考研数学三行列式

考研数学三行列式

1.【单项选择题】设四阶矩阵A=[a,丫2,丫3,Y/，B=[B,y2,n，Y

其中a,B,Y29Y3，丫4均为四维列向量，且|A|=1,|B|=T,则

|A+2B|=

A.-27.

B.27.

C.81.

D.-81.

正确答案：A

参考解析：A+2B=[a+2B,3y2,3y3,3y4]

3

|A+2B|=3|a+2B,3y2,3y3,3y/

=27(|a,y2,y3,y/+|2B,y2,¥3，Yi|)

=27(|A|+|B|)=-27

2.【单项选择题】

3040

2222

设行列式"""’则D的第4行各元素的余子式之和M1+M2+M13+

0-700

153-22

M&4=().

A.-28

B.28

C.14

D.-14

正确答案：A

参考解析：

设元素心的代数余子式为A,,=则

Ma+M<2++Mu

4+,W<+3

=-(-1)M41+(-1)MU+[-(-1)]MU+(-I)-4M7

=—+A?-A”+A.

3040、4cl

2222340

=0-一700=7M2i2：2=—28

-11-11I-1T1I

3.【单项选择题】设a]，a2,a3,3，M均是4维列向量，且4阶行列式

|(ai,a2,a3,01)|=a,|(aa2,02,a3)|=b,则行列式1(a?,a2,a

19B1+B2)I=().

A.a+b

B.a-b

C.b-a

D.-(a+b)

正确答案：C

参考解析：利用行列式的性质，有

(a.a；.aj1=I(a-a?)l+i(a3.a2a邛工)I

=­i(a»az.a,)；-I(a；.a2,a./J)!

=­a+(cna•艮，a)I=-a-\rb=b-a.

4.【单项选择题】设Bi,62,ai,a2,扬是4维列向量，且|A|=|(Bi,

a1,a2,a3)|=1,|B|=|(P,,aH3a2,a3)|=3,则A+B|=().

A.15

B.16

C.31

D.32

正确答案：D

参考解析：

矩阵A+8=(4+艮,2a：・4a2,2G)，故

IA+B|=I(p+.・2q.4。"2a3〉I

=16]|(，，a]aa1+1(住，*aa)]

",.1,q

=16(p\«ai>a.a)1+—(良.a：,3a?,小)i

.23J」

=16X(1+-1-X3)=16X2=32.

5.【单项选择题】设3阶矩阵/由最满足A'-kA*(k>o),若

a1i=a12=a13=c>0,贝ljc=().

A.软

回

B..；

C.&F

遍

D.k

正确答案：A

参考解析：

由|A，1=1A-=|AI?"『|=i丛，|=N|A。I，|1|=|AI,可知

AIMIA3故川—D=。,于是有|A|=。或|A|=%又〃=★，即

a„-孙，故

=%—4)=竽HO.

AfliiAn+a12Al2+a》Ai3

于是=故A正确，

6.【单项选择题】设A是3阶可逆矩阵，A-的特征值为3,2,1,贝iJ|A|的代

数余子式之和AH+A22+A33=

().

1

A.八

B.3

1

c.2

D.1

正确答案：D

参考解析：因为伴随矩阵A*的主对角线元素为A”，A22,A33,所以AYA22+A33的值

等于A*的3个特征值之和，故只需求A*的3个特征值.

由A-'的特征值为3.2.1.可知4的特征值为•则

OW

A|=AlA2A3=X-yX1=

326

故A，的3个特征值分别为与=[.4—=5，4一=看,所以

AiZ入23A36

A”+A22+A33=]+4~+J=L

7.【单项选择题】

OOO1

loooJ£

IA1=1的所有代数余A子式A”之和£=().

0100

0010

A.4

B.-4

C.1

D.-1

正确答案：B

参考解析：

44

求££人,八只要求A.=(AJ…由*=!A|AL可知先求IA|和AL

由分块矩阵求逆，得

00oirl0100

AT=1°0：0_0010

*

010；00001

0010,4000.

