《高等数学(下册)》课件-第6章

第6章常微分方程6.1常微分方程的基本概念与分离变量法6.2一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程6.3二阶常系数线性微分方程6.1常微分方程的基本概念与分离变量法

6.1.1基本概念

1.引例

例6-1如果一曲线上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标，且该曲线通过点(2，1)，求该曲线方程.

解设所求的曲线方程为y=f(x)，M(x，y)为曲线上任意一点，由题设条件得

这就是y=f(x)所满足的微分方程.对方程两边同时积分，得到

即

又由于曲线过(2，1)，即当x=2时，y=1，代入上式可得

C=－1，所以，所求曲线方程为

例6-2设一个质量为m的物体，在不计空气阻力的情况下由静止开始自由下落，已知当t=0时，v=0、s=0.求物体下落过程中，路程s和时间t的函数关系.

解设质量为m的物体自由下落时，其路程是时间的函数s=s(t)，自由落体运动的加速度为g，根据牛顿第二定律有

对上式两边同时积分得(6-1)对式(6-1)再积分一次，得

将当t=0时，v=0代入式(6-1)得

C1=0

将当t=0时，s=0代入式(6-2)得

C2=0

得到路程与时间的函数关系为 ，即为所求的自由落体的运动方程.(6-2)

2.微分方程的基本概念

含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.这里必须指出的是，在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但是未知函数的导数或者微分形式则必须出现.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.由于本章中只涉及常微分方程，因此在本章我们把常微分方程简称为微分方程.

微分方程中所含未知函数的导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶.二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.例如方程y''+y'－10y=3x2，y(4)－5x2y'=0都是微分方程，分别为二阶微分方程和四阶微分方程，这里y是未知函数，x是自变量.

一般地，n阶微分方程的形式为

F(x，y，y'，…，y(n))=0

其中，x是自变量；y是x的函数；y'、y''、…、y(n)依次是函数y=y(x)对x的一阶、二阶、…、n阶导数.

如果微分方程中所含的未知函数及其各阶导数或微分都是一次有理式，称这样的微分方程为线性微分方程，否则就称为非线性微分方程.如果一个函数y=φ(x)代入微分方程后，能使方程成为恒等式，则这个函数称为该微分方程的解.微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种含有任意常数.如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则这样的解称为微分方程的通解.不含任意常数的解，称为微分方程的特解.这里所谓独立的任意常数，就是任意常数所在的项之间不能合并同类项.

在许多实际问题中，通常会给出确定的微分方程一个特解所必须满足的条件，这些条件称为初始条件.

设微分方程中的未知函数为y=y(x)，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是

其中，x0、y0都是给定的值.

如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的初始条件为

其中，x0、y0和y1都是给定的值.

求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题.由此可知，一阶微分方程的初值问题为二阶微分方程的初值问题为

例6-3验证函数y=(x2+C)sinx(C为任意常数)是方程

的通解，并求满足初始条件

的特解.

解求y=(x2+C)sinx的一阶导数，得把y和代入方程左边，得

左边=2xsinx+(x2+C)cosx－(x2+C)sinxcotx－2xsinx

=0=右边

方程两边恒等，且y中含有一个任意常数C，因此y=(x2+C)sinx是所给方程的通解.

将 代入通解y=(x2+C)sinx中，得

所求的特解为6.1.2分离变量法

定义6-1形如

的一阶微分方程称为可分离变量的方程.该方程的特点是：等式右边可以分解成两个函数乘积，其中一个只是x的函数,另一个只是y的函数.因此，可将方程化为等式一边只含变量y，而另一边只含变量x的形式，即

其中，g(y)≠0，对上式两边积分得(6-3)

其中，等式左端对y积分，右端对x积分.积分结果就是式(6-3)的通解，这个求解的过程就称为分离变量法.求解步骤是：第一步是分离变量；第二步是两边同时积分.

例6-4求微分方程 的通解.

