考场仿真卷01-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标I卷)（解析版） (一)

绝密★启用前

2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷

第一模拟

本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项:

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题.每小题5分去60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z="工为纯虚数，则（）

1-2/

A.2B.4C.-16D.-4

【答案】B

(8+出)(1+2，)_8-2〃+(16+〃)i、r…上.皿”-8—2〃_16+。

【解析】因为z=E=为纯虚数，所以—^―=0,—^―工。，解得

(1-20(1+2/)-5

。=4.故选区

2.已知集合4={0,1,2,4},8=卜卜=2",〃€4卜则4口8=()

A.{0,1,2}B.{0,1,4}C.{0,2,4}D.{1,2,4}

【答案】D

【解析】因为人={0,1,2,4},8={1,2,416},所以403={1,2,4},故选口.

3.如图是国家统计局于2020年11月发布的2019年10月到2020年10月全国居民消费价格的涨跌幅情况

折线图.（注：2020年10月与2019年10月相比较称同比,2020年10月与2020年9月相比较称环比）根据

该折线图，下列说法错误的是（）

A.各月居民消费价格同比有涨有跌，涨幅最大为5.4%

B.2020年9月居民消费价格同比上涨1.7%

C.2c20年3月居民消费价格环比下降1.2%

D.居民消费价格同比涨幅最大的月份也是环比涨幅最大的月份

【答案】A

【解析】各月居民消费价格同比涨幅都是正数,所以一直在涨，故A错误；2020年9月居民消费价格同比上

涨1.7%,故B正确；2020年3月居民消费价格环比下降1.2%,故C正确；居民消费价格同比涨幅最大的月

份是2020年1月，环比涨幅最大的月份也是2020年1月，故D正确.故选A.

4.高压10攵丫输电线路电压损失估算口诀：架空铝线十千伏，电压损失百分数；输距电流积六折，再被导线截

面除：输距千米电流安，截面亳方记清楚.其意义为“对于高压10&V的架空铝线,若输电线路的输距为xkm、

电流为〉A,导线截面为z〃历广则电压损失百分数^为二竺工力^^据此可知/寸于一条长度为期加^高

z

压为10kV的输电线路，若当导线截面为50根加2,电流为3。A时的电压损失百分数为4%,当导线截面为

U.

40mm2,电流为35A时的电压损失百分数为〃％，则才二（）

40「35

A.一B.—

2124

C.生21

D.—

3540

【答案】C

18

—册rrn/0.6x10x30180.6x10x3521,U.524

【解析】由题知,。।%=———%n/=—%n/,(/.%=-----------%ft/=—％n/,所以一L=W=一

52404&035

4

故选C.

5.设。为坐标原点，尸为抛物线C：/=8）,的焦点,p为。上一点，若归耳=6,则小。产的面积为（）

A.2B.472C.48D.4

【答案】B

【解析】•・•抛物线C：炉=8),,「.尸(2,0),准线丁=—2.由|尸目=6,即P到准线的距离为6.

设尸(的为)V尸|=%+2=6，解得,%=4，代入抛物线方程f=8y,得/=±4&.

=g10F|闻二;x2x4夜=4拉.故选B.

【解析】由题知/(%)=(%3一36.上！|内定义域为(-00,内).因为

'7"+1

/(_幻=(—3+3417三=一13一341^=13一341^=/(6所以/(力是偶函数,函数图

象关于y轴对称，排除选项B；又f(2)=2x^l>0,故排除选项CD.故选A.

e~+l

7.赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆

方图”、亦称“赵爽弦图”.第24届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基础进行设计的.如图，四边形

AqGA是由四个全等的直角三角形与一个小正方形48co拼成的一个大正方形.如果小正方形ABCD

的面积为1,再以正方形AqCQ为“小”正方形向外作“弦图”，得到正方形A2耳G2……按此做法进行下去,

记小4=。，。6(9,9),正方形4纥62的面积为%(〃£乂*).若tan6=1则%=()

一4J

A.5用B.5〃一1C.25”D.5x10"

【答案】C

【解析】设二4也想=3/%则A£)=4切一3小=根=1,A4=5m=5,

所以4=52=25

1

设4-1纥=4肛,4=3m，则4-i2T=4〃?-36=m,4纥=5〃?,所以见_]=m2Mli=(5加/=25m

所以2=25,所以数列｛4｝是以25为首项,25为公比的等比数列，所以可=25x251=25",〃eN*,

n~!

