案见详解解析:由题意得:fx定义域为0当a>0时,令f′x=当x∈0,1a时,f′x>0可知fx的单调递增区间为0,1a①当1a≤1,即a≥1时,fxf②当1a≥2,即0<a≤12时,f③当1<1a<2,即12<a<1时,f则fx因为f1当−a≤ln2−2a,即1当−a>ln2−2a,即ln综上所述:当a∈(0,ln2]时,时,fx【33】a=2,b解析:由fx=ax由f′x=0得:x若a>0,则fx在[−1,0∴这时ff∴fxmin=若a<0,则fx在[−1,0∴这时ff∴fxmax=∴存在常数a=2,b=3【34】28解析:f′当x∈[0,2)时,f′x<0所以fx在x∈[0,2)所以f2为fx在0故13×8−4×2+【35】C解析:由题意得f′当a≥0时,f′x>0在x当a<0时,当x>−2a2时,f′x>0,函数单调递增,故当x=−2a2时,函数【36】a解析:当x<a时,fx=x,函数单调递增,且fx<fa=a当x<1时,f′x>0,当当x=1时,fx取得极大值也是最大值为∴要使fx有最大值,则a【37】C解析:由fx=x3−当a≤0时,f′x>0在1,2上恒成立,所以所以fxmin=f1=当a>0时,由f′x=0,得当0<a≤1时,f′x>0在1,2所以fxmin=f1=当1<a<2时,当1<x<a时,f′x<0,当a所以当x=a时,fx取得最小值,所以fa=a当a≥2时,当1≤x≤2时,f′x<0所以fxmin=f2=23−3a2解析:因为函数fx=x3−当x<−1或x>1时,f′x>0所以当x=1时,f因为fx在区间2a,a+所以−2≤2a<1所以实数a的取值范围是−1,1【39】A解析:由fx=ex+由于ex,2x均为单调递增函数,故因为fx在(0,1)有最小值,故f′0【40】A解析:由题意可得:f∵x>1当a≥0,则ax+1>0当x>1时恒成立,即则fx在1,+∞上无最值,即a当a≤−1,则ax+1<0当x>1时恒成立,即则fx在1,+∞上无最值,即a当−1<a<0,令∴fx在−1a,+∞则fx在1,+∞上有最小值f−1a,即【41】(−解析:∵令f′x<0解得−1<x<1;令由此可得fx在−∞,−1上时增函数,在(1,1)上是减函数,在1故函数在x=−1处有极大值,在x∴a2−12【42】A解析:当x>0时,ex的取值范围是注意到fx=x3−当x<−1时,f′x>0,当所以fx在−∞,−1所以当x≤0时,fx的最大值为且注意到x趋于负无穷时,fx若函数fx=ex,则当且仅当f−1=a+2≥【43】1解析:fx=ax−af当a≤0时,f′x<0,fx不合题意;当a>0时,令f′x<0,得0<x<fx在0,1a上为减函数,在所以fx令ga令g′a>0,得0<a<1所以ga在(0,1)上为增函数,在1,+∞所以当a=1时,ga取得最大值故a=1.【44】3解析:因为f所以f′令gx=2x+所以f′x=2x+又f′所以由f′x<0⇒所以函数fx在−∞,−1上单调递减,在−所以x=−1时,函数f由f−1=【45】A解析:f′x=lnx+1−ax−b令gx=lnx+1当a≤0时,g当a>0时,gx在区间0,1a所以gx又x→0时,gx→−∞,x→+∞时,gx→−∞,所以要使gx有两个变号零点,只需gxmax【46】(1)证明见解析(2)证明见解析解析:(1)设fx令f′x>0,得令f′x<0,得所以fx所以ex(2)设ℎ令ℎ′x>0,得令ℎ′x<0,得所以ℎxmin=ℎe【47】证明见解析解析:由题意知x>−1,令所以f′当f′x>0时,−1<x<0故fx在(1,0)上单调递增,在0,+∞所以fx有最大值f0=0即lnx+【48】证明见解析解析:令fx=ex−令f′x=gx所以f′x在0,+∞上单调递增,且故当x>1时,f′x>0,fx单调递增,当0<x<1时,故fx≥f1=【49】证明见解析解析:设fx=12x2f故函数fx在0,+∞上为增函数,所以,故对任意的x>【50】证明见解析解析:证明不等式x2≥x+lnx设gx=x2−所以当x∈0,1时,当x∈1,+∞时,当x=1时,g因为g1=0,g【51】证明见解析解析:令函数ℎx=x−sinx所以ℎx在0,π2上单调递增,ℎx令函数kx=sinx−x当x∈0,π2时,k′x>0增,kx>k0=故当x∈0,π2【52】证明见解析解析:令wx则w′x∈又ex>1在故w′x=exsin故wx=exsinx又w0=0,故exsinx−x>【53】证明见解析解析:要证fx≥2xsinx令gx=ex+e−x−2cosx−2xsinx,又g−x=gx,所以gx为偶函数,只需证明gx≥0在[0,+∞)上恒成立即可,显然g0=0,g′x=ex−e−x−2xcosx,当x∈[0,+∞)时,cosx≤1,则2xcosx≤2x,则g′x=ex−e−x−2xcosx≥ex−e−x−2x,当且仅当x故fx≥2xsinx.【54】证明见解析解析:令fx=xlnx,则根据单调性可知函数fx=xlnx在令gx=xex−2e,则g根据单调性可知函数gx=xex−2e由于最值不能同时取到,所以fx>gx【55】证明见解析解析:设函数