考研数学二特征值与特征向量

考研数学二特征值与特征向量

1.【单项选择题】已知A是三阶矩阵，满足A2+2A=0,若|A+3E|=3,则|2A+E|=

A.-4.

B.9.

C.16.

D.-9.

正确答案：B

参考解析：设入是A的任一特征值，a是相应的特征向量，即Aa=、a,aWO,

那么由A2+2A=0,有（入2+2入）a=0,aWO,故人?+2人=0,入2+2人为0或-2。于

是A+3E的特征值为3或1,|A+3E|=3,那么A的特征值只能是0,-2,-2。则

2A+E的特征值:1,-3,-3

2.【单项选择题】三阶矩阵A的特征值全为零，则必有

A.秩r（A）=O.

B.秩r(A)=L

C.秩r(A)=2.

D.条件不足，不能确定.

正确答案：D

参考解析：请考查下列矩阵

-0001-010]-010"

000,000.001

0_1

_00oJ.000A

它们的特征值全是零,而秩分别为0,1,2.可见仅由特征值全是零是不能确定

矩阵的秩的.

3.【单项选择题】下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是

■300]

-2-10.

A.L141J

「3101

B.1_1053

32_

F10-1]

—303

C.50-5|

「212]

0-13.

D.002

正确答案：D

参考解析：（A）是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三

个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化.

（B）是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化.

（c）是秩为1的矩阵，由|人E-A|=0,知矩阵的特征值是-4,0,0.对于二重根

入=0,由秩

r（0E—A）=r（A）=1

知齐次方程组（OE—A）x=0的基础解系有3-1=2个线性无关的解向量，即A=0有两个

线性无关的特征向狼，从而矩阵必可以相似对角化.

（D）是上三角矩阵，主对角线上的元素元一1,2就是矩阵的特征值，对于二重特征值入=

2,由秩

m-1-21

r（2E-A）=r03-3=2

[o00J

知齐次方程组（2E—A）X=0只有3—2=1个线性无关的解,亦即A=2只有一个线性无关

的特征向也.故矩阵必不能相似对角化,所以应当选（D）.

4.【单项选择题】设A为n阶可逆矩阵，入为A的特征值，则A*的一个特征值

为（）.

IA尸

A.7~

B.A

C.X|A

D.入A-

正确答案：B

参考解析：

因为.可逆•所以AH0.令AXAX.WAAXV.从而AUX=

号k・选（B）.

5.【单项选择题】设A为三阶矩阵，方程组AX=O的基础解系为a]，a2,又入

=-2为A的一个特征值，其对应的特征向量为a3,下列向量中是A的特征向量

的是（）.

A.ai+a3

B.3a3-a1

C.ai+2a2+3a3

D.2ax-3a2

正确答案：D

参考解析：因为AX=O有非零解，所以r(A)<n,故0为矩阵A的特征值，a1，a2

为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若

ai+a?为属于特征值入o的特征向量，则有为ai+a3)=入o(a"3),注意到

A(&1+&3)=Oai—2a，3=-2&3>故-2a?=入o(ai+a?)或入他+(入o+2)23=0,因为a?线性

无关,所以有入o=O,入o+2=O,矛盾，故ai+a3不是特征向量，同理可证，3a3-ai

及包+2a2+3a3也不是特征向量，显然2a「3a2为特征值0对应的特征向量。D正

确。

6.【单项选择题】设a,B为四维非零列向量，且令人=&81则A的

线性无关特征向量个数为().

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：C

参考解析：因为a,B为非零向量，所以A=aB'W(),则r(A)21,又因为

r(A)=r(a0T)<r(a)=1,所以r(A)=l,令AX=入X,由A?X=aB，*a0T=0=X2X

地人=0,因为r(0E-A)=r(A)=l,所以A的线性无关的特征向量个数为3,C正

确。

7.【单项选择题】设A,B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P,使得AP=B,则

().

A.A,B合同

B.A,B相似

C.方程组AX=0与BX=0同解

D.r(A)=r(B)

正确答案：D

参考解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B),选(D).

8.【单项选择题】设A,B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件

是().