又1/11=(一1尸-1(按第1彳亍展开).故

A*=|A4T—4

，0—100hiA3A.

00一10/A?2A2A$2

——3

000—1113A23A|3

、一1000巾A24A.A44

所以=(-1)+(—1)+(—1)+(―1)=—4.

・1"1

8.【单项选择题】

设A是3阶方阵A是A的伴随矩阵,|A|=9,则|(2A)-'-2A-|=().

1

A.

B.-2

1

C.-4

1

D.4

正确答案：C

参考解析：解法1

由A,—IAA，=5A-，则

A'-2A,

=1-4*1=(-1)3IA

1100

0220_

0033~

9

【单项选择题】1004

A

48.

B

24.

c

12.

D

0.

正确答案：D

参考解析：直接按第一列展开

220100

D=1•033+4•(-1)4+,220=24-24=0

004033

10.【单项选择题】设a1,a2,a3,B”5都是四维列向量,且|A|=|a"

=

a2,a3,BJ=m,IB||a”a2>82,a3j=n,则|a3,a2,a1，B1+B2I为

().

A.m+n

B.m-n

C.-(m+n)

D.n-m

正确答案：D

参考解析：la?,a2,a”pi+P2|=l3,a2,aH0J+la3,a2,aup2|

|Qi,a2，a3，B11一

ai,a2,a3,32

=-|ai,a2,a3,B

-

11Iai>a2>82，a3]=nm

11.【填空题】

设A=「四，02，儡〕是三阶矩阵，且IA|=4,若B=山一3侬+2图，。2一2a3,

2a?+。3]，则B.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析:20

【解析】

由行列式性质，找出IA|和|3|的联系.

BI=ai-3a?+2a3，a2-2a：；,2a?+a

=ia：-2a2a-2%，5a?I

=5Iq-2a2.aza

=5Ia,a?aI=20.

或者利用分块矩阵乘法

B=.a,­3a：+2a；<—2a3»2a:+Ch]

-10O'

=la:a]-312

.2-21.

100

12

有I8|=|AI•-312=20.

-21

2—2

12.【填空题】

,1-2

3，矩阵B满足BA=B+2E,则「一2£T

已知A=21

012

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：2

【解析】

由BA=B+2E有B(A-E)=2E.故

B.|A-E|=|2E=2」|E|=8

0-20

又IA-E|=203=4,得|B|=2.

011

.1「I

所以(7)-2B-=|3B'-2|B|B'|=|-B-'|=(-1)J|B-1|=-j,

k0一11

0k1—1

行列式，,

一11k0

13.【填空题】0k

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析:k2(k2-4)

【解析】

将第2,3,4行加到第1行，提取k,再用行列式性质，有

1111111

k1—101—1

10021

-1000k

1—1k2-1

6+1121=公(公一4).

11001

-1-1

一11=。,贝I］人

14.【填空题】-11入一aI

请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了

正确答案:

参考解析：a+1或a-2

【解析】

A-a—100

原式=-12一a+11

-12\—a

=(1-a—1)「(人-a「+(久-a)—2]=0,

得入=a+l或X=a-2.

1001

,020

行列式D,=

0031

15.【填空题】1114

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：13

【解析】

箭形（爪形）行列式，利用主对角线元素将第4行前3个元素化为零.

1001

1001

0201

0201

D]—0031

0031

0004—1—1----

1114

=1X2X3X（4—1—----^卜

|0120

行列式2=1°2

0340

16.【填空题】300

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：-4

【解析】

数字型行列式，每行（列）有2个元素为0,可以直接按一行（一列）展开计算，考

虑到元素有规律，可以利用行列式的性质，交换第1,4行，再交换第2,4

列，得

30043400

100212003H|43

D&=­—=—4

0340004312|121

01200021

a-100

0a-10

一

行列式D一=

00a-1

17.【填空题】432u4-1

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：a'+a,5+2a2+3a+4

【解析】

按第1列展开.

