第五章 数列教学课件

【标题】第五章数列

第一节数列的概念与表示

课程

通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列

是一种特殊函数，

知识•逐点夯实-必备知识系统梳理基础重落实|课前自修

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知识好梳还

1.数列的概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

数列的通项数列｛an｝的第♦项an

通项公式数列｛〃〃｝的第〃项与度号区之间的关系式

前〃项和数列（中，Sn=+42H------Fa”

提醒数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.

2.数列的分类及性质

有穷数列:项数仃限；

r~~〔按项数分类）

I无穷数列:项数无限

递增数列

V［按项与项间递减数列：«»♦!<«„；

1—的大小关系

常数列：其中nWN.;

I分痘

摆动数列与明।大小关

系不定

3.数列的表示方法

列表法列出表格表示〃与的对应关系

图象法把点（小画在平面直角坐标系中

通项公

把数列的通项用公式表示

公式式

法递推公如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

式这个数列的递推公式

1.判断正误.（正确的画“4”,错误的画“x”）

（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（）

（2）1,1,1,1,…，不能构成一个数列.（）

（3）任何一个数列都有唯一的通项公式.（）

（4）如具数列｛〃〃｝的前〃项和为则对任意〃£N",都有a“+i=S”+i—S“.（）

答案：（1）X（2）X（3）X（4）«

2.在数列｛以〃｝中，41=1,（〃力？）,则Q5=（）

□□-I

A.-3B.-5C.-8D.-?

2353

解析：Dd2=l+—=2,«3=1+—=;,674=1+—=3,6f5=l+—=；.

□112213口43

3.（多选）已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项可能是（）

2□为奇数,

A.a=(-1)+1

n。□为偶数

C.an=2sin-YD.an=cos（/?—1）兀+1

解析：ABD对〃=1,2,3,4进行验证，4〃=2sinT不合题意，其他都可能.

4.在数列一1,0,：，：，…，号中，0.08是它的第项.

98口备---------------

解析：依题意得4=会解得〃=10或〃=：（舍）.

答案：10

5.若Sn为数列｛〃〃｝的前〃项和，且Sn=—,则;=________.

LH1U5

解析：•・•当〃导2时，an=Sn-Sn-\=---=-^—fA-=5X（5+1）=30.

答案：30

口,□=L

1.若数列｛©J的前n项和为Sn,则an—

>2,DEN*.

2.在数列｛〃“｝中，若〃”最大，则匕若。”最小，则「口

Sk应用

1.（多选）在数列｛如｝中，。〃=（〃+1）g）,则数列｛〃〃｝中的最大项可以是（）

A.第6项B.第7项

C.第8项D.第9项

解析：AB由结论2可得(〃+1)0》(〃+2)Q)“且(〃+1)(》为Q)“，所以

(7

(□+1)>；(□+2),

1即6W〃W7,所以最大项为第6项和第7项.故选A、B.

；(□+1)>□,

2,已知数列｛m｝的前〃项和，=2〃2—3〃，则数列｛〃”｝的通项公式诙=.

解析：由结论1得GI=SI=2—3=-1,当时，an=Sn~Sn-\=(2n2—3/i)—[2(〃-1)2—3(n~

1)]=4n—5f因为ai也适合上式，所以5.

答案：4/1—5

5G■考点.分类突破।精选考点典例研析技法重悟通-T课堂演练

J_J」.........

¥1)0______________________

由an与S”的关系求an

n

【例1】(1)已知数列｛々“｝满足ai+2a2+3〃3H---\~nan=2t则a〃=；

(2)已知数列｛小｝的前几项和为S〃,且S”=2m一1,则数列｛小｝的通项公式跖=.

解析(1)当〃=1时，由已知,可得ai=2i=2；•.Z-2+3。3+…+M=2",①，故。|+2及+3。3

+…+(M-1)1=2〃I(〃云2),②,由①一②得哂=2〃-2G=2'门(〃云2),，如=二

(2,口=1,

(〃/2).显然当n=1时不满足上式.，麻二上"_、与

I丁，匚"2,

(2)由数列｛“”｝的前〃项和为S”且S“=2Q〃-19可得5I=2QI—1,解得川=1,又a“=Sn-5n-i=2o»

-2nw-i522),即融二%』(心2),，数列｛飙｝是以1为首项,2为公比的等比数列，，。尸2G

(〃£N*).