故选c.

8.如图,在平面四边形ABCD中,AB_LBC,AD±CD,/BAD=120,45=AO,若点E为边CD上的动点,

则通•“的最小值为()

C.”

D.3

1616

【答案】A

【解析】连接NQ,取人。中点为。可知△他）为等腰三角形，而ARJLRC.AD1CD,

所以△BCD为等边三角形,BD=5设库：=1灰（OStW1）

AEBE=（^D+DE）（^D+DE）=ADBD^DE（Ab+Bb）+DE2

=-^BDDE+DE=3/-3£+3（0«，<1）,所以当f=』时，上式取最小值21,

222416

故选A.

9.已知等差数列{q}的前〃项和为S”,巨£>S8，S8=S9<Sm则下面结论错误的是（）

A.%=0B.S}5>S}4

c.d<0D.与S9均为s〃的最小值

【答案】c

【解析】对于A选项，由Sg=$9可得％=R-a=0,A选项正确：对于C选项，由S?>Sg可得

%=Sg-S?<0d=%-仆>℃选项错误；对于D选项，由510>Sg可得Go=S\o-Sq>0,且

%=0,。8<04>0・所以，当〃〈8旦〃6底时,勺<。，且6=0，则58与59均为5〃的最小值0选项正确；

对于B选项,・・・博=0，d>0，当k。10时，4>%=0，所以,4-几=%>0,B选项正确.故选C.

10.已知P,Q分别是正方体-的棱881,CG上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误

的是（）

A.ABA.PQ

B.平面BPQ〃平面AORA

C.四面体ABP。的体积为定值

D.AP〃平面CDDg

【答案】C

【解析】

如图所示:

P、。分别是正方体4?。。一44^。的棱5片（6上的动点（不与顶点重合），

对于A,・.・AB_LBC.AB1BB「BCCBBI=B、BC、BB.u平面BCCR,

/.A5JL平面BCCB，・・・PQu平面BCCA..AB_LP。,故A正确；

对于B「・•平而ADDXJ\H平面BCC出\，平面BPQ与平面BCC昌重合，，平面BPQ//平面ADD,>4.，故B正

确：对于C.・・・A到平面BPQ的距离AB为定值,Q到BP的距离为定值,BP的长不是定值,，四面体ABPQ

的体积不为定值，故C错误;对于D「・,平面平面CORG、APu平面A3用4AP〃平面CODC，

故D正确.故选C.

22

11.已知耳，尸2是双曲线c：£一£=1（〃>0,力>0）的左,右焦点，过点6倾斜角为30。的直线与双曲线的

左，右两支分别交于点A.8.若|八周=忸身厕双曲线C的离心率为（）

A.扬B.6C.2D.75

【答案】A

【解析】设|简|=九则|你|=1+勿=忸闻,从而忸£|=1+4«,进而|网=4°.

过尸2作~LAB=〃，则=勿.如图：

在Rt△耳写“中.怩”|=2csin3()o=c,忻M=2ccos6=&=M周；在R3AKH

中,(6c)2-c?=(Zap,即2c2=46,所以《=&.故选A

12.已知函数f(x)=a(sinx-cosx)+gcos2x+x,若f(x)在一条乃上单调递增，则。的范围是()

A.[1,2]B.[0,+oo)C.[0,2]D,[0,1]

【答案】D

【解析】•//(x)=a(sinx-cos~cos+x,/.f(x)=6z(cosx+sinx)-sin2x+1

471

若/⑶在一于"上单调递增则/(x)=〃(cosx+sinx)-sin2x+lNO在一于汽恒成立，

令,ncosx+sinx,则f=V^sinx+f,sin2x=*-1,又一工Wx+2工'故,

<4J444

一旦sing]

«1nH-1,忘］，所以问题转化为不等式■产+m+2“在［-1,&］上恒成立，即不

2I4j

//(-1)<0

等式r—m—2V0在［―1,&］I:恒成立.令〃⑺=»一〃.-2,1£［一1,&］则有，，解得OW〃W1.