解分离变量，得两边积分，得

即

ln｜y｜=x2+C

于是，原方程的通解为

例6-5求微分方程(1+x2)dy+xydx=0的通解.

解分离变量，得两边积分，得

于是，有

所以原方程的通解为

例6-6求方程 满足初始条件y｜x=0=－1的特解.

解分离变量，得

两边积分，得即

由初始条件y｜x=0=－1可确定常数C=2，从而得所求的特解为

例6-7放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就会不断减少，这种现象叫做衰变.由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子含量M成正比.已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律.

解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数 ，由于铀的衰变速度与其含量成正比，故得微分方程

其中，l(l>0)是常数，称为衰变系数，l前置负号是由于当t增加时，M(t)单调减少，即 .

由题意，初始条件为M｜t=0=M0，(M>0)，用分离变量法解微分方程，得

代入初始条件，解得C=M0，有

M=M0e－lt

这就是所求铀的衰变规律.由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减. 6.2一阶线性微分方程与可降阶的

高阶微分方程

6.2.1一阶线性微分方程

定义6-2形如

的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)都是x的连续函数.当Q(x)=0时，方程(6-4)变为(6-5)(6-4)方程(6-5)称为一阶线性齐次微分方程.

当Q(x)≠0时，方程(6-4)称为一阶线性非齐次微分方程.

下面先介绍一阶线性齐次微分方程 的通解的求法.

可以看出，一阶线性齐次微分方程(6-5)是可分离变量的方程.通过分离变量，得上式两边积分，得

即

从而得到齐次微分方程(6-5)的通解

其中，C为任意常数.(6-6)下面我们介绍一阶线性非齐次微分方程 +P(x)y=Q(x)的通解的求法.

有了齐次微分方程(6-5)的通解(6-6)，如何进一步求出方程(6-4)的通解呢？我们来分析式(6-6)，它是齐次微分方程(6-5)的解，但它肯定不是方程(6-4)的解.然而我们可以设想,如果式(6-6)中的常数C不是常数，而是x的函数u(x)，那么能否选择适当的函数u(x)，使

满足非齐次方程(6-4)呢？(6-7)式(6-7)对x求导，得

把y和 代入方程(6-4)中，得

即

两边积分，得

其中，C是任意常数.

于是，一阶线性非齐次方程+P(x)y=Q(x)的通解为

式(6-8)可改写为

这种将常数变易为待定函数的方法，称为常数变易法.可以看到，一阶线性非齐次方程的通解是其对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和.(6-8)

例6-8求微分方程 的通解.

解这是一阶线性非齐次方程，因为 ，Q(x)=x2，代入式(6-8)，有

所以微分方程 的通解为

例6-9求微分方程 ，满足

的特解.

解该微分方程是一阶线性非齐次方程，P(x)=cotx，Q(x)=2cosx，代入式(6-8)，得

将初始条件 代入通解，得C=5，故所求特解为y=sinx+5cscx.

例6-10求微分方程 的通解.

解所给方程不是未知函数y的线性方程，可将它改写成

即

把x看成未知函数，y看成自变量，以上就是一个一阶线性非齐次方程.因为

所以由此可见，在解微分方程时，将x、y中的x或者y看成自变量，要视所给方程而定.这是求解微分方程时应注意的.

6.2.2可降阶的高阶微分方程

1.y(n)=f(x)型

微分方程

y(n)=f(x)

的特点是其右端仅含有自变量x.容易看到，由于积分与导数运算互为逆运算，两边积分，就得到一个n－1阶的微分方程

同理再积分一次，就得到一个n－2阶的微分方程，依此法继续进行，接连积分n次，便得到含有n个任意独立常数的通解.

例6-11求微分方程y'''=e2x－cosx的通解.

解对所给方程接连积分三次，得

这就是所求的通解.