口□=1,

答案(1)-2^r(2)2n-l(/lEN*)

.—,m□N2

I解题技法I

1.已知&求小的3个步骤

(1)先利用〃i=S求出ai；

(2)用〃一1替换5〃中的〃得到一个新的关系，利用。〃=*一，.।("12)即可求出当〃12时4〃的表

达式：

(3)注意检验〃=1时的表达式是否可以与2时的表达式合并.

2.工与以关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利月m(心2)转化为只含工一|的关系式，再求解：

(2)利2s“一工一1=〃”(干土2)转化为只含〃〃一।的关系式，再求解.

力训练

1.己知数列｛an)的前〃项和Sn=(-1)"L〃，则公+。6=,an—.

解析：。5+。6=§6—$4=(—6)—(—4)=—2.当〃=1时，〃l=Sl=l；当"22时，a,i=Sn—Sn-\=

(-1)/%一(-1)«.(〃-1)=(—1)八十].[〃+(〃-1)]=(-I)”十1・(2〃-1),又⑶也适合于

此式,所以m=(-1)w+,.(2D.

答案：一2(—1)"+L(2n-l)

2.设是数列｛〃〃)的前〃项和，已知m=Lan=-Sn-Sn-\(心2),则S“=.

解析：依题意得Si—S〃=SA「S”(〃22),整理得工一；=1,又L=L=i,则数列｛'｝是以1为首

项，1为公差的等差数列，因此工=1+(n-1)Xl=/2,即S〃=L

答案：上

'由递推关系求通项公式

【例2］分别求出满足下列条件的数列的通项公式：

(1)。1=0,4“+1=。〃+(2n—1)(〃£N*)；

n

(2)〃i=l,an+i=2an(n^N*)；

(3)ai=lf斯+i=3a〃+2(〃£N").

解(1)an=a\+(〃2—m)+…+(a“一a”-i)=0+1+3+…+(2〃-5)+(2〃-3)=(〃-1)*23

所以数列的通项公式为a〃=(〃-1)4

(2)由亍一2=2",故上=2、—=22,—,—=2"一、

口]口2口□」

将这〃一1个等式叠乘，得三=2"24“+=2'U,

二1

故。〃=22,

」(1-1)

所以数列的通项公式为an=2~.

(3)因为。”+1=3〃”+2,所以如+1+1=3(tZ/i+1),

所以第1=3,

所以数列｛雨+1｝为等比数列，公比夕=3,

又m+l=2,所以a〃+l=23「i,

所以该数列的通项公式为a〃=2,3〃「一1.

I解题技法I

由数列递推式求通项公式的常用方法

用石a„^=pa+mIp,m%箫薇,p）i,m1僦

侬史.构造等比数n列1

序菰^物如心+修而订可求而讯用：

徽势：累加法求解：

它怎）□>勿如等_+”）（&（“））可求积）时,用累积i

法求解"i

提醒利用累积法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到手，漏掉小而导致错误；二是

01

根据连乘求出g之后，不注意检脸m是否成立.

金训练

1.在数列｛〃〃｝中，41=3,4〃+1=4〃+*1+，则通项公式〃〃=.

解析：*：品-\一期=「1、=」一」"?，当片，2时，〃“一〃“一1二」一上，〃〃-1一〃"-2=」一」，…，〃2—〃1

（+1）+1I.-1-2-1

=1-T・'.以上各式相加得一（1\—1——,；・4〃=4——fm=3适合上式，工。”=4—―.

答案：4」

2.已知数列｛为｝的首项是0=：,且电7=三，则数列｛〃〃｝的通项公式为^

解析：由题意得——=-当〃22时，—=—---二；X：X：X…X—!-（〃22）,所以"一

□+2Oo-）□+】口口2口3口口・1345口+1口

=二1）522）,因为〃|=%所以如=.：,［）（〃22）.因为卬=；满足二式，所以〃"=「」+［）.