A.r(A)-r(B)

B.1A|=|B

C.A〜B

D.A,B与同一个实对称矩阵合同

正确答案：D

参考解析：因为A,B与同一个实对称矩阵合同，则A,B合同.反之，若A,B

合同，则A,B的正、负惯性指数相同，从而A,B与

合同，选(D).

9.【单项选择题】

/2—10/I00、

设A=-120.3=001,则A与8().

一5/'0

'0010，

A.相似且合同

B.相似不合同

C.合同不相似

D.不合同也不相似

正确答案：C

参考解析：由I入E-A|=0得A的特征值为1,3,-5,由|人E-B|=0得B的特征值

为1,1,T,所以A与B合同但不相似，选(C).

10.【单项选择题】设A,B为三阶矩阵，且特征值均为-2,1,1,以下命题:

⑴A〜B；⑵A,B合同；(3)A,B等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为

l>

1个

A.2个

氏

C3个

4个

D.

正确答案：B

参考解析：因为A,B的特征值为-2,1,1,所以|A|=|B|-2,又因为

r(A)=r(B)=3,所以A,B等价,但A,B不一定相似或合同,选(B).

11.【单项选择题】设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,其对应的特征向量为

a1,a2,a3,令p=(3ci2,-a3,2a),则F^AP等于().

I—100

010

A.o。2

00

010

B.'00—1

/I00

020

C.'o0-1

/300

0-20

D.'00-2/

正确答案：C

参考解析：

显然3a2,一%,2处也是特征值12—1的特征向量，所以1厂1"=2，选(C),

—1

12.【单项选择题】设A是n阶矩阵，下列命题错误的是().

A.若A2=E,则-1一定是矩阵A的特征值

B.若r(E+A)〈n,则-1一定是矩阵A的特征值

C.若矩阵A的各行元素之和为-1,则-1一定是矩阵A的特征值

D.若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则一定是A的特征值

正确答案：A

参考解析：若r(E+A)<n,则|E+A|=0,于是为A的特征值，若A的每行元素

之和为-1,则A(l,1,1,1...1尸，根据特征值特征向量的定义，-1

为A的特征值,若A是正交矩阵，则A'A=E,令AX=、X(其中XW0),则X’A工人

XT,XTATAX=x2XTX,即(入2—1)X，X=O,而X,X>0,故入2=1,再由特征值之积为

负得T为A的特征值，A正确。

13.【单项选择题】设A为n阶矩阵，下列结论正确的是().

A.矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等

B.若A〜B,则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵

件吗

C.若(A)=r〈n,则A经过有限次初等行变换可化为I勘W

D.若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等

正确答案：D

参考解析：

0

(A)不对，例如:A=的两个特征值都是0,但NA)=1；

00/

(B)不对•因为A〜B不一定保证A.B可以对角化;

422/I0-81

(C)不对,例如：A=11-3.A经过有限次行变换化为015,经过行变换不

'o00'000

/I0O\

能化为010;

'o00,

A।।

因为A可以对角化,所以存在可逆矩阵P,使得PAP=，于是r(A)=

J

r二.，故选(D).

14.【单域选择题】

/2001210；

设A=O5-4.3=120,则A与8().

'0—45/03/

A.合同且相似

B.相似但不合同

C.合同但不相似

D.既不相似又不合同

正确答案：C

参考解析：

显熟A.B都是实对称矩阵，由|AE-A=0,得A的特征值为，=1A=2,-=9,

由IAE-B1=0,得B的特征值为八=1①=久=3,因为A.B惯性指数相等,但特征值

不相同，所以A,B合同但不相似，选(C).

15.【单项选择题】下列矩阵中，不能相似对角化的是(

f1—13

-120

A.36

020

B.\503

780

f

009

ni000

000

J/

00

J:89

正确答案：C

参考解析：

「80、

009的特征值为7,0,0,因为「(0£-4)=「(4)=2,所以久=0对应的线性无

'000'

关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选(C).

16.【单项选择题】

(111

U11

A.合同且相似

B.合同但不相似

C.不合同但相似

D.不合同且不相似

正确答案：A

参考解析：因为A,B都是实对称矩阵，且特征值相同，所以A与B既相似又合

同，应选(A).