2.y''=f(x，y')型

这种类型方程的特点是不显含未知函数y，因此也称为不显含y的微分方程.此类方程的解法是：令y'=p(x)，则y''=p'，代入原方程，将方程化成以p为未知函数的一阶微分方程p'=f(x，p)，这样便将原来关于x、y的二阶微分方程降为

关于x、p的一阶微分方程.设其解为p=j(x，C1)，而 ，

因此又得到一个一阶微分方程 ，对其积分，

就得到原来二阶微分方程的通解

例6-12求微分方程(1+x2)y''=2xy'满足初始条件y｜x=0=1，y'｜x=0=3的特解.

解所给的微分方程是不显含y的微分方程.设y'=p，则y''=p'，代入原方程，有

(1+x2)p'=2xp

分离变量并取积分，得

积分，得

ln｜p｜=ln｜1+x2｜+C

p=y'=C1(1+x2)

(C1=±eC)由条件y'｜x=0=3，得

C1=3

所以

y'=3(1+x2)

两端再积分，得

y=x3+3x+C2

再由条件y｜x=0=1，得

C2=1

于是所求的特解为

y=x3+3x+1

3.y''=f(y，y')型

这类方程的特点是不显含x，因此也称为不显含x的微分方程.解这类方程的办法是：令y'=p，并利用复合函数的求导法则把y''化为对y的导数，即

这样，原方程就降为以p为未知函数，y为自变量的一阶微分方程，则

设方程的通解为：p=φ(y，C1)=y'，分离变量后积分，便得到原方程的通解为

例6-13求微分方程yy''+(y')2=0的通解.

解这是不显含x的微分方程，令y'=p，则y''=p，代入原方程，得

即由p=0，即 ，得

y=C

由 ，分离变量，得

两边积分得ln｜p｜=－ln｜y｜+C1，即

分离变量积分得

y2=C1x+C2

这就是所求方程的通解.(注：解y=C包含在通解中，它不是方程的通解，它的独立常数个数与阶数不同，它只是使得方程成立的解.)

6.3二阶常系数线性微分方程

6.3.1二阶常系数线性微分方程解的性质

定义6-3形如

y''+py'+qy=f(x) (6-9)

的方程(其中，p，q为常数)，称为二阶常系数线性微分方程.

当f(x)≠0时，称方程(6-9)为二阶常系数线性非齐次微分方程.当f(x)=0时，即

y''+py'+qy=0

(6-10)

为式(6-9)所对应的齐次微分方程.

定理6-1

(齐次线性方程解的叠加原理)设y1(x)、y2(x)是方程(6-10)的两个特解，则对于任意的常数C1、C2(C1，C2可以是复数)，y=C1y1+C2y2仍然是方程(6-10)的解，且当 时，y=C1y1+C2y2就是方程(6-10)的通解.

证首先证明y=C1y1+C2y2满足方程(6-10).由于y1、y2都是方程(6-10)的解，所以y''1+py'1+qy1=0，y''2+py'2+qy2=0.将y=C1y1+C2y2代入方程(6-10)的左端，得

y''+py'+qy=(C1y1+C2y2)''+p(C1y1+C2y2)'+q(C1y1+C2y2)=0

这说明y=C1y1+C2y2是方程(6-10)的解.下面证明它是方程(6-10)的通解.因为

由于 ，所以C1、C2不能合并成为一个任意常数，这说明y=C1y1+C2y2含有两个独立的任意常数，所以它是方程(6-10)的通解.

定理6-2

(非齐次线性微分方程通解的结构定理)设y*是非齐次线性方程y''+py'+qy=f(x)的一个特解，而Y是对应齐次方程y''+py'+qy=0的通解，则y=Y+y*是非齐次方程y''+py'+qy=f(x)的通解.