答案：〃"=.

数列的性质

考向/数列的周期性

【例3】无穷数列｛〃“｝满足:只要如=为（p,g£N*）,必有知+尸劭+i,则称3J为“和谐递进数

列”.若｛〃〃｝为“和谐递进数列”，S为其前〃项和，且山=1,公=2,04=1,06+08=6,则m

=；S1023=.

解析因为数列｛%｝是“和谐递进数列"，且。1=44=1,02=2,所以45=42=2,同理有〃3=46,07=

01=1,48=45=2,又。6+。8=6,所以43=46=4,则数列｛〃“｝：=1,02=2,々3=4,。4=1,45=2,

06=4,a->=1,48=2,…，故数列｛〃”｝是以3为周期的数列，所以S2023=$674x3+1=（1+2+4）乂674+

1=4719.

答案14719

I解题技法I

解决数列周期性问题的方法

根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察也纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前〃

项的和.

考向2数列的单调性

【例4】已知数列｛〃｝中，。“=冷，若数列｛〃“｝为递减数列，则实数上的取值范围为()

A.(3,+oo)B.(2,+co)

C.(1,+QO)D.(0,+QO)

解析〃"+|一〃“=32+：：,由数列｛〃力为递减数列知，对任意“EN*,〃“+|一〃凡=3：+；V

0,所以心>3—3〃对任意〃£N*恒成立，所以々的取值范:围为(0,+oo).

答案D

I解题技法I

解决数列单调性问题的方法

(1)作差比较法：根据z+i-a〃的符号判断数列(〃“｝是递增数列、递减数列还是常数列；

(2)作商比较法：根据一(%>0或如V0)与1的大小关系进行判断；

口口

(3)函数法:结合相应的函数图象直观判断.

考向3数列的最大(小)项

[例5]若数列血1｝的前〃项积bn=1—%,则an的最大值与最小值之和为()

AI5

A-B.D]

C.2D.(

解析由题意…1一/①.当〃=1时，=1—；=；.当〃22时，4|々2…m-1=1—；(〃-1)=；

2

一]，②.由①・②，得斯=1-=三-=1+三(〃22).又也满足上式，所以%=1+2(〃£

7——nz"~2UZU-972L-9

77

N*).易知数列｛。〃｝在〃e[1,4](〃WN*)上单调递减，此时即一或.数列｛。〃｝在〃£

[5,+oo)5UN*)上单调递减，此时lVmW〃5,即lVa〃43,所以的的最小值为。4=-1,最大值

为康=3,所以的最大值与最小值之和为一1+3=2,故选C.

答案C

I解题技法I

求数列最大项与最小项的常用方法

(1)函数法:利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，

利用作差法：

(2)利用「口1：口-1'(〃>2)确定最大项，利用]:口；：口J'(〃>2)确定最小项.

口训练

1.已知数列｛小｝的通项公式是期二古，那么这个数列是()

A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列

解析：ACln+\—Cln=~~——~~~—~~故选A.

3+43D+1(3D+l)(30+4)

2.若数列｛〃“｝的前〃项和＜=〃2-]0〃(〃EN*),则数列｛次局中数值最小的项是()

A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项

2

解析：BVS«=w=10w,・•・当凡22时,an=Sn-Sn-i=2n-i\i当〃=1时，山=6=—9也适合上

式.・・・〃〃二2”一11(〃£N*).记/(〃)-nan-n(2〃-11)=27—11”，此函数图象的对称轴为直线〃=

p但〃£N",J当〃=3时，/(〃)取最小值.，数列｛〃小｝中数值最小的项是第3项.

3.已知数列｛〃“｝中，0=1,42=2,且小以”+1・为+2=4”+%+1+〃”+2,其中”£N*,则山+42+a3H-V

〃24=.