17.【单项选择题】

设入=2是矩阵A的一个特征值,且|A,则,有一个特征值为().

A.1/4

B.2/4

C.3/4

D.4/4

正确答案：B

参考解析：

二AI3(A，•由已知A有特征值12.故A有特征值1,(人)有特征

13

值4,故所求特征值为4.

18.【单项选择题】设4阶实对称矩阵A的特征值为0,1,2,3,则，r(A)=

().

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：C

参考解析：因实对称矩阵必相似于由特征值组成的对角矩阵，即diag(0,1,

2,3),且有相同的秩，即r(A)=r(diag(0,1,2,3))=3.

19.【单项选择题】

|200][210]

设C=di&g(1・2.23A=021.B=020.R^().

Io01J1.0011

A.A与c相似，B与c不相似

B.A与c相似，B与c相似

C.A与c不相似，B与c相似

D.A与c不相似，B与c不相似

正确答案：A

参考解析：判别A,B与对角矩阵c是否相似，利用矩阵相似于对角矩阵的充分

条件或充要条件.

[000,

由|比一4|=0.得4的特征值为2.2.1.又2£-4=()0-1，知r(2E-A)=

[00

1,即(2E-A)x=0.特征值2对应两个线性无关的特征向量，所以.4〜C.

由IAE-8=0,得B的特征值为2.2,1.又

[0一10]

2E-B=1000,

I。01；

其秩为2.即(2E8)x=0,特征值2只对应一个线性无关的特征向用.所以8不能相似于C

20.【单项选择题】设A为3阶方阵，A的三个特征值为1,1,2,a1，a2,

a3分别为对应的三个特征向量，则().

A.a1,a2,a3必为2E-A的特征向量

B.ai+a3必为2E-A的特征向量

C.a-a2必为2E-A的特征向量

D.a1,a2必为2E-A的特征向量，a3不是2E-A的特征向量

正确答案：A

参考解析：A为抽象矩阵，用定义验证.

由已知•有।=a>tAa=a；>,Aa=2a,故

(2E-A)a,=2al.kti=2a,—a=lai•

(2EA)a=2a:—.4a；=2a—=la2>

(2E—A)a,=2a-.Ur3=2a—2at=0如，

所以ai，a..a,是2E-A的特征向量.

同理可验证B.C,D不正确.

21.【单项选择题】设A,B是n阶可逆矩阵，且M〜B\则下列结果①AB〜

BA②A〜B③A?〜B?④A—B，

中正确的个数为().

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：D

参考解析：利用矩阵相似的定义.由BA=EBA=A\BA=AT(AB)A,知AB〜BA.

由.4知,存在可逆矩阵P,使得P.4PB二两边同时求道.德

PAP-B,

故▲〜8.4式两边同时取转置.用PA(P=Br.apPArip)'8•故

乂由PU1•PU*PAPH.可知A-H.

纸上所述.【)止・

22.【填空题】

门一2—21n28]

已知矩阵4=1aa和0=23aI等价,则

a4al122a]

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案:

参考解析：W-2

【解析】

A—B<=>r(A)=r(B)

11-2-2|1128I

Ai=1aa=(a—4)(a+2)»li\=23a\=2a—8

a4al1122a\

、3u1时,r(A)=r(B)-2,当aWI且a父一2时,r(A)—r(B)=3,仅a=2时,

r(A)=2.r(B)=3,故a壬一2时矩阵A和B等价.

23.【填空题】

roo1I「1

已知矩阵4=a11和B=1相似,则

1001

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：1

【解析】

因A〜A,且人=1是A的二重特征值，故人=1必有2个线性无关的特征向量.

亦即(E-A)x=O有2个线性无关的解，从而n-r(E-A)=3-r(E-A)=2,即r(E-

A)=1.

「10—inri0-I-]

又E-A=011—a00，得a=1.