证由已知条件知

(y*)''+p(y*)'+qy*=f(x)，Y''+pY'+qY=0

下面证明y=Y+y*是方程(6-9)的解，事实上

(Y+y*)''+p(Y+y*)'+q(Y+y*)

=Y''+(y*)''+pY'+p(y*)'+qY+qy*

=(Y''+PY'+qY)+［(y*)''+q(y*)'+qy*］

=0+f(x)=f(x)

这表明y=Y+y*是方程(6-9)的解.

又因为对应齐次方程(6-10)的通解Y=C1y1+C2y2中含有两个任意常数，所以y=Y+y*中也含有两个任意常数，因而它是二阶非齐次微分方程(6-9)的通解.6.3.2二阶常系数齐次线性微分方程的解法

我们先分析y''+py'+qy=0的特点.此方程左端是未知函数与未知函数的一阶导数、二阶导数的某种组合，且它们乘以“适当”的常数后，可以合并成零，这就是说，适合于方程

y''+py'+qy=0的解y必须与其一阶导数、二阶导数只差一个常数因子，而具有这样特征的函数，我们自然会想到erx.

不妨设y=erx是方程y''+py'+qy=0的解，则

y'=rerx，y''=r2erx

将它们代入方程y''+py'+qy=0，便得到

erx(r2+pr+q)=0

由于erx≠0，故

(r2+pr+q)=0

(6-11)这是关于r的一元二次方程.显然，如果r满足方程(6-11)，则y=erx就是齐次方程(6-10)的解；反之，若y=erx是方程(6-10)的解，则r一定是方程(6-11)的根.我们把方程(6-11)称为方程(6-10)的特征方程，它的根称为特征根.于是，方程(6-10)的求解问题，就转化为求方程(6-11)的根问题.下面分三种情况进行讨论.

(1)当p2－4q>0时，特征方程有两个不相等的实根r1、r2.这时，

是微分方程(6-10)的两个特

解；且 常数.所以微分方程(6-10)的通解

是：

(2)当p2－4q=0时，特征方程有两个相等的实根r1=r2.这时，

是微分方程(6-10)的一个特解.为了得到通解，可以证明， 也是微分方程(6-10)的一个解，且y2/y1=x≠常数，因此微分方程(6-10)的通解为

(3)当p2－4q<0时，r1=a+ib、r2=a－ib是一对共轭复数根.y1=e(a+ib)x，y2=e(a－ib)x是方程(6-10)的两个解，为得出实数解，利用欧拉公式eiq=cosq+isinq可知

y1=e(a+ib)x=eax·eibx=eax(cosbx+isinbx)

y2=e(a－ib)x=eax·e－ibx=eax(cosbx－isinbx)由定理6-1知，y1，y2是方程(6-10)的解，它们分别乘上常数后相加所得的和仍是方程(6-10)的解，所以

也是方程(6-10)的解，且 ，因此，方程(6-10)的通解为

y=eax(C1cosbx+C2sinbx)根据以上讨论，我们总结求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤：

(1)写出齐次线性微分方程(6-10)的特征方程(r2+pr+q)=0.

(2)求出特征方程的特征根.

(3)根据特征方程的根的情况按表6-1写出方程(6-10)的通解.

例6-14求微分方程y''+2y'－8y=0的通解.

解所给微分方程的特征方程为r2+2r－8=0，即

(r+4)(r－2)=0

其特征根为r1=－4，r2=2.因此所求微分方程的通解为

y=C1e－4x+C2e2x

例6-15求微分方程y''－6y'+9y=0的通解.

解所给微分方程的特征方程为r2－6r+9=0，它有相同的实根r1=r2=3，因此所求微分方程的通解为

y=(C1+C2x)e3x

例6-16求方程y''－6y'+13y=0的通解.

解所给微分方程的特征方程为r2－6r+13=0，它有一对共轭复根r1=3+2i，r2=3－2i.因此所求微分方程的通解为

y=e3x(C1cos2x+C2sin2x)

例6-17求方程 满足初始条件s｜t=0=4，s'｜t=0=－2的特解.