解析：当〃=1时，414243=41+〃2+。3,可得〃3=3,同理当〃=2时，可得44=1,当〃=3时，可得45

=2,以此类推可知数列的周期为3,所以〃I+G+…+或4=8(s+s+g)=8X6=48.

答案：48

■课时,过关检测-关键能力分层施练素养重提升T课后练习

J・—

1.已知数列a,V5,2a，…，则20是该数列的()

A.第5项B.第6项

C.第7项D.第8项

解析：C由数列&,瓜2&,…的前三项为V5,我可知，数列的通项公式为〃〃=42+3(口・1)

=△□/,由＞/3口・1=26,可得〃=7.故选C.

2.在数列｛«“｝中，m=2,2a〃+i=2a〃+〃，则内=()

A.20B.30

C.36D.28

解析：A因为。|=2,2〃,什|=2%+〃，所以斯“一如=(，所以。9=(〃9-俏)+(。8—〃7)+…+(〃2

一〃I)+＜7i,所以〃9=g+：+…+:+2=4产+2=；X上箸+2=20.故选A.

3.己知数列｛〃〃｝满足：对任意加，«eN%都有〃他〃尸斯+〃“且。2=2,那么〃20=()

A.240B.230

C.220D.210

解析：D由〃〃碗=〃〃+“”672=2,得。20=。2〃18=。242。16=3=口；°=21°.故选口.

4,已知正项数列｛血｝中，何+厄+…+阿=三，则数列｛〃“｝的选项公式为()

A.an=nB.=

C.Gn=~D.(ln=~^~

解析：B…+J]=(："，，J^7+…+(〃22),两式相减得

e=三一手二=n(n>2)，・・・。”=〃2532),①.又当〃=1时，。[=当=1，0=1，适合①

式，，Q〃=〃2,〃£N".故选B.

5.若数列｛〃“｝满足防=2,必申=3半(〃QN*),则该数列的前2023项的乘积是()

A.-2B.-1

C.3D.1

解析：C因为数列｛〃“｝满足m=2,〃g1=粤(〃eN*),所以。2=存=岩=-3,同理可得〃3=一

!，。4=!，45=2,…，所以数列｛〃“｝每四项重复出现，即。〃+4=4〃，且41q2(3以4=1,而2023=505X4

23

+3,所以该数列的前2023项的乘积是“](2依以4」・・以2023=15。5义0*42><扇=3,故选©,

6.(多选)若数列｛斯｝满足;对任意正整数〃，｛知+】一即｝为递减数列,贝！称数列｛m｝为“差递减数

列"给乜下列数列｛的｝SEN"),其中是“差递减数列”的有()

A.B.如=层+1

C.dn=y/LD.67/»=ln--

解析：CD对于A,若为=3小则m+i一m=3(n+1)—3n=3,所以｛的+1—%｝不为递减数列,故A

错误；对于B,若期="+1,则〃〃+]—柒=(n+1)2—层=2〃+1,所以｛a〃+i—4〃｝为递增数列，故B

错误；对于C,若。〃=>/百，则a〃+i—a〃=后不T—小万=尸』■尸，所以｛a〃+i—aj为递减数列，故C正

VD+1+VD

确；对于D,若〃"=ln—1，则。”+1-〃n=ln一三一In—订=111(一詈1—'1)=ln(l4—?：)),由函数》二

ln(l+2、)在(0,+oo)上单调递减，所以｛〃“+[一〃〃｝为递减数列，故D正确•

2

7.已知数列｛«〃｝的前n项和Sn=n+2n+1,则a产.

解析：当〃=1时，〃i=Si=l+2+l=4；当〃22时，an=Sn—Sni=2/i+L经检验山=4不适合G=2〃

+「故热心;1

竺安,4口=1,

口桑：12Q+1,□>2

8.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式图=.

••

6

解析；由41=1=5X1—4,42=6=5X2—4,G=11=5X3—4,…，归纳德=5〃-4.

答案：5〃一4

9.已知数列｛〃〃｝的通项为a〃=T(〃£N*),则数列的最小项是第项.