=a'+a'+2a2+3a+4.

18.【填空题】设A是n阶方阵，且AA'=E,|A|<0,则|A+E1=

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正确答案：

参考解析：0

【解析】

将A+E变成矩阵乘积的形式，

|A+E|=|A+|=|A(E+AD|=|A||£+ATI

=|AII£T+AT|=(A11(E+A)T|=|AIIE+AI，

故(1-IAI)|A+E|=0,由|A|V0,知1一|A|〉0,所以|A+E|=0.

19.【填空题】设A是n阶方阵，E是n阶单位矩阵.且A?=A,AWE,贝ij

IA|=-

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正确答案：

参考解析：0

【解析】

解法I利用矩阵的秩.

由M=A，可知A(A-E)=0.故

r(A)+r(A-E)《儿

又A-ErO,知r(A-E)》l,从而r(A)O,于是|A1=0.

解法2利用齐次线性方程纵

由A(A-E)=0,知A-E的列向量组是Ax=O的解.又A-E#。,知阻=0有非

零解，故IA1=0.

20.【填空题】设A,B均为n阶方阵,且|A|=|B|=|A1B|=2,则|A+B

11=•

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：2

【解析】

IA+bI|=1E4+5I1=13U+夕|I

=|B1||B.4+E|=|B1|34+A】A|

=1B1||B+A]||A|=jX2X2=2.

21.【填空题】设|A|=2,|B|=-2.其中A,B均为n阶方阵,则lA-EWB

'1=_____

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正确答案：

参考解析：(-4严

【解析】

因为AA-1：2AJ,夕-2BL所以

\ABAB'A'2AlB1|

|=(-4)"|AI-1-IB

=(-4)"•y.(--1)=(-4)1.

22.【填空题】设3阶方阵A=(ai,a2,a3).B=(3a-a2,3a2-2a),2a3-

a-2a2),且|B|=14,则|A|=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案:

参考解析：1

【解析】

，3-2-r

由3=(a].02)—13—2,知

002

3-2-1

B=|(回a<a3)I—13-214=14.

002

故|A|=L

23.【填空题】设A=(aGnxn为n阶方阵|A|=1.且A的每列元素之和均为k(kW

0)，则A的代数余子式之和AH+A12+-+Aln=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：了’

【解析】

依题意，由AA*=|A|E,得

k111

a*2

按第一行展开

，——--,=履A”+Ai2+…+Al”)1,

故An+A[2+,,,+A1„=-y.

24.【填空题】

A3A,；

设A.B均为"阶方阵•A=6.BI=1.C=B\1，则

|(ZT)°

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正确答案：

参考解析：(T)n・62nT

而=|2B-|=2"|81=2",

13A.1=3"|A'|=3"・|A尸=3"・6^•

故IC1=(-1)/2"・3"・6i=•6?i=(一]尸.62i.

25.【填空题】设A是mXn矩阵，B是nXm矩阵，当m>n时，1AB|=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：0

【解析】

由已知,AB是m阶方阵.由r(AB)Wr(B)Wmin{m,n),故当m>n时，有r(AB)

Wn〈m,故|AB|=0.

26.【填空题】

'ior

设A.B均为3阶方阵,满足A8-A-8=£,若4=02。,则|B|=

-201

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案:

参考解析：?

【解析】

由已知A2B-A-B=E,得(A-E)B=A+E,即(A+E)(A-E)B=A+E,而

‘2or

A+E=030,可知A+E可逆.故(A-E)8=E,两边取行列式,得

-202.

A-EIIB|=1.

001

而A-EI=010=2,故B=

-2001

27.【填空题】设A是3阶方阵,且满足|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0,则|2A*-

3E|=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：126

【解析】

先求出A的特征值，再求2A*-3E的特征值.

由M-E|=|(一D(E-A)|=(-1尸|E-A|=0,得|1・E-A|=O,可知;h=1

是A的一个特征值.