L—101000

24.【填空题】

「74—1I

已知a=(1・1,-是矩阵A=一1的特征向量,则

JC

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：4

【解析】

设A，a=Xa即

r74-r■1■7+4+1=A

47一11=AfilJ4+7+1=A

J—4-4-_L--1,4-4—x=—

25.【填空题】

设A是三阶矩阵•其三个特征值为-万,万・1,则|4A*+3E|=

请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了

正确答案：

参考解析：

26.【填空题】

设A为”阶可逆矩阵•若A有特征值;I,则W产-3A.+2E有特征值

请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了

正确答案：

参考解析：

因为A可逆,所以KWO，A.对应的特征值为于是(A'产+3〃+2E对应的

Ao

特征值为（一」＞+3f+2.

27.【填空套】

/I00/600

设4~8.其中4=0x3,B=2y0，则工=

'042'00-V

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析:

tr(A)=tr(B).j3+z=5+y,

因为A〜8,所以即解得了=3,y=1.

IA|=|BI，I2JT-12=-6y,

28.【填空题】设a,B为三维非零列向量，（a,B）=3,A=aB）则A的特

征值为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：因为A2=3A,令AX=AX,因为A2X=VX,所有有（入2-3为X=0,而X

W0,故A的特征值为0或者3,因为人i+入2+入3=tr（A）=（a,B）,所以入k3,

入2=入3=0o

29.【填空题】

/I\/012\

设a=1l是矩阵A=10的特征向址,则a=.b=.

'2*、2afJ

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

1012、/1\/115=A,

由Aa=Aa得10a1=A1,即12a+1=2，

参考解析：2aW、2/

.2+a+2/)=22.

解得人=5,a=2,b=3.

30.【填空题】设A,B都是三阶矩阵，A相似于B,且|E-A|=|E-2A|=|E-

3Al=0,则加＜2£|=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析:因为|E-A|=|E-2A|=|E-3Al=0,所以A的三个特征值为1/3,1/2,

1,又A相似于B,所以B的特征值为1/3,1/2,1,从而B-的特征值为1,2,

3,则B%2E的特征值为3,4,5,所以出、2£|=60

31.【填空题】

aiiai2a131

设A=〃2I《2a23,IA|>0且A'的特征值为-1.-2.2,则

IJ

a3ia32a33

a11+u22+a33=________•

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：

因为|A'1=1A「=4,且IA|>0,所以IA1=2,又AT=|AIE=2E,所以

A.,从而A।的特征值为一］,一1.1,根据逆矩阵之间特征值的倒数关系.得A的

特征值为-2,-1.1,于是。］］+<122+。33=-2—1+1=-2.

32.【填空题】

设三阶矩阵A的特征值为储=-1①=一［①=1,其对应的特征向北为明,令

WW

P=(2a3，-34,-a2)』i］pT(A1+2E)P=______.

请查看答案解析后如■本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：P-1(A-1+2E)P=P-VP+2E,

而2一"7。=-1，所以「T(AT+2E)P=1.

'—2/'O'

33.【填空题】

设储人丸是三阶矩阵A的三个不同特征值。「/,明分别是属于特征值储人,L的特

征向量,若W,A(%+a，),A“a1+/+aJ线性无关，则储“2心满足

请查看答案解析后对※题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：

令z：ai+«r2A(%+a?)+z3A+a：+*)=0•即

(jr1-|-AijroH-Aixs)ai+(A?x2+/1)。：a=0.

则有Xt+有刀2+入狂3=0fA2X2+2任3=0.A3X3=0.

1A.Ay

因为NI2,13只能全为零,所以0A2A：K0=>A2A3K0.

|o0

34.【填空题】

i2—31\

设4=1-2a—3有三个线性无关的特征向量,则a=.

'001，

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：

A-23—1

由“E-A|=-1A+23—a=。+1)。-1)2=0得兀=-1丸=八=L

00A-1

因为A有三个线性无关的特征向麻,所以r(E—A)=1,解得a=4.

35.【填空题】设三阶矩阵A的特征值为2,3,入，若行列式2Al=-48,则人

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：A=6入，由12Al=8|A|=-48得|A|=-6,解得人=T.

I°-2-2、

矩阵22—2的非零特征值是.

36.【填空题】222

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：4

【解析】

A22

由|久E-A|=-2A-22=入2(2一4)=0得

22A-2

A的特征值为人尸入2=0,入3=4,非零特征值为4.