3-16

解析：因为〃“二T三，数列｛〃”｝的最小项必为〃〃V0，即二;VO,3〃-16<0,从而“vf,又因为〃七

3L-1O3L1-1O3

N*,且数列｛〃“｝的前5项递减，所以〃=5时a〃的值最小.

答案：5

10.已知函数/(公=—,设〃〃=/(〃)(〃£N*).

(1)求证：«n<l；

(2)｛〃〃：是递增数列还是递减数列？为什么？

解：(1)证明：%=/(〃)=—

(2)因为a”+i-a〃=(+：)「一」

=(1一士)一(1」)=—>"

所以Un卜I>Ont

所以｛〃“｝是递增数列.

综合应用

11.已知数列｛〃“｝,若斯十1=。“+口口+2(〃WN*),则称数列｛⑶｝为“凸数列”,已知数列｛岳｝为“凸数

列”，且加=1,历=-2,则｛d｝的前2024项的和为()

A.OB.1

C.-5D.-1

解析：D**bn+2—bn+\~bmb\—l»fc=—2>・,•历二历一"二-2—1二一3,加=历一历二一3一(—2)

=-1,bs=ba-历=-1—(—3)—2,bh—bs—ba=2—(—1)=3>bi—bt)—bs—3—2=1.，仿”｝是周

期为6的周期数列，且56=1—2—3—1+2+3=0..•.52024=的37*6+2=—1.

12.设数列｛%｝的前〃项和为工，且V〃£N*,*“>〃〃，SZS6.请写出一个满足条件的数列｛〃〃｝的通项公

式Qn~.

解析：V〃EN*,an+\>ant则数列｛〃“｝是递增的；V〃EN*,S“2s6,即析最小,只要前6项均为负数,

第7项为非负数，或前5项为负数，第6项为0即可.所以满足条件的数列｛劣｝的一个通项公式〃“二"一6

(〃GN*).

答案：〃一6(〃RN*)(答案不唯一)

13.已知数列｛的｝的前〃项和为工，若Sn=na〃,且S2+S4+S6+…+S6o=l860,则.

解析：法一：因为S“=〃a”所以当"22时，an—Sn~Sn-\—nan~(〃-1)得(〃-1)an—(〃一

1)an-1,即5t=4”-i,所以数列｛为｝是常数列，所以4”=ai,Sn=na\,所以S2+S4+S6+…+S60=(2+

4+6+-+60)山=%等%=930。1=1860,解得m=2.

法二：因为S〃=w〃，所以当〃22时，S“=〃(Sn—Sn-i),得(〃-1)S〃=nSz,则有二=—J1,所以数

□-I

列｛一｝是常数列，则一=——ait所以S产则S2+S4+S6T--卜§60=(2+4+64----F60)a\=

出警%=930m=1860,解得山=2.

答案：2

14.记S”为数列｛飙｝的前"项和，氏为数列｛a｝的前〃项积，已知等+J=2.

□口□□

(1)求数列出J的通项公式；

(2)求数列仿〃｝的通项公式.

解：(1)将*=」(〃22)代入二"+'=2,得」+工=2(〃22),整理得及一〃〃一i=!(〃22).

又当〃=1时，可得三+工=2,即三+工=2,得小=：,所以数列仿〃｝是以:为首项，:为公差的等差数

□1口i口口1222

列，

所以(〃-1)X；=，+L

(2)由(1)得瓦=1+1,将其代入三+工=2,得

当〃。2时，an=Sn~Sn-\=-^~^—=―—1»

□+1□□(□+1)

又当n—1时，ai=Si=g,不满足上式，

、仔口=L

所以〃”二｛)

=——>2,DEN.

I□(□+1)9

15.(2022・新高考I卷)记S〃为数列｛“〃｝的前〃项和，己知的=1,｛—｝是公差为;的等差数列.

(1)求｛〃〃｝的通项公式：

(2)证明：-+^+-+—<2.

□l口2口口

解；⑴法一：因为41=1,所以尹=1,

□1

又｛一｝是公差为;的等差数列，

所以==1+(〃-1)X旨一.