解特征方程为r2+2r+1=0，特征根为r1=r2=－1，于是方程的通解为

s=(C1+C2t)e－t

因

s'=(C2－C2t－C1)e－t

故将初始条件代入以上两式，得

C1=4，C2－C1=－2

从而C1=4，C2=2.

于是原方程的特解为

s=(4+2t)e－t

6.3.3二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

1.f(x)=Pm(x)elx

其中，l为常数，Pm(x)为x的m次多项式

此时方程(6-9)为

y''+py'+qy=Pm(x)elx

(6-12)

考虑到p、q为常数，而多项式与指数函数的乘积求导以后仍是同一类型的函数，因此，我们设方程(6-12)有形如y*=Q(x)elx的解，其中Q(x)是一个待定多项式，为使

y*=Q(x)elx

满足方程(6-12)，我们将y*=Q(x)elx代入方程(6-12)，整理后得到

Q''(x)+(2l+p)Q'(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)

(6-13)

式(6-13)右端是一个m次多项式，所以左端也应该是一个m次多项式.由于多项式每求一次导数，次数就降低一次，故有以下三种情况：

(1)当l2+pl+q≠0时，即l不是特征方程r2+pr+q=0的根时，式(6-13)左边Q(x)与m次多项式Pm(x)的次数相同，所以Q(x)为一个m次待定多项式，可设

Q(x)=b0xm+b1xm－1+…+bm－1x+bm=Qm(x)

(6-14)

其中，b0、b1、…、bm为m+1个待定系数，将式(6-14)代入式(6-13)，比较等式两边同次幂的系数，就可得到b0、b1、…、bm为未知数的m+1个线性方程的联立方程组，从而求出b0、b1、…、bm，即确定Q(x)，由以上分析，可得方程(6-12)的一个特解：y*=Qm(x)elx.

(2)当l2+pl+q=0，但是2l+p≠0时，即l为特征方程r2+pr+q=0的单根，那么式(6-12)就成为Q''(x)+(2l+p)Q'(x)=Pm(x),由此可见，Q'(x)与Pm(x)同次幂，故设Q(x)=xQm(x)，其中，Qm(x)是m次多项式，同样将它代入式(6-13)即可求得Qm(x)的m+1个待定系数，从而得到方程(6-12)的一个特解：y*=xQm(x)elx.

(3)当l2+pl+q=0且2l+p=0时，即l是特征方程r2+pr+q=0的特征重根时，式(6-13)就变成Q''(x)=Pm(x)，此时设Q(x)=x2Qm(x)，将它代入式(6-13)，便可确定Qm(x)的系数，得到方程(6-12)的一个特解：y*=x2Q(x)elx.

综上所述，我们得到如下结论：

二阶常系数非齐次线性微分方程

y''+py'+qy=Pm(x)elx

具有形如

y*=xkQ(x)elx

(6-15)的特解，其中，Qm(x)为m次多项式，它的m+1个系数可由式(6-15)中的Q(x)=xkQm(x)代入式(6-13)而得到，其中式(6-15)中k值的确定如下

例6-18求方程y''+4y'+3y=x－2的一个特解并求其通解.

解原方程所对应的齐次方程的特征方程为

l2+4l+3=0

特征根为l1=－3、l2=－1.方程右端可看成(x－2)e0x，即a=0.由于0不是特征根，故设特解为

y*=ax+b

将y*代入原方程，得

4a+3(ax+b)=x－2

比较两边系数,得

3a=1，4a+3b=－2

即

故

于是方程通解为

例6-19求方程y''－5y'+6y=xe2x的通解.

解原方程所对应的齐次方程的特征方程为

l2－5l+6=0

特征根为l1=2、l2=3，从而对应的齐次方程的通解为

y=C1e2x+C2e3x

因为a=2是特征方程的单根，故设其特解为

y*=x(ax+b)e2x

于是

(y*)'=［2