同理，由5+26|=|24+3初=0,得4的特征值人=-2,九=一!■,故

it

A=入山儿=3r0(A可逆).

所以A•的特征值分别为4=3,与=g与=-2,于是2A--3E

A|1A2~LLAJ

的特征值分别为

2X3-3=3,2X|-1)-3=-6,2X(-2)-3=-7,

所以12A.-3E!=3X(-6)X(-7)=126.

28.【填空题】

⑸设A是3阶方阵,a.aa线性无关,且.Aa二a卜a.Aa=a+a，Aa=

a；丁/，则'A|=—.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：2

【解析】

利用行列式的性质，由A(ai.a,a)=(6+a.a：+a,a+a\),则

A1(a；.a；.a)=I(a1+a2・a?+a+on)I

=21(«]+az+a(.a>+a3<a4+Q])I

=2I(a；+a2+a.­a；.—a2)I

=2i(aj♦-ai.-«2)I=2I(Qi,做a)!.

由于a，ch，a线性无关，故a：,a2，ar0,所以A\=2.

解法2利用矩阵的乘法及相似矩阵的性质.

’10lj

A（a1，出，%）=（①+a〉a：*a，a+a）=（a：，。经处）110.

011;

10r

记P=（a：aa）,由已知,P可逆,B=110，故AP=PB,即Pl4P=B,所以

011

101

IA=|B=110=2.

011

2001

0020_

0300~—

29.【填空题】4003

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：-12

【解析】

先将第一行的一3倍加到第四行（或第四列的一2倍加到第一列）再注意公式

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：-3

【解析】

把每行都加到第一行，有

正确答案：

参考解析：-120

【解析】

把第一行加到第四行，提出公因数10,再把第四行逐行互换到第一行，由范德

蒙行列式，得

12341111

12232421234

D=10=-10

123311223242

11111233343

=-10(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)

=—120.

32.【境空题】设四阶方阵A=[a,力，h，Y/，B=[B,丫2,丫3，丫/，其

中a,8,丫2,丫3,n均为四维列向量，且|A|=5,|B|=-,则

|A+2B|=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：108

【解析】

因为

A+2B=a.+[2/.2匕,2y,2/]=a+2『3y「3y；.3yl

故有|A+2B|=|a+2/L3r2,37，3九|=27Ia+2月.%.七,九|

=27(1a,%，为力1+2—-，力，-I)

=27(1A1+2|B1)=108

33.【填空题】设A,B均为n阶矩阵,且|A|=2,⑻=-3,财-A「B“=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析："T

【解析】

由|以|=»IA|.|AB|=|A|・|8,||=|A|.|/『|=-^―有

A

\-A'BAI=(-D"11=(-D"IATI•B'I

34.【填空题】设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1,2,3,|A|的第二行元

素的代数余子式分别为a+1,a-2,a-1,则a=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：由(a+1)+2(a-2)+3(a_l)=0得a=l.

…、设A是三阶矩阵，且IA1=4•则=

35.【填空题】'2/

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

36.【填空题】设A为三阶正交矩阵，且|A|〈0,|B-A|=-4,则|E-

ABT|=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：|A|<0-*|A|=T

|E-ABr|=|AAT-ABT|=|A|I(A-B)T|=-|A-B|=|B-A|=-4

37.【填空题】设A为n阶矩阵，且|A|=aW0,则|(kA)*|=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：因为(kA)*=kn—A*,且考*|=|A|nT,所以|标)*|=|广，*|=0叫A|

baaa

abaa

计算〃阶行列式D“=I.....

••••

38.【解答题】<<«…〃

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解法1D,的各列元素之和相等，用行加法・

/l)ab+(〃-1)。〃+(〃-l)a

，aa

D.=°••

••••

aaab

111•••1

a

-—Da]；…*

••••

aaa…b

111...1

=)+(Ll)a]0b-a??=[6+(〃—l)a](6-a)"，

(>•■

000•••h-a

解法2除主对角线上元素以外，其余，司元素均相同，可用加边法.