因为当〃时，an=Sn-Sn-l9

所以一—=手（〃22）,所以一二3=工（〃22）,

□□-□□.I3□□0+2

整理得上二="（〃22）,

口口.1□-1

所以，X/X…XTx-x-x-X—X—=（+1）（+2）（〃》2）,

□102口□〃□[.112口-2□-16

所以S”=（+?（螳）（〃22）,

6

又S|=1也满足上式,

所以S〃=（+〉+2）（〃WN*）,

6

则S.尸…J”）（〃>2）,

6

所以“尸（川㈠

66

=W^522）,

2

又a\=\也满足上式，

所以以=/0（«GN*）.

法二：因为41=1,所以」二1,

□1

又｛一｝是公差为;的等差数列，

所以上-=i+（M—1）

Unjj

所以Sn=-^a,u

因为当〃>2时，an=Sn~Sn-1=-^an~—^-an-1,

所以-^如-1=-^-Cln（〃22）1

所以-_=£11（〃）2）,

□□.I0-1

所以3x-^x…x3x-=?xex2x…X-X*=-^（"22）,

0102□［-2□□-1123D-2D-12

所以。〃=-^（〃72）,

又41=1也满足上式，

所以%=我工（〃£N*）.

（2）证明：因为欧=平，所以

所以：+：+…+'=2［（|_；）+CT）+-+（=」）+（LT）］=2（>T）<2.

第二节等差数列

I课程I

1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.探索并掌握等差数列的前〃项和公式，理解等差数列的通项公式与前〃项和公式的关系.

3.体会等差数列与一元一次函数的关系.

■白知识•逐点夯实■必备知识系统梳理基础重落实T课前自修

J_一I

知识—梳理

1.等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从筮2项起，每一项与它的前一项的差都等于圆二仝常数，那么这个数列就

叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，符号表示为外一小」=%〃£N*且

〃>2,d为常数;

提醒在公差为d的等差数列中：①d>OQkU为递增数列；②d=O=UJ为常数列；③dVO=LJ

为递减数列.

(2)等差中项：数列mA,b成等差数列的充要条件是A=三,其中A叫做〃与b的等差中项.

提醒在等差数列中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即｛Q,J成等差数列y用十

。〃-1=2a”(〃32).

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式，an=a\+(n—1)d=nd+Ca\—d)=>当dWO时,〃”是关于〃的一次函数模型，即

pn+qt其中p为公差:

a.=ai+(>i-l)d

(2)前儿项和公式：S尸(;)&二询+-^4二产十(口1我)一当〃工0时，S”是关于〃的二次函数

模型，且没有常数项，即*=4层+8〃.

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an=a,n+(〃一加d(九，mEN*)；

(2)若｛斯｝为等差数列,且％+/=，%+〃(k,/,m,wGN*),则以+卬=即+〃”；

⑶若｛为｝是等差数列,公差为4则点，i诙+为，…(hmGN*)是公差为mJ的等差数列;

(4)数列S/M,S2m-Sm,S3阳一S2w,…也是等差数列，公差为病&

暹里，M

1.判断正误.(正确的画“V”，错误的画“X”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()

(2)等差数列｛处｝的单调性是由公差d决定的.()

(3)数列｛3｝为等差数列的充要条件是对任意〃EN*,都有2〃,中=如+Q”2.()

(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()

答案:(1)X(2)V(3)4(4)X

2.在数列｛〃“｝中，41=—2,4”+1—〃“=2.则45=()

A.-6B.6

C.一10D.10

解析：B・・Z〃+i—%=2,・・・数列｛小｝是公差为2的等差数列,又0=—2,・・.〃5=冉+4d=-2+2X4=

6.故选B.

3.在等差数列｛&｝中，若。1+。2=5,43+44=15,则。5+。6=()

A.10B.20

C.25D.30

解析：C等差数列缶〃｝中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为上若0+及=5,G+W

=15,则d=15—5=10,因此45+06=(。3+。4)+4=15+10=25.

