考研数学一曲线、曲面积分

考研数学一曲线、曲面积分

L【单项选择题】设S为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=l(a,b,c均大于零)，则

1=(江南博哥)・

A.4Ji

B.4n(a+b+c)

C.0

D.一

正确答案：B

参考解析：

注意耳S分别关于平面了==对称•则

1||y-**z)dS=『[(]-Q)+(y—6)+(之—r)]dS+|T(a+6+c)dS

:»0+Q4-A4-c)||dS,4”(a+"c).

1.【单项选择题】设S为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=l(a,b,c均大于零)，则

(x4"v4-z)dS=(

1=■'

A.4Ji

B.4n(a+b+c)

C.0

正确答案：B

参考解析：

注与到S分别关于平面了=u.y=bn=c对称,则

2.【单项选择题】

设+/=R2(z>0)S为S在第一卦限的部分.则().

正确答案：c

曲2=ziy•知之关于J.y均为偶函数•故『d64『wdS,

参考解析：，“二“M“

由S关于面,汹片面均对称.知RdS-0*IydS=0.xyxdS-0.而]'/dS>0.

*»♦>•%c

♦•3■

『.vdS>0.RryzdS〉。.故排除A.B.D,所以C正确.

c»•

1.【单项选择题】设S为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=l(a,b,c均大于零)，则

11(x-Fy4-s)dS—(),

1=:

A.4n

B.4n(a+b+c)

C.0

4,,

D.

正确答案：B

参考解析：

注意到S分别关于平面J=a.y=〃・w=c对称.则

I—I+y+z)dS=+f>)(zc)]dS♦-1(a•-6-4-r)dS

,5y

■O+(a+6+dS=Xa+b+c).

2.【单项选择题】

设5千2+/.丁=H2(z20).Si为S在第一卦限的部分.则().

f]rdS=4lj.rdS

A..

JK»(a*1

IvdS.4vdS

B.

^■a<«*

11:dS=11；­:dS

C.',•

A*Ct*

j,vsdS=41irytdS

D.

正确答案：C.

由z=ziy•知z关于i.y均为偶函数•故/dSl|sdS.

参考解析：，.*三

由S关于面.1yos而均劝称.知j/d5。♦[ydS=0.rytdS-0.而[rdS>0.

C5♦j.VJ*•<5*

[vdS>0・『j»dS>0•故排除A.B.D,所以C正确.

3.【单项选择题】

设曲线L为，+y*—】•取逆时计方向♦/Q._y)>O./(j'.一=/(x»y),

L3如图9-1所示，记L=|fCxtyydx.Iz=|ff,jc^y'ids.

图91

A.I"%

B.12>13>1,

C.L>l2>L

D.I2>I,>I3

正确答案：B

参考解析：如图9-15所示，由曲线积分的定义，知

八=1=limg/(&，？)Ax.V0(因/(&，？)>0.

JA1。，.

LLT,V0),

*

L=f(x,y)(Lr=lim\f(Sf)ZLr,>0(因/X&,斗)>0,

JL]1•

Ar.>0).

/=I/(i.y)山=>口因5=/(3rJ+(Ay)

故L>L>L.

4.1单项选择题】设L为闭曲线|x|+|y|二L取逆时针方向，则1二

fa«rdy-AycLr,、

1/■

JLJrl-rly

A.8(a+b)

B.2(a+b)

C.8(a-b)

D.2(a-b)

正确答案：B

参考解析：由L：|x|+1y|=1,知

JLIx|+iyIJt

则问题转化为求/h，产rdy一与dr.

如图9-16所示端D为/|+|>|<]・应用格林公式.用

/—1)—6yd.i|(a4"fr)<Lr<iy—(a+6)•(^2)=2(a+b).

4.【单项选择题】设L为闭曲线|x|+|y|=l,取逆时针方向，则上

£丝心一仁业.(),

JL1+；丫

A.8(a+b)

B.2(a+b)

C.8(a-b)

D.2(a-b)

正确答案：B

参考解析:由L：|x|+|y|=1,知

£axciv-6vax£」.•

，r・中一；74；-Taxelv-r>vcLr>

JLI*|+!yIJt

则问题转化为求J与业.

如图9-16所示.山D为x|+|>|<].应用格林公式.用

/—T”-rdy-Zrvdr11(a-AlcLrdy—(a+/>)•(、,三)：—21a,b).

5.【单项选择题】

《+金一4=1

曲线L：<1645在箱y面上的投影柱面方程是

、z-2z+3=0

A.x2+20y2-24x-116=0.