37.【填空题】

/0—2a\

已知A=135有三个线性无关的特征向昆,则a=

'002'

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：TO

【解析】

2-a

由|-A|=-1A-3-5=。-1)。一2y=0得

00A—2

入1=1,入2=入3=2,

因为A可对角化，所以r(2E-A)=l,

I22-a/I15

由2E—A——1—1—5-*100—a—10得a=-10.

'000'000

38.【填空题】设n阶方阵B=AA*,则B的特征值为

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：IA

由AE-A4*=AE=(A-|.4|)£；=

知B的特征值为入=4.

39.【填空题】设方阵A满足A2+2A+E=0,则A有特征值

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案:

参考解析：-1

【解析】

设入是A的任一个特征值.a工0为对应的H征向最.喇S汕.旅

(/V+2A+E)a=Aa4-24a+a=Aa+2Aa+a=(V+2久+1)a=

由a#0知X+23+l=0.故久=-1.

40.【填空题】

(200。。

设A00JH0相似•则。=♦b・

0u

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析:a=0,b=-3

【解析】

由A〜3•知在一A|AE-8|.即

A-200A—200

0A-10A-3-4

0一1A-a02人一b

(A—2)(1—aA—1)=(A—2)「人”一(3+6)A+364-81t

{n3+h«

比较久的同次需系数.得：i°解得。=0"=-3.

1—1=3〃+8.

41.【填空题】设3阶矩阵A的特征值为0,1,2,B=A-2A2,则r(B)=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：1

【解析】

由已知，A有3个不同特征值，故A必相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P,使

得

0o0

00

0I)2

由于pm*p1(APP

IPip)J

[000000

・0109I)0-10

00000

l

故BjC相似.从而r(B＞二r(C)

42.【解答题】

101-20*

已知矩阵4=01-1和8=0a3等价•求”的值并求一个满足要求

101001

的可逆矩阵P和Q使PAQ=B.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：矩阵4,8等价—厂(4)=r(5),

因A=0且「(4)=2,故B=0,即a=0且a=0时r(B)=2.

01

0

0J

rio00

故p=P?P'Pp,=oi10

|_00

10-ij

■1001

=[—o141o1],

pi—3-1

Q=0Q?Q?Q}=o11

|_o1

0

注意,矩阵PW不唯一.

43.【解答题】

1-11|

已知a=(1.-2,3)T是矩阵A=2«一2的一个特征向此

-3b5

⑴求a,b的值.

⑵判断A能否相似对角化?如能则求可逆矩阵P使PTAP=A,若不能则讲清理由.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(1)

设

1+2+3=

有2-2a—6=-2A

3—2。十15=3A

解出A=6.a=4J)=—3.

(2)由特征多项式

A111

AE-A|=-2A-42'=（A-2）2（A-6）

I33A-5|

矩阵A的特征值为储=A2=2,A3=6.

对人=2,由（2E-A）x=0.

得基础解系囚=(-1,1,0儿曲=(1.0.1)T,

由于%=2有2个线性无关的特征向量.故A〜A.

r-111-ir2-I

令P=ma5]=10-2,则有P：AP=2i

1o=13」[6」

44.【解答题】

(I)求A的全部特征值和特征向量；

(II)求可逆矩阵P,使得P"AP为对角矩阵；

an)求正交矩阵Q,使『AQ为对角矩阵.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(I)由

M和A的特fiE值入।=5A—Ai=I.

对&=5.第方程组(5£-.A)x=o.

M得Q=(-1.L0)'・%=(-1.0.1)91$Aa-**>ak・，触

七二兀二T勺应的全部特征向量.

(ID

令。=(力♦7：・力)•则Q为正交矩阵♦使用

QW=A=Q-10.

45.【解答题】设A是3阶矩阵，ana2,a3是线性无关的3维列向量，且A

a1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3=2a2+3a3.

(I)求A的全部特征值；

(ID求可逆矩阵P及A,使得P、P=A,并计算可-2E|.

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参考解析：(I)由已知，有

11Q0]

A(q,5)=(q+q+&.2。2+/,2。二+3%)=((x,，的，&)[122.