1aaa1aaa

0baa-1b—a0•••0

)=0ab…a=-10b-a…0*

D”=11rH••••••••

•・•♦•♦•••••

Qaab—100b-a

为箭形行列式汨(

储-

Dh=(6-a)i・[b+Da].

39.【解答题J

jr-10)01

0x—1)0

•••：：，・

证明：D”=•••l=/+XaL

000­.r-1

言法/本题言亍判断：密E.r+a"

请查看答案解:对了答错了

参考解析：证法1用数学归纳法.

7,—1

当〃=1时,D=/+“］；当〃=2时,D?='=>+山］+田，结论成立.

史十1

假设当〃=%—1时，结论成立，有

1:

Dt-i=a।+…+”人?工+61»

则当〃时,将D.按第1列展开,得

Hl

Dt=rD卜।+a»=J*+aiX+,••+a+-2/+以」工+a八

故对任意正整数n,有D“=+…+%|］+呢,结论成立.

证法2用递推法,将D“按第1列展开,得

D,=加“1一（一1）川斯・（-1尸=ZDI+M，①

故Di=.rD„2+a„-i.,••.D,=xD：+窈，D2=zDt+a?=.r+“11+图，

n

将其依次代人①式，得D“=I"+alx'+,,+%4+%.

40.【解答题】

2•—10…00

一12-1…00

0—1200

计算〃阶行列式D”=•*••(

*••*••

00…—1

000•••一12

请查看答案解析后对本题委生行判断：答对了答错了

参考解析：解D,为三对角行列式，用递推法，将Dn按第1行展开.

—1—1000

2-1-00

0-12-00

D„=2D.+(-l)X(-l),+:•••••=2Di-D„

ff1•••••

0002—1

000...—12

即几一DE=Di-D-=…=D2-Di

故D,=Di+1=(Di+1)十1=D.T+2=…=D|+(〃-1)

=2+(?i-1)=n+l.

41.【解答题】计算n阶行列式

0h„

uth\000

仇“200

0azl)20

0仇小00

••••*•

D”=•••••+•••••

*••••

000a„,b„t

000

bMQQ0att

00…*

其中anbi,均不为0.

请查看答案解析后对本题进行判断答对了答错了

参考解析：解记Dn=Dl+D2.D1按第1列展开,得

a%bi0•••000

0a?b•••0U21)20…0

•••3•••・•••

D]=©•••••+(-1)•••••

oo0•••36i000bi

0000an000

=田方-%+(―1)"76也”也.

是D的转置行列式，故D2=D=”+(-1)田瓦修•也，故

D„=2©加…%+2(—

b-a；-ag••,一U\a„

-u^>U\b-ci：一ufu

计算〃阶行列式D”=；,"；n

•••♦

42.【解答题】a-aaa…64”

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：除主对角线元素外，第i行(i=l,2,n)元素分别是a1，

a2,…，ai-i,ai+i,…，

a”的倍数，即：(-ai)ai,(-ajaz,…，(-aja-,(-ajai+i,…，(-a;)an.可考

虑用加边法，

1flia2…a„1a\ai•••a„

0b-u\-a\at•••—a\a„a1b00

D"=D„.■=0-aa\b-a：—aa„=a0b0

♦•2••2•2•••

•・••••♦•♦•♦•*

0一%©-a„a,b-%%001)

为箭形行列式.故。“=/，1(分一£屋).

43.【解答题】

卜+仇a•••a

aa+〃•••a

计算n阶行列式D.=•••(6,WO).

••*

aa•••a+

请查看答案解析后对本题为先行判断：答对了答错T

参考解析：解以中除主对1龟线外，各列元素分别相同，用加边法.

1001-a-u•••一a

1a+“aa1b\0

D==%=1aa+6a1069«

•••••••«

••••••••

1a

a•••〃+九100bn

该行列式为箭形行列式，故可求得2=(1+£

a0-100|

—

a1•T1•••00

a_0J•••0

计算，/阶行列式D“=****

**