B.4y2+4z2-12z-7=0.

Ix2+20^*—24JT—116=0,

C.z—0.

(4y2+4z2—12z—7=0,

I

D.r=0.

正确答案：A

参考解析：

方法1投影柱面方程是一个三元方程，(C)(D)表示的是曲线.(B)中的方程

中含脸不可能是L在面上的投影柱面方程，因此选(A).

方法2由曲线L方程第二式得

_1+3

Z=~

代人第一式化简得

1

X+20/—241r—116=0

即为L在工Oy面上的投影柱面方程.

6.【单项选择题】

设CNA=1,2.3)分别为曲线>=l，］+y=l，/+y=2,其方向为逆时

针方向・L=，(3yr?+V)&r+(3z+y)dy,(6=1.2,3).则

A.IX^Ia.'

B.m

C.I3<I2<I1.

D.I2GKI3.

正确答案：c

参考解析：由格林公式得

(3—3j'—3y)do

Jr2fyI<-1

=3||(1—x2—(y2)d(j.

A=3『(1—x—y')da.

y+JVI

/3=3||（1—x*—3-'）dff.

xz-ry12

注意到在圆M+y24l之外，以上三个二富积分的被积函数（1一工2一严为负，由上图可

知

Z3<1：<Z.

故应选（C）.

设曲线L为椭例［+*=1,其周长为/,则((历•+”)2ds等于

A.(a+b)1.

B.(a2+b2)l.

C.a2b2l.

D.abl

正确答案：C

于(研+”)2小=，(62x24-2abxy+a2y2)ds

=；，(〃匕,+//)ds=aV，(0+方)小

=a-7;()ds=a2b~I.

参考解析:JI.

故应选(C).

8.【单项选择题】设场A={x3+2y,y3+2z,z3+2x),曲面S：x?+y2+z2=2z内侧,

则场A穿过曲面指定侧的通量为().

A.32n

B.-32Ji

32^,

c.5

32£

D.-5

正确答案：D

参考解析：

33

10=(J+2y)dydz+(y"+2z)dzcLr+(z+2x)d/d1y

=-3jjj(xz4-+z2)dv=—3d。|dgr'sinqdr

JoJ0Jo

n

i

=—6n,sin^dg|rdr=—rJsin^cos(pd<f>=­；，选(D).

JoJo

9.1单项选择题】

设为曲线=三上自点

0yA(-1.1)到点3(1.1)的弧段.

L=C(门+户dsJ=dx.1=八(zy-y：)ds.

JAHJAB3JAH

则().

A.I,>I2>I3

B.I2>I3>L

C.I3>I,>I2

D.L>l3>L

正确答案：A

参考解析：曲线弧关于y轴对称因此由对称性知

rrr

/】=八(13y+y2)ds=八工3yds+22ds=2Jds>0,

JAB.JABJABJ

("ds=0,

I2=

JAB

*i•

I=-y2)dS=[

3-•rjd-^y2ds=-2^y2ds<0.

JABJAbJ.ABJ(IB

可知/,>/?>八，故选(A).

10.1单项选择题】

设淳为抛物线/=工上从点A(l,-1)到点8(1,1)的一段弧,则\“小=().

JAB

A.0

B.T

2

c.T

D.y

正确答案：A

参考解析：

曲线弧标关于1轴对称,D为y的奇函数,因此(.“小=0.故选(A).

JAB

11.1单项选择题】

设E是正圆锥面。=1).则曲面积分1bds=().

C.岳

D.n

正确答案：A_

，dS=jj/a?+/&drdy—</2|r•rdr=

参考解析：*，­

12.【填空题】

设/.为M+y=K(,y20)上由点八卜石,石)到点8(K・0)的•段孤・则|=

vZvZJL

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

24-v^n：3*4-2

参考解析：->R*3kD；

【好析】

现而的图形如图9-1所示,取I为参数,则孤/G的方

13.【填空题】

设曲面S：|x|+|y|+|z|=1.则/=/(z+y+lzI)dS

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

4白

参考解析：3

【解析】

由S关于左面,zOy面对称•工与y是奇函数.故

，＞rdS=£_vdS=0.

又S关于直线z=y=之对称，由轮换性•知

/=+,+1z|)dS=O+O+^-^(|x|+|y|+|z')dS

7眄

s

S由八块等边三角形组成,等边三角形边长为虑(如图9-2).

