2024年甘肃省兰州市中考数学试卷（附答案）

第1页（共1页）2024年甘肃省兰州市中考数学试卷（附答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2024•兰州）2024的绝对值是A． B．2024 C． D．2．（3分）（2024•兰州）若，则的补角是A． B． C． D．3．（3分）（2024•兰州）2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元，数据87790000000用科学记数法表示为A． B． C． D．4．（3分）（2024•兰州）计算：A． B． C． D．5．（3分）（2024•兰州）一次函数的图象不经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（3分）（2024•兰州）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等7．（3分）（2024•兰州）如图，小张想估测被池塘隔开的，两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为A． B． C． D．8．（3分）（2024•兰州）七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是A． B． C． D．9．（3分）（2024•兰州）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则A． B．4 C． D．110．（3分）（2024•兰州）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为A． B． C． D．11．（3分）（2024•兰州）如图，在中，，，，则A． B． C． D．12．（3分）（2024•兰州）如图1，在菱形中，，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为．与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）（2024•兰州）因式分解：．14．（3分）（2024•兰州）如图，四边形为正方形．为等边三角形，于点，若，则．15．（3分）（2024•兰州）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转，则．16．（3分）（2024•兰州）甲，乙两人在相同条件下各射击10次．两人的成绩（单位：环）如图所示．现有以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）（2024•兰州）计算：．18．（4分）（2024•兰州）解不等式组：．19．（4分）（2024•兰州）先化简，再求值：，其中．20．（6分）（2024•兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）当时，求的面积．21．（6分）（2024•兰州）如图，在中，，是的中点，，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．22．（6分）（2024•兰州）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点的水平距离的几组关系数据如下：水平距离0341015202227竖直高度03.244.168987.043.24（1）根据如表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．23．（6分）（2024•兰州）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点为顶点的直角，具体作法如下：①木条的两端分别记为点，，先将木条的端点与点重合，任意摆放木条后，另一个端点的位置记为点，连接；②木条的端点固定在点处，将木条绕点顺时针旋转一定的角度，端点的落点记为点（点，，不在同一条直线上）；③连接并延长，将木条沿点到点的方向平移，使得端点与点重合，端点在延长线上的落点记为点；④用另一根足够长的木条画线，连接，，则画出的是直角．操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，．请画出以点为顶点的直角，记作；推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：证明：，与是等腰三角形．，．（依据．，（依据．．依据：依据；拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点在直线上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以为顶点的直角，记作，使得直角边（或在直线上．（保留作图痕迹，不写作法）24．（6分）（2024•兰州）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平．现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如图．信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．分组人数727信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：；（2）下列结论正确的是；（填序号）①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的；②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；③在信息三中，相比于点所代表的学生，点所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．25．（6分）（2024•兰州）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．实验主题探究摆球运动过程中高度的变化实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，．，；当摆球运动至点时，，．（点，，，，，在同一平面内）实验图示解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到参考数据：，，，，，．26．（7分）（2024•兰州）如图，内接于，为的直径，点为上一点，，延长至，使得．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．27．（8分）（2024•兰州）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且．【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明；【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．28．（9分）（2024•兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点是图形外一点，点在的延长线上，使得，如果点在图形上，则称点是图形的“延长2分点”．例如：如图1，，，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点在线段上，所以点是线段的“延长2分点”．（1）如图1，已知图形：线段，，，在，，中，是图形的“延长2分点”；（2）如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点是图形的“延长2分点”，求的最小值；（3）如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点，使得点是图形的“延长2分点”．请直接写出的取值范围．

