高中数学复习专题23 平面向量基本定理及坐标表示4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

专题23平面向量基本定理及坐标表示4题型分类1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.5.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).（一）平面向量基本定理的应用(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．题型1：平面向量基本定理的应用1-1．（2024高一下·重庆北碚·阶段练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和1-2．（2024高三·全国·专题练习）设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即.1-3．（2024高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，则.1-4．（2024·湖南·模拟预测）在中，，点满足，若，则的值为.1-5．（2024高三下·河南·开学考试）已知分别为平行四边形的边的中点，若点满足，则.1-6．（2024·天津红桥·一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则，若，，则的最小值为.1-7．（2024高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且在上，且．若，则（

）A． B． C． D．（二）平面向量的坐标运算(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．题型2：平面向量的坐标运算2-1．（2024高三·全国·对口高考）为平行四边形的对角线，，则．2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，且，则.2-3．（2024高三·全国·对口高考）已知点，若与的夹角是，，则点B坐标为．2-4．（2024高一下·全国·课后作业）已知，，且，则点M的坐标为.（三）向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．题型3：利用向量共线求参数3-1．（2024·江西上饶·一模）已知向量，，若三点共线，则.3-2．（2024高三上·上海黄浦·开学考试）若三点不能构成三角形，则.3-3．（2024·湖南长沙·二模）已知向量，若B，C，D三点共线，则.3-4．（2024高三下·全国·开学考试）已知向量，若，则实数a＝.3-5．（2024高一下·山西运城·期中）3-6．（2024高三·全国·对口高考）已知向量．若与共线，则实数．3-7．（2024高三上·天津河北·期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则，的最小值为.题型4：利用向量共线求向量或点的坐标4-1．（2024高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量共线的向量.4-2．（2024高三·全国·专题练习）在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为.4-3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为．4-4．（2024高三·全国·专题练习）已知点，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为.一、单选题1．（2024·北京）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．12．（2024高三上·天津武清·阶段练习）在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（

）A．10 B．4 C．7 D．133．（2024·四川成都·一模）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（

）A． B． C． D．4．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）在中，点满足，点满足，若，则（

）A． B． C． D．5．（2024·全国·模拟预测）在中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三等分点，则（

）A． B． C． D．6．（2024高二上·甘肃兰州·学业考试）已知向量，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2024·广东·模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（

）

A． B．C． D．8．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）设，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（

）A． B．或C．或 D．10．（2024高三上·四川·开学考试）设向量，，则“与同向”的充要条件是（

）A． B． C． D．11．（2024·全国·模拟预测）在菱形中，，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的四等分点，则（

）A． B．C． D．12．（2024高三上·河南·专题练习）如图，在正八边形中，，则（）A．1 B． C． D．13．（2024·陕西西安·一模）已知向量，，若不超过3，则的取值范围为（

）A． B． C． D．14．（2024高三上·河北保定·期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（

）A． B． C． D．15．（湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测数学试题）已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或16．（2024·陕西宝鸡·一模）设向量，，若向量与共线，则（

）A． B． C． D．17．（2024·山东青岛·一模）已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“∥”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件18．（2024高三上·安徽池州·期末）已知向量，若，则下列关系一定成立的是（

）A． B． C． D．19．（2024高三上·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（

）A． B． C． D．20．（2024高三上·北京朝阳·期末）在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（

）A． B． C． D．21．（2024·湖南邵阳·一模）如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（

）A． B． C． D．22．（湖南省益阳市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）如图所示的矩形中，满足，为的中点，若，则的值为（

）A． B． C． D．223．（2024·河南·模拟预测）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．24．（2024·全国）已知向量，则A． B．2C．5 D．5025．（2024高三上·全国·竞赛）平面向量，则（

）A．3 B．5 C．7 D．1126．（2024高二上·安徽·期中）如图，在长方形中，，点P满足，其中，则的取值范围是（

）A．B．C．D．27．（2024高三上·河南南阳·期末）下列向量中，与向量共线的是（

）A． B． C． D．28．（2024高三上·河北保定·期末）已知命题，，与共线，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件29．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（

）A． B． C． D．30．（2024·四川巴中·一模）已知向量，若三点共线，则实数（）A． B． C．4 D．531．（2024·广西·模拟预测）已知和是两个正交单位向量，，且，则（

）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或432．（2024高二上·江苏南京·期末）已知的顶点在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（

）A． B． C． D．33．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知，，是直线上不同的三点，点在外，若，则（

）A．3 B．2 C． D．34．（2024高一下·江西九江·期末）已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（

）A． B． C． D．35．（2024高三上·北京大兴·期末）设向量，若，则（

）A． B． C． D．36．（2024高三上·山东威海·期末）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．37．（2024高三上·北京·期中）已知向量，，若，则等于（

）A． B． C． D．38．（2024高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知向量，，若与反向共线，则的值为（

）A．0 B． C． D．39．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知向量，若与共线且同向，则实数λ的值为（

）A．2 B．4 C． D．或440．（2024高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（

）A． B．C． D．41．（2024·河北沧州·模拟预测）在中，点为与的交点，，则（

）A．0 B． C． D．42．（2024·全国·模拟预测）如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（

）A． B． C． D．43．（2024·广东汕头·三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（

）A． B． C． D．44．（2024·山西大同·模拟预测）在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（

）A． B． C．1 D．45．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平行四边形中，M，N分别为，上的点，且，，连接，交于P点，若，，则（

）A． B． C． D．46．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在四边形中，,，点在线段上，且，设，则（

）A． B．C． D．47．（2024·安徽·二模）如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（

）A． B． C． D．48．（2024·全国·模拟预测）如图，平行四边形中，与相交于点，，若，则（

）A． B． C． D．49．（2024高三·全国·对口高考）已知向量．若实数k与向量满足，则可以是（

）A． B．C． D．50．（2024·河北·模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（

）A．1 B． C． D．51．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（

）

A． B．2 C．3 D．652．（2024高一下·广东梅州·期末）已知，且三点共线，则（

）A． B． C． D．二、多选题53．（2024高三上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，则（

）A． B．C．可以作为平面向量的一个基底 D．54．（2024高一下·福建福州·期中）已知向量不共线，且，其中，若三点共线，则角的值可以是（

）A． B． C． D．55．（2024高三下·山东济宁·开学考试）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（

）A． B．C． D．56．（2024高三上·山东青岛·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，，，点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点，则（

）A． B．C．的坐标为 D．的坐标为57．（2024·江苏·一模）已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（

）A． B．C． D．三、填空题58．（2024高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量满足：，，，设向量（为实数），则的取值范围为．59．（2024高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为．60．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，向量与的夹角为，向量与的夹角为，，，若，（，），则．

61．（2024高三上·湖南永州·阶段练习）已知平面向量，，且，则．62．（2024高三·全国·专题练习）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则.

63．（2024·广东深圳·一模）设点，若动点满足，且，则的最大值为．64．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，，若向量与平行，则．65．（2024·广西南宁·一模）已知向量．若，则实数的值为．66．（2024·全国）已知向量，，．若，则．67．（2024高二上·上海长宁·