故S的面枳为8•1・(⑶'・sin年■4氐所或J1X・里

设L为点(1・1,2)到点(2.1・3)的在线段,则/|(z;4-y+r)di

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：9、，后

【解析】

两点连线L的方向向it为S,故L的方程为

其参数方程为｛y■-1+2，.(0(，(I)♦则小=V十，％)也・、用也•故

\z-2+,

I=|(1’+，+?)dj■J<6[(1+z):+(-1+2/):—(2+，)：]也

J&-J・

=V8(6+21+6/)d/=9、优

15.【填空题】

设Lk：+V=R・取喂时的方向.则/=j-—―

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

KR

参考解析：

【解析】

沿闭曲线L的积分，考虑利用格林公式.先将L：x?+y2=R2代入被积函数，去掉

被积函数中无定义的点则

♦/*(0,0),

1=(c’一1.Y)ctr-—e')d^

RJL

中林公式1.

1........h(/+，)(Lrdv

16.【填空.题】

设积分I=]F(i.y)(y<lr+工力)与路径无关，且FCr,y)=0确定的隐函数的图

点(1.2)区与坐标•无交点.其中F(jr.y)可做.则F(x.y))■定的修话刎为

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：xy=2

【解析】f

依18设•记P(J.y)=F(.r.v)v.Q<r.v)=F(.r,v).r.«lf即

+xF.(jr.y)=-yF、(”.3。■

整理得一姿吗=—>=义

匕(1，y).rdr

故F=一]，,得1nly：=-Inj|+lne'.所以zy=C(C=土e。).又过(1,2)点,得

C=2.

味上可知.所求函数为Q=2.

17.【填空题】设曲面S：x2+y2+z2=2x,其密度为P=x?+y2+z2,则曲面S的质量

m=.

请善着雷解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：8n

【解析JM】.M

m=|](/+y：+/)dS=Ij2“dS

--

■『2(上一l)d5+「2dS=0+2X4KX11-8x(利用球面面积).

H9

18.【填空题】模光滑有向曲面S的边界曲线为光滑有向闭曲线L,方向符合右

手法则，则[='皿।「，「心—-------.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：0

【解析】

gradsin(x+y+z)=(cos(x+y+z),cos(x+y+z),cos(x+y+z)).

由斯托克斯公式，有

19.【填空题】

设Y=d+W+以・”为肆面+./+：=1的外单位法向后•则〕y•n<\S

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：4JI

【解析】

令F(>r・y“)=+»+——】♦则外法向最为

(F・F',E)=(2x.2y,2z).

J(2z)2+(2y)2+(2v)?，⑵>+③7+⑵),，(2"?+(2y)：+(2Z)”

=(z,y,z)=xiyj+zk•

从而y•ndS=11(,rf--de)•(xi+yj+cA)dS

ss

=[J(x2+yz+z2)dS=I]IdS=4KXI2=4K»

3s

这里f+y+i="ids表示球面s的表面积.

s

20.【填空题】

已知曲线L为曲面z=\/2—I'—y2与〉+y'=1的交线，则J&=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了.‘

正确答案：

参考解析：/

【解析】

将合十y=1代入Z=，2—/一丁，得z=1,则曲线L的参数方程为

X—COSI

<jr=sin/

z=1

$iRz2ds=cos2/sin2ZV(~sint)2+(cos/)2+02d/

rfrf

=4cosZsin'/d/=4(1—sinJ/)sinzdz

J0J0

rf..

=4(sin2/—sin4/)d/

J0

=4/-l-X———X—X—=—

\22422/4

21.【填空题】

设C为曲线卫=6/上从CXO,0)到A(l,&)的曲线段.则jcosy&r-23in则)=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错亍

正确答案：

参考解析：-1

【解析】

方法I由于总cos/=・(-2芝ysiny?)=-2^siny2则该线积分与路径无

关，又

cosy2di*-2zjsiny=d(icosy2)

f|(1♦/«>

则|cosydj-2“sinydy=/cosy2="1.

’5法？由以上分析知该线积分与路窗无关,改换积分路径,从(0,0)到(0,4)再到(1，

G则

cosy2d.r—2zjsiny，dy=j(—l)dx=-1

22.［填空题］:］

设。是由锥面Z=&T7与半球面2=JR2一理一面用成的空间区域，£是。

的整个边界的外侧.则］卜'dydz+ydzdH+zd.rdj»=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：(2--/2)nR'

【解析】

由高斯公式得

J(14-l+l)dv

zdydz+ydwd.r+zdjdv=

n

=3Iddjd^lr2sin^dr=(2—>/2)K^\

J0J0J0

23.【填空题】

设w为球面f+y+-=1在第一卦限部分的下侧,则.产心力=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

1

参考解析：15

【解析】

=-----1-

15,

24.【解答题】

设L为由ra(a>0)・"0和";所州外平面区域的边界・"・6)为极坐钵，

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：计算第一类曲线积分时要化为定积分，关键是正确写出积分曲线的

参数方程.