〃(扬《0

故选zr

二、填空题：本题共4小题,每小题5分洪20分.

3x+2y+2>0

13.若变量满足约束条件，则z=x+2y的最大值为.

x-2y+2>0

【答案】6

【解析】画出可行域如下图所示，由图可知：当直线x+2y-z=0过点（2,2）时,z取得最大值2+2x2=6.

\6

2

14.(X+1)jy/x—展开式中含X的项的系数为

\fx.j

【答案】-100

忘《［,展开式中含，的项包含两部分L部分是

【解析】原式二x"一斗中的常

数项，一部分是的含x的项展开式的通项为

7x)

&=&•(«)6r1-•=(-2)Jqy,令3-7=0,解得r=3Z=(-2)3.C：=-160；令3-7=1,

解得/•=2，=(-2)2-C*=60尤，所以。+1)«一子)展开式中含4的项的系数为

—160+60=—100.

15.若函数f(x)=lnx+x与g(x)=4手的图象有一条公共切线,且该公共切线与直线y=2x+l平行，

则实数m=.

17

【答案】—

【解析】设函数/(x)=lnx+i图象上切点为(%,%),因为r(x)='+i,所以/(%)='+1=2,得%=1,

x/

所以%=/(/)=/⑴=1,所以切线方程为丁―1=2*—1),即y=2x7,设函数g(x)=2=的图象上的

X—1

2(x-l)-(2x-/w)tn-2

切点为（斗,必）（西工1）,因为g'"）==2

d)2U-1)

2c、2x.-m.

所以gW=------=2^tn=2匚-4%+4,又y=2%-1=g(%)=----二，即m=-2r+5%-1.

(X［T)X［一］

所以2町-4为+4=-2工；+5M-1,即4x：-9±+5=0,解得芯=』或芯=1（舍）,

4

所以m=2x(；)-434，.

48

16.在三棱锥P-ABC中,P4=PB=BC=4,4c=8,48_LBC.平面PAB_L平面ABC,若球Q是三棱

锥P-ABC的外接球，则球。的表面积为.

【答案】80〃

【解析】因为平面PABJL平面A8C,平曲PABn平面ABC=AB,AB±BC,BCu平面ABC,.\BC±

平面PAB,取AB,AC中点Z）,E,连接DE、DP,所以DE〃BC、DE=2".DEJ_平面

PAB;.DELPD,・.・24=依，所以。为AB的中点，又AB±BC,所以三棱锥P-ABC外接球的球心在

面ABC内的射影为AC的中点，丁3c=4.AC=8.AB=J8?_42=46，

PD="_（2可=2、PE=历9=2亚＜4，所以三棱锥P-ABC外接球的球心在面ABC的下

方，如图，过。作OF_LPDFF,所以四边形OEDF为矩形.设球心O到面ABC的距离为人即OE=FD=h.

三棱锥尸一ABC外接球的半径为凡故冗2=川+42=/+（力+2）2,解得力=2、我2=2?+4?=20,所以

球。的表面积为S=4兀R?=80万.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必

须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）在AABC中，角A,8,C所对的边分别为。力，c,满足辰=b（sinA+6cosA）.

（1）求角8的大小；

（2）若a+c=2,求b的取值范围.