113

1100]

记B=122,由《,/,小线性无关，记C=(6,电,明),则C可逆.

13)

由①式，知AC=CB.即04C=B.因此A与8有相同的特征值.由

IA-100

AE-B|=I—1A—2—2-(A—1)"(A—4)=0,

I-1-1入-3|

得B的特征值为1.1.4.即为A的全部特征值.

(II)先求B的特征向量.

对I4=1.由。.可解4幕础解系为IJ(-l.l.O),F(-2.O.1)T|

对-4•由(4E-»x。.可，得¥砒第第为耳-(0.1.1)\

1100]

>P=<q,用.小)•则P0P=A=0I6.于是PCM'PI=A.即

CP.),4((P

则PAPA.

乂由4〜A.则A—2E〜A—2E.故

设实矩阵人=a11有三个线性无关的特征向■.

46.【解答题】II0I

(I)求a的值；

(II)求可逆矩阵P,使得P'P为对角矩阵.

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参考解析：(I)由

A+l0-2

IAE—A|=—aA—1—1=（A-l）2（A+2）=0.

|-10A|

得A的特征值兀=A2=l,Aa=-2.

因A有三个线性无关的特征向吊，所以对应二重特征值I.A应有两个线性无关的特征

向量,故r（E—A）=1.而

[20-21[10-1]

E-A=­00-1->00a+1.

I—■]0|I1000

故a+1=0,即a=-1.

（II）_______________________________________________________

Ir-1I

知位于筋=—2,由（-2E-A）x=0•得a=

[01—2]f1

令P=(Qi.工,%)=10—.则PAP=1

|o11II-2I

47.【解答题】设3阶实对称矩阵A的特征值为人产入2=1,入3=T,a1=(L

1,1)\a2=(2,2,1〉是人k入2=1对应的特征向量.

(1)求人的属于入2=-1的特征向量；

(II)求矩阵A.

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T

参考解析：(I)设入3=-1对应的特征向量为a3=(x1,X2,X3),由实对称矩阵不

同特征值对应的特征向量必正交，可知

，_T________A

解得a,=(一1・1・0)丁.故A的属于A=-1的特征向后为垢、*#0).

(II)

[I2

令?(a.a.a)121.则。”Adiag(1.1・一1).故

10

p2—111100Ijl2-ir'[0]0]

A=PAP*=121010I2I-100.

[110J[00—1]1110]|O01J

48.【解答题】(I)设A是n阶实对称矩阵，且A2=A,r(A)=r(r〈n),计算|3E-

AI;

(H)设A是n阶矩阵，且A?=A,r(A)=r(r<n),计算|3E-A|.

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参考解析：(I)由A是实对称矩阵，知A必相似于对角矩阵A,由A2=A知，A的

特征值的取值是0与1.

又r(A)=r.故r(A)=八即有

fl11

1卜个

A〜A=1

0

IOJ

从而A的特征值;I=1的重数为r，=o的重数为“一八故3E—A的特征值'=2的重数

为人人=3的重数为“一r.所以I3E-A1=2'・3丁

(II)由A2=A,知A的特征值是0与1,但没有A是实对称矩阵的条件，所以要检

验A是否相似于对角矩阵.

由A—A=A(EA)=0,知r(A)+r(E—A)《又

r(A)r(E—A)2r(A+E—A)=r(£)=n,

故r(A)-Fr(E-A)=".即有r(E-A)=n-r(A)=n-r.

对于1=1,(£-4)*=0.而八£-4)=〃一小故A有r个线性无关的特征向量内,

曲，”•♦%;

对于入=0,(0EA)x=0,即Ax=0.而r(A)=r,故A有"-r个线性无关的特征向

盘.ar.:.…a，所以P=.a,时).使得

PAP=1''=A.

可得3E-A〜3E-A，所以I3E-A3E-A

r2040,)6000

06000600

设A=与A相似.

40a000b0

49.【解答题】一2，000-2

(I)求a,b的值；

(II)求一个正交矩阵P,使得P-AP=A.

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参考解析：(I)

由A〜A・知A|•A|・ir(A)=tr(A),即

(ID

由A、A・知A的特征值，-I一/-2.

由(6EA)x=0.解