L由如图9-3所示中5・/.213三条曲线构成.

Li：，；1；'di=Ar.JOOjeds=dJ=e"—1j

小壬」：邕;:。《，《『则

e4+『ds=e-\4Psin红+;

L,o

L.ds=+12dl=叁dr,则

lJT-N■

e'"'ds=e;J•v2cLr=e-—1•

故ff

图93

if»和仆/-也,其中

25.【解答题】

(I)L为(x+2)2+62)2=1,取逆时针方向;

(H)L为x2+y2=l,取逆时针方向；

(皿)。'.♦敢逆时针方向］

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(I)

记p=――，Q=42,则P与Q在D|：(z+2)2+(、-2)2<1

X+VX+V

上有一阶连续倡导数•且聋-挛=7-

GXay(工+V)

由格林公式.将/-<｛一―1』廿二『守一望)dxdy-O.

JLx+v*<?y/

(II)

由于P与Q及建和学在/+/<1内的点(0,0)处没有定义,所以不能直接利

34dy

用格林公式•克接利用L的参数方程］:常:'计算•得

(III)

由于P与Q及S和挛在椭圆二+匕V1内的点(0.0)处没有定义•故不能直接

dxdyab'

利用格林公式.考虑在-1内作一个半粒充分小的uu.二取腰时。

a*&y=ran«♦

方向.rlVVie《，42ic)•挖去点(0.0),在L+L所图的X域D：上用格林公式.捌

f当二申=『审-学也命=加加=0.

VJL.r■*4-TvJ*f■I\、r?9r■J<jvf/W

BA

广

SHX］f0干X*dy,-*y<.Lr.甲£—j一-j"y,d一x'I/(cmf.sin*/)d.iw_o

JLJT+VJL.JT+VJtr

K中/.为逆时针方向.

£“dy-y<Lr

=K：（K>I）.取逆时计方向,计算

26.【解答题】JL+9y2I

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

p=———Q—*=9炉—《上・

参考解析：'9

由于P与Q及第和'■在/+./<?内的点（0,0）处没有定义•不能直接利用格林公

式•考虑到被积表招工的犷母为4M+9广在>+y=R1内部作一个小的椭圆

（1

x=—rcosr•

Lr-JJ

!v=—rsin/.

[J3

r充分小•取顺时针方向，则在L+L,所围区域。上用格林公式,有

27.【解答题】设曲线L：x2+y2=R2（R>0）,取逆时针方向，问R为何值时，积分

「'、'取得最大值，并求最大值.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：L为闭曲线，利用格林公式，记P=y3,Q=3x-x3,

fIT

1（R）=，y'd/十（3«r—r*）dv=1.（3—3r—3.v）d.rdy

故K1是唯一极大值点,也是最大值点,最大值为/（I）-

28.【解答题】

设八r）有一阶连续易敏•曹线枳分|-e/]而加一与路拉无

关•且f（0）・0・求，（1）」

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

记P=[/（X）-e'Jsiny.Q—―/（x）cosy,依照意,有典・里•即

dxoy

参考解析:—j（jr）cosy=[/（工〉-u"]cos

又不恒为零,故Iff\（Uo）/J=o5,

一阶级性做分方程的通H.•ef4-ar+cl-e-*（yeH-（）.

fe*J***

由/（O）=0.得C——<5■.故/a）=；（e，—e-r）.

29.【解答题】

计算/=f/三续,其中L是从点A（1.D沿直线到点3（—1,0）,再沿曲线

JLX+V

y=x:-1到点C（1»0）.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：法1

因为半一半=《：.・所以在不含

点（0・0）的区域内•枳分与路径无奉±D图9-6所示.取

1="•I，=v・y=5inr・

连接《二二，充分小）取顺时

\y-y*Iy-osini

针方向，则

30.【解答题】

设P(i.y)="-，*二七三，..Q(*.y)=—上，,—工).D={(]♦¥>Iy>0},

(D若积分I=1P&r+Q办在D内与路径无关.求々的值；

A/44S

(II)在Q内求函数"(八N)，使得d“=Pdx+Qdy,并计算I二/乙L-Qd1y.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(I)

由于D是通连通区域.且P3・y3QJ..v)在D内有连续通导域,故

|PL+Qdy在D内与路监无关=>%=望.