【解析】（1）由6°=6卜由A+6cosA）

得：73sinC=sinsinA+^3sinBcosAX2分）

V3sin（A+B）=sinBsinA+>/3sinBcosA

V3sinAcosB+>/3cosAsinB=sin8sinA+6sinBcosA

：•GsinAcosB=sinAsinB,

***tanB=V3,（5分）

*/Bw（0,»）,/.B=?.（6分）

（2）,:a+c=2、B=巴,

3

b2=a2+c2-laccosB

=a2+c2-ac=（«4-c）2-3^=4-3«c>4-3f^|^l=1（当且仅白二°时取等号）（10分）

又b〈a+c=2、

・・・/?41,2）.（12分）

18.（12分）如图，在圆柱卬中，点Oi、02分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点〃在上底面圆周上

（异于N、尸），点G为下底面圆弧ME的中点，点”与点G在平面MNFE的同侧，圆柱W的底面半径为1,高

为2.

(1)若平面F7V""L平面NHG,证明：NGLFHx

（2）若直线N”与平面NFG所成线面角a的正弦值等于空,证明：平面NHG与平面MNFE所成锐二面

5

角的平面角大于

【解析】（1）由题知：面FNHL面NHG、面FNHC面NHG=NH.

因为FHA.NH、FNu平面FNH.

所以平面NHG.

所以阳_LNG.（5分）

（2）以。2为坐标原点,分别以02G,02Ef02a为％、外z轴建立空间坐标系O2一孙z,

所以可（0,—1,2）.6（1,0,,0）,尸（0,1,2）,（6分）

设”（/心2），则m2+n2=l

丽=（八〃+1,0）（7分）

设平面NFG的法向量1二（百,%,zJ,

元•雨=0（%,相）（1,1,-2）=0

因为《

].标=0.（M，X，Zi）（0,2,0）=0

x+y,-2z.=0一,、

所以L八，即法向量4=（2,0,1）.（8分）

12y=0

NHn.2m2m2m厉

因此sina=

|N"|同|15/5xyjm2+（H+1）2石xyjm2+n2+2n+\「2〃+25

所以2m2=3〃+3,解得〃二一1,小=正，所以点”，一万,2I.（10分）

222

设面NHG的法向量%=（电，％，z2）;

（^,y2,z2）（l,l>-2）=0

%NG=0

因为《2一八，所以〈Mioh

（々,％匕2）

n2NH=0122J

x2-i-y2-2z2=0

所以4y/31，即法向量“2=1.-V3,

—X）H—y=0

I22272

因为百MNEE的法向量卮=（1,0,0）、

所以

所以面M7G与面MNFE所成锐二面角的平面角大于（12分）

19.（12分）“72钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能

出现两种模式："常规模式''和"FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先

拿满1分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“砌S乃”模

式，“的S乃”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用

“刚575”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位迷手进行比赛，经统计分析甲、

乙之间以往比赛数据发现,24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率

211

为；，乙获胜的概率为二；在“项ST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为彳，每局比赛结果相互独立.

（1）求4局比赛决出胜负的概率；

（2）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为X,求X的分布列及数学期望.

【解析】（1）设前24分钟比赛甲胜出分别为4（z=1,2,3）.乙胜出分别为耳（/=1,2,3），在“FAST5”模式每局

比赛中获胜为C,4局比赛决出胜负记为事件0.（1分）

P（D）=+AAzA。+4

P[\A2CCB2CC+B,B2B3C）

（4分）

（2）X的可能取值为4、5、6、7,（15分）

3

P（X=4）七（2

5）=,（兀2?

4

尸（X=6）=（|）（；）+（o\2网9+

C}1-3

7

24

7

（10分）

24

所以，随机变量X的概率分别列为:

X4567

7

P

6424

1177137

X的数学期望为EX=4X-+5X-+6X—+7X—=」一.（12分）

64242424

£+£=1（。＞力＞0）的左焦点与上顶点关于直线y=一X对称，又点

20.（12分）已知椭圆E：

a-b-

E上.

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）若动直线/与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（l,0）作直线/的垂线,垂足为。，试证点。总在定圆

上.