2024年甘肃省兰州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2024•兰州）2024的绝对值是A． B．2024 C． D．【考点】绝对值【专题】实数；运算能力【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解．【解答】解：由题意得，．故选：．2．（3分）（2024•兰州）若，则的补角是A． B． C． D．【考点】余角和补角【专题】线段、角、相交线与平行线【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．【解答】解：，补角为：．故选：．3．（3分）（2024•兰州）2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元，数据87790000000用科学记数法表示为A． B． C． D．【考点】科学记数法—表示较大的数【专题】数感；实数【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：数据87790000000用科学记数法表示为．故选：．4．（3分）（2024•兰州）计算：A． B． C． D．【考点】单项式乘多项式【专题】计算题；运算能力【分析】根据单项式乘多项式去括号，再用整式的加减法则计算即可．【解答】解：．故选：．5．（3分）（2024•兰州）一次函数的图象不经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的图象【分析】根据一次函数的、的符号判定该一次函数所经过的象限即可．【解答】解：一次函数的，，一次函数经过第一、三、四象限，即一次函数不经过第二象限．故选：．6．（3分）（2024•兰州）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等【考点】平行线的判定与性质【专题】几何直观；线段、角、相交线与平行线【分析】根据和在图中的位置判断这两个角是什么角，即可从选项中找出小明判断的依据．【解答】解：和是内错角，，判断幸福大街与平安大街互相平行的依据是：内错角相等，两直线平行．故选：．7．（3分）（2024•兰州）如图，小张想估测被池塘隔开的，两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为A． B． C． D．【考点】三角形中位线定理【专题】推理能力；三角形【分析】依据题意，由，分别是边，的中点，首先判定是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得的值即可【解答】解：、分别是、的中点，是的中位线．根据三角形的中位线定理，得：．故选：．8．（3分）（2024•兰州）七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是A． B． C． D．【考点】概率公式；七巧板【专题】应用意识；概率及其应用【分析】根据概率公式计算即可．【解答】解：从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率．故选：．9．（3分）（2024•兰州）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则A． B．4 C． D．1【考点】根的判别式【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以△，建立关于的方程，解方程即可．【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得：，故选：．10．（3分）（2024•兰州）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【专题】推理能力；一次方程（组及应用【分析】根据“999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果”列方程组求解．【解答】解：由题意得：，故选：．11．（3分）（2024•兰州）如图，在中，，，，则A． B． C． D．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力；三角形【分析】根据等边对等角得出，根据即可求出的度数，由得出，从而求出的度数，问题得解．【解答】解：在中，，，，，，，，，故选：．12．（3分）（2024•兰州）如图1，在菱形中，，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为．与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象【专题】动点型；运算能力；推理能力【分析】根据题意可知，，，结合菱形的性质得，过点作于点，则，那么；设菱形的边长为，则，那么点和点同时到达点和点，此时的面积达到最大值，利用最大值即可求得，即可知菱形的边长．【解答】解：根据题意可知，，，四边形为菱形，，，过点作于点，连接交于，如图，则，，设菱形的边长为，，点和点同时到达点和点，此时的面积达到最大值，，解得（负值舍去），，故选：．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）（2024•兰州）因式分解：．【考点】因式分解运用公式法【专题】整式；运算能力【分析】本题直接利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：，故答案为：．14．（3分）（2024•兰州）如图，四边形为正方形．为等边三角形，于点，若，则2．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质【专题】几何直观；矩形菱形正方形【分析】由等边三角形得出，再利用即可求解．【解答】解：是等边三角形，，，四边形为正方形，，，．故答案为：2．15．（3分）（2024•兰州）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转，则108．【考点】弧长的计算【专题】圆的有关概念及性质；运算能力【分析】利用弧长公式根据点移动的弧长个周长，列出关于的方程，解方程即可．【解答】解：的周长为，顺时针转动3周时，点移动的弧长为，，解得，故答案为：108．16．（3分）（2024•兰州）甲，乙两人在相同条件下各射击10次．两人的成绩（单位：环）如图所示．现有以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是①②（填序号）【考点】方差【专题】数据分析观念；数据的收集与整理【分析】①根据方差的意义判断即可；②根据算术平均数的定义判断即可；③根据随机事件的意义判断即可．【解答】解：由折线统计图可知，甲的成绩在3和5之间波动，乙的成绩在3和9之间波动，所以甲的成绩更稳定，故①结论正确；乙的平均成绩比5大，甲的平均成绩比5小，所以乙的平均成绩更高，故②结论正确；每人再射击一次，乙的成绩不一定比甲高，故③的结论错误．故答案为：①②．三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）（2024•兰州）计算：．【考点】二次根式的混合运算【专题】运算能力；计算题【分析】先化简二次根式，再按照实数的运算法则进行计算．【解答】解：．18．（4分）（2024•兰州）解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组【专题】运算能力；计算题【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，得出解集．【解答】解：，由①得：，由②得：，．19．（4分）（2024•兰州）先化简，再求值：，其中．【考点】分式的化简求值【专题】运算能力；分式【分析】利用分式的混合运算的法则化简后，将代入运算即可．【解答】解：原式，当时，原式．20．（6分）（2024•兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）当时，求的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力【分析】（1）分别将点坐标代入两个函数解析式求出、值即可得到两个函数解析式；（2）将分别代入两个函数解析式得到点、的坐标求出长，根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）反比例函数与一次函数的图象交于点，，，解得：，，一次函数解析式为：，反比例函数解析式为；（2）将代入一次函数得，，将代入反比例函数得，，，．