JLdjrdV

_,

即--r(>/JTZ4~~y^)*——2+3^")*,一::

^y7rry

=­W(qf)'+—k(qm+y)41•—«

yyq'6+:

等式两边同时除以1(6r疗)i.得一2(>+/)—段：=一(Xs+y)+ky1,

即遂+】)(/+=o,解得k=-1.

(H)由(I)知，当k=T时,存在u(x,y),使得du=Pdx+Qdy.用积分求u(x,

y).

由某=P(x,y)=二,可知

“(>r,y)=—.j.-；&r+@(y)=—Z.+♦--h^P(y)♦

其中=「(3)+C.又卤为

—《♦+.2)+—,

=—,丹丁i+中3

y，一+:

=—―，:，,-1-=Q(z,»),

y2{F+y’

所以/(y)=0.即％(y)=所从而有

«(x,jr)=+>+C(C为任意常数).

y

Pdx-i-Qdy=u(x,y)[=卜*+』：+c).二=0.

31.【解答题】

设曲线/,为z=4一/一丁与％=3的交线,从w轴正向看是逆时针方向.计算

I=$j13dz+zdj+>ds.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解法1

如图9-7所示,曲线L：]:二;「三一了’消去'•网｛：二:'】•

X=cost•

故参数方程为=sin，・(04，&2*).

Is-3

I*lyl«y

由Z-3•知第位法向St为(C8a・cos8*cosy)=(0.0.1)•故

=-3co—GsinPdGrdr一s\n20)s\n2Odd

1/rz«f2«、.

=——(sir?6dg_sin4^d0)=——•

Z'JoJoo

其中DMY+J&L

计算/=.y.QdS•其中6*/»+n：=1.

J(jr^y^z)=<

32.【解答题】

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：如图9一8所示.

33.【解答题】

设曲面S为上半刷锥c="■寸被阕柱面1：+«-2or(a>0)所截出的有

限部分•计算/(./■'yyz:•+-s\r)d.S.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：如图9—9所示，曲面S关于xOz面对称，x2y和yz?关

于y是奇函数♦故If.r:ydS=Iy之：dS=0.

Jj6

34.【解答题】设s为z=x?+y2介于z=0与z=l之间部分的下侧，计算

I=1-sdjrdy;

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：法1如图9-10所示，利用高斯公式.

添加曲面§：z=1&D.取上侧，有

/=gx:dydz+NcLrdy-[1/'d3dz+zdxdy.

S-S,Sj

由于6/dyd之+weirdy=11(2x+1)dV

j：d心d1(296+l)dLA

11r2dydz+^cLrdv=11Idxdv—ddjrdr=

其中Djy=((xtj)|12+/41),故/=告一次=-y.

ffi910

新法2投影法.5"=/一/下侧的法向量为“一2九2》.一1),方向余弦为

2工—1

cosa―"।，-；.-/=।▲

，(21)”+(2y)，+(-1)’+(2y)‘+《一】)’

由蛆5■将■皿工dS(转换公式).可知

cosacospcos/

dvdz=---^cLrdv=(-2/)<Lrdv.

cosy.

故/=l].r2djdz(―2工)+zjdzdy=一|((―2r'+/+/)drdy♦

+zd_rdy=,

•••••

其中%=（（3）Ixz+yz其1"为奇函数,从而

cLrdy-『(j-2+y2Jdxdj=0-do\r2•rdr7t

/=2

0J02^

D

34.【解答题】设s为z=x?+y2介于z=0与z=l之间部分的下侧，计算

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：法1如图9-10所示，利用高斯公式.

:

添加曲面S1：z=1(x+y<1)•冬上侧.有

-r:dydz+Nclrdy-"jr'clydz+zdxdy.

由于ftx2dydz+之dzdv—|[(2x+l)dV

JOM

柱面坐标

rdr.(2rcos6+1)dz=

•1»,•2

:II1必力=「此工

|TTdvde+zdrdj»=rdr=m

n

其中D”=|故I=y—7T

2,

懈法2投影法.S遥=i'+y;下制的法向盘为”>,♦-1)•方向余弦为

2x-1__________

―,…一----■cos/——

+(2y)‘+(-I),v'(2y)'+(-1

由她dvdjr„Ardy

=dS（转换公式）.可知

cosacosRcosy

,

dvdz=^^cLrdy=(-2j)dxdyt

cosy

dydz，zdxdy=(2x)+zjcLrdy=—J(—2J+/?+y)drdvt

§%

其中D“=｛（x,j）I为奇函数,从而

(x*+y2)d«rdy=0—djjr

I=2jirdy—|•rdr=一多

o

35.【解答题】

设曲面5d=/+_/(0<£(1).取匕制・计算I工l|(x+l)dyd:*scLrdy.