【解析】（1）左焦点（-c,0）,上顶点（01）关于直线丁二一工对称，可知匕=5

31

将P点的坐标代入椭圆得—~-+=1,又/=从+c?,联立解得：cr=2'=1'

2a24b2

故椭圆E的标准方程为：1+丁=1；«分）

（2）①当切线/的斜率存在且不为。时,设/的方程为＞=点+加.

y=kx+m

联立直线/和椭圆E的方程，得,

—+y=1

12

消去y并整理，得（2k2+1卜2+4加优+2病-2=0,（6分）

因为直线/和椭圆E有且仅有一个交点，即方程有两个相等的根,...△二16公加一4（222+1）（2相2-2）=0,

化简并整理，得2r+1.（7分）

因为直线M。与/垂直，所以直线M。的方程为：y=-1（x-l）.

I-km

=解得X-1+产,

联立〈

k+m

y=kx+m,

2

2_(1一版『+(>+团)2_攵％l+F+vl+l_(F+1)(疗+1)_ZH+1

(l+.2)2-口+&2)2-_(1+/)2--1+/

把m2=2公+1代入上式得，点。坐标（％y）总满足f+y2=t=2,恒为定值；（10分）

k+\

②当切线/的斜率为0时，直线/：y=±1,过点"（1,0）作直线/的垂线为：x=L即此时Q（l,l）或Q（L-D,

点。坐标（x,y）也满足%2+J=2；

③当切线/的斜率不存在时，直线/：x=±五，过点M（l,0）作直线/的垂线为：y=0,即此时Q（J5,0）或

（一应,0）,点。坐标（和）也满足/+丁=2.

综上所述，点。总在定圆V+y2=2上.（12分）

21.（12分）已知函数/（工）=111%一61%+3,其中々£1^.

（I）讨论函数”X）的单调性；

（2）当4之2,0<%<1时,求证：/（x）<（3-x）e\

【解析】⑴由题意知函数八％）的定义域为（0,+e）J'（x）=，--（1分）

X

当avo时r（%）>o函数，（力单调递增.（2分）

当a>0时，令/'（1）>0,得0<X<’,令『（工）<0,得%>工，

aa

上单调递增，在+8）上单调递减.（4分）

综上,心0时,/（力在（0收）上单调递增；a〉0时"（x）在（0,）上单调递增，在］,+8）上单调递

减.（5分）

（2）由题意知/（力一（3-工产=lnx-a¥+3+（x-3）e".

4-/j(«)=(-x)«+lnx+3+(x-3)ev,a>—,

2

易知MG在；，+«>)上单调递减，

<h.(6分)

、乙)

，要证〃%)v(3-x)e",

只需证lnx+a_3）e'—；x+3<O,xe（O/）.（7分）

令8（元）=111%+（工一3）/-3工+3»£（0』）,则只需证且（工）<0.

—+eA+(x-3)er--=—+(x-2)ex--=(x-2)[eA-—

.V2x2I

•:0<x<1,x-2<0.

令e（x）=e、-,易知e（x）在（0,1）上单调递增,

乙人

且当R.0+吐9（x）v0；当Xf1时,0（x）>O.

，存在唯一的不£（0』）,使°（%）=0.

二当0<x</时,/（x）v0,g'（x）>0,当天<x<l时，9（/）>0,g'（R）<0,

・•・g（H在（0,毛）上单调递增，在（不』）上单调递减，

・•・g（。皿=g（%）=m/-3）e%-5%+3.

由3（%）=0,得甘>=/-,两边同时取对数，得与=lnJ-=_ln2_ln%,ln；To=_/Tn2,

g（》）a=（-Xo—ln2）+（Xo-3）^--；/+3

33J-3（1'71r

=一予一丁+彳-ln2=_；/+—十丁ln2

2

2/22（x0>2

371

<——x2+一一In2=一一ln2<0.（H分）

222

不等式/（力v（3一力e”对任意的。之;.%£（0,1）恒成立.（12分）

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修