21．（6分）（2024•兰州）如图，在中，，是的中点，，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．【考点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力；运算能力【分析】（1）根据等腰三角形性质得，即，由得，由得，则，由此即可得出结论；（2）根据等腰三角形性质得，根据四边形是矩形，则，，进而可在中求出，然后根据三角形的面积公式可求出的长．【解答】（1）证明：在中，，是的中点，，即，，，，，，四边形是矩形；（2）解：在中，，是的中点，，，由（1）可知：四边形是矩形，，，在中，，，由勾股定理得：，，由三角形的面积公式得：，．22．（6分）（2024•兰州）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点的水平距离的几组关系数据如下：水平距离0341015202227竖直高度03.244.168987.043.24（1）根据如表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．【考点】二次函数的应用【专题】运算能力；二次函数的应用；应用意识【分析】（1）依据题意可得，抛物线的对称轴是直线，故抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，求出即可得解；（2）依据题意，结合（1），令，则，计算即可得解．【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴是直线，抛物线的顶点为．可设抛物线为．又抛物线过，．．抛物线的表达式为．（2）由题意，结合（1），令，则．水火箭距离地面的竖直高度为．23．（6分）（2024•兰州）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点为顶点的直角，具体作法如下：①木条的两端分别记为点，，先将木条的端点与点重合，任意摆放木条后，另一个端点的位置记为点，连接；②木条的端点固定在点处，将木条绕点顺时针旋转一定的角度，端点的落点记为点（点，，不在同一条直线上）；③连接并延长，将木条沿点到点的方向平移，使得端点与点重合，端点在延长线上的落点记为点；④用另一根足够长的木条画线，连接，，则画出的是直角．操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，．请画出以点为顶点的直角，记作；推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：证明：，与是等腰三角形．，．（依据．，（依据．．依据等边对等角（等腰三角形的性质）：依据；拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点在直线上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以为顶点的直角，记作，使得直角边（或在直线上．（保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质；三角形内角和定理【专题】推理能力；等腰三角形与直角三角形；尺规作图【分析】（1）根据“观察发现”延长至点，且，连接，即可知以点为顶点的为直角；（2）根据作图可知利用了等边对等角，以及三角形内角和定理；（3）根据过定点作已知直线的垂线的方法作图即可．【解答】解：（1）；（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）．24．（6分）（2024•兰州）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平．现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如图．信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．分组人数727信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：4；（2）下列结论正确的是；（填序号）①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的；②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；③在信息三中，相比于点所代表的学生，点所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．【考点】用样本估计总体；中位数；频数（率分布表【专题】应用意识；数据分析观念；统计的应用【分析】（1）用样本总体减去良好、合格、待提高成绩的人数即可得出答案；（2）①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断；②用中位数的定义判断即可；③根据坐标得出点和点各自的美育和体育的成绩判断即可；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1），故答案为：4，（2）①根据20位学生的体育成绩得分统计图可知：体育成绩低于80分的人数有8人，因此体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的，故①正确；②根据20位学生的美育成绩得分统计图可知一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，因此中位数位于之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误；③在信息三中，点的美育成绩为90，体育成绩为70，点的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点所代表的学生，点所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确；故答案为：①③；（3）根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人，故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有（人．25．（6分）（2024•兰州）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．实验主题探究摆球运动过程中高度的变化实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，．，；当摆球运动至点时，，．（点，，，，，在同一平面内）实验图示解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到参考数据：，，，，，．【考点】解直角三角形的应用【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】在中，根据的长，由，求出的长，由，求出的长，在中，根据，利用，求出的长，由求出的长即可．【解答】解：在中，，，，，，，，，，在中，，，，即，整理得：，则．26．（7分）（2024•兰州）如图，内接于，为的直径，点为上一点，，延长至，使得．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力【分析】（1）连接，则，进而得证明和全等得，根据，得，再根据得，即，据此可得出结论；（2）根据得，则，根据得，则，设，，证明得，即，由，得，由，得，则，据此可得的长．【解答】（1）证明：连接，如图所示：为的直径，，，，在和中，，，，，，，，，即，为的半径，是的切线；（2）解：，，，，，，在中，，设，，，，，，即，由，得：，由，得：，，．27．（8分）（2024•兰州）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），