••

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解法1(投影法)如图9T1所示.

SVLJFF

X♦

S9II

I=J|(1+1)dyd2+?(Lrdy-J*411十1IO•

Ii=|[(z+l)dydz=|j(x41)djdc+『(l+1)djvdc

s§•*

2

=一『\/z-ydydz+—>Jz—y2)dydz

»«••

J%

=一2|Ty/z—y2dvdz=-2tdy「WZdz

3

=-2/(2r-j).dy大.(1—jr2)dv

Jlo

r-sin/4ff.,

-q•2](1ydy-—•Zocostdt

3Jo

1、/c、/31、/__K

3人”入4人2入2一方.

yJ)d>rdy=|dGr;•rdr=2xX

ft/-/,+/,+1=0.

修法2（转换公式法）幼虫dx(Lr汕=dS

COM/

曲曲S：：=1+y上IN的法向最为“=（-21.-23・1)•故

]

cosa=•cos——cosy

4•I1+4J:+4y

所以dyd;=-drdv=(-2])djdv♦故

COS/•

fr

I=I(x+I)dyd*+sdrdj

・、■

tr(T

(j4-1)•(-2工)十jclrdv="(2/，rIdjrdv

JUs*.*

/«*Al

■||[-2/+X'+y1]djrdy=|dfl—/cos：。”"

rjiIu1

二|(sincos'd)的|rdr——sin29•丁・0・

修法3i高斯公式法).

播加辅助面S-，广L：取下例.用/■fl一口.又

11■y\■u4y>4JL4

CTATit«nn«riri

ft(.r+1)dydc+cdrdy=—J(l+0+l)dV,m，2|此|rdr|ck=-m

JvJLJJ，J.J(

s»s.V

ITITfTfx«n

(i+I)d;vcU-Ndrdy=0+11idjdy—一|iIcLrdy=—dt“rdr・—X•

«U*舄yW<*r»

故Iu-n—(—x)=0.

36.【解答题】

设曲面为1=G+『介于zN】与N.2之间的部分•取上网,计算

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：如图9T3所示，为了利用高斯公式，添加辅助面

S，：。12；经&.取下角：§,（：：；；：41,取上谓,则

而11jrVdydN+y*d工<Lr-arcLrdy

+-2y+jr)(Lrdydz—-r'11<Lrd>4

="j'r-nz2dz=一半（这里利用了2y与z是奇函数）.

又+y2dzdj+zxdxdy=0+0-Fl|2id/dy=o+o+o=o«

••s•■,.LJU1/上

+y2dzdx+口cLrdy=0+0+Ij/clrdy=0+0+0=0.

*x+3G

37.【解答题】

一个体积为V.表面积为故不含底面）的雪堆,融化速度为学=-aS.其中”>0

,,d£

为常数，设在融化期间雪堆的形状保持为z=八一工答（2>0）,其中6=*/）,问一个高

h

度为人">0）的雪堆全部融化需要多长时间？

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了管错了

参考解析.当。堆的高度为人时,其体积为v1131A川；亨］

余表面积由_____________，

s=（J1+Z；4z；krdy=『、/1+捍+转dzdy

JJVfl"fl

=fff-江dzdy=d0A/h2-I-4rrdr=哈（54一］）.

将V和S的表达式代入华=-aS.得$=一1（54一1）,积分得

h=-y（5>/5-D/4-C.

由人=儿，得C=儿■故h=—鼻（5氐-1），+儿.

3。9

雪堆全部融化.即方=0,所需时间为t=―警一=9M（/+1）.

a（575-1）124a

38.【解答题】

设/）；r+y；《1.1。.y》0.L为D的正向边界.证明：，上e，dy—je'd.r

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错7,

参考解析：由格林公式，有

MM|

，dy-ye*<Lr.+。"）<Ltdy]

乂D笑干有线v：-1M称（如图j17）.W

39.【解答题】设L为y=ncosx从A（n,-n）至ijB（-n,-冗）的曲线，计算

j=j（工+y-（工一y）dy