4.(2022•全国乙卷)记S为等差数列｛温的前〃项和.若2s3=3S2+6,则公差d=.

解析：因为2s3=3S?+6,所以2(ai+s+tn)—3(々1+02)+6,化简得3d=6,得d=2.

答案：2

5.已知为等差数列｛an)的前n项和，s=2,S4=14,则an=.

(□]+口=2,(_

解析：由题意得%4x3"解得[，则4〃=-1+(7L1)X3=3〃-4.

(4D1+—□=14,ID=3.

答案：3〃—4

1.若｛涮，彷〃｝均为等差数列且其前〃项和分别为工，T〃,则曰二一二.

□u口2皿

2.若｛如｝是等差数列，则｛—｝也是等差数列，其首项与｛如｝的首项相同，公差是｛斯｝的公差的;.

口4

3.若等差数列｛。“｝的项数为偶数2小则=-=n(an+aa+i)；S「S^=nd,广=

偶

□□+1,

4.若等差数列｛〃〃｝的项数为奇数2〃-1,则尸(2〃-1)a”；—=—：(中间项).

LI偶□-!

身应用

1.已知等差数列｛〃』的前〃项和为若由=-2023,且露一疆=1,则S2024=()

A.OB.1

C.2023D.2024

解析：A由结论2可得：｛—｝是等差数列，首项为一2023,公差为1,所以?=一2023+(〃-1)

XI,所以需=-2023+(2024-1)Xl=0,所以S2024=0.故选A.

2024

2.在项数为2〃的等差数列中，各奇数项之和为75,各偶数项之和为90,末项与首项之差为27,则〃

解析；由结论3可得：SLS奇=〃d=90—75=15,又•.,汲“一。1=27,，仪：晕_”解得〃=5.

答案：5

3.已知数列｛m｝,｛儿｝都是等差数列，S”，7；分别是它们的前〃项和，并且一=法，则二=.

解析：由结论1可得：-Z=-n=^=^=2.

□7口133X13+$4?

答案：2

4.已知等差数列｛m｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的

中间项为.

解析：设项数为奇数2〃一1,由结论4可得：s奇-5倍=斯=319—290=29.

答案：29

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段时二过矢」等差数列的基本量运算

1.已知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S”，若G=4,54=22,〃”=28,则〃=（）

A.3B.7

C.9D.10

解析：D因为S4=m+〃2+〃3+44=4〃2+2d=22,所以d=^^=3,4i=s—d=4—3=1,an=a\+

（〃一l）d=l+3（n-1）=3〃-2,由3〃-2=28,解得〃=10.

2.在等差数列｛a〃｝中，已知成=5,即=7,而十3=10,则数列｛或｝的前机顶和为（）

A.12B.22

C.23D.25

解析；B数列｛所｝是等差数列，设公差为d,因为加=7,Om+3=10,所以即+3=所+3d=7+3d=

10,解得d=l,又a2=5,所以ai=4,所以4〃尸4十（〃[-1）X1=71解得加=4,所以数列｛“〃｝的前

m项和为&=山3=里罗二22.故选B.

3.（多选）记S”为等差数列｛〃｝的前〃项和，已知S4=0,4=5,则下列选项正确的是（）

A.42+03=0B.。"=2〃-5

C.Sn=n（w-4）D.d=-2

解析：ABCS4="x（，":0,所以〃1+勿=〃2+43=0,A正确；〃5=防+44=5,①.ai+〃4=ai+ai+

3d=0,②.联立①②得[12，所以〃“二-3+（„-1）乂2=2〃-5,B正确，D错误；£尸一3〃+

凹=f

LI22

-rX2=n-4/i>C正确，故选A、B、C.

4.在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例

如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一

圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为,前9

圈的石板总数为.

解析；由题可知从第1圈到第9圈石板数构成等差数列仿〃｝,且首项卬=9,公差d=9,则第7圈的石

板数为e=9+6X9=63,前9圈的石板总数为59=9X9+^X9=405.

答案：63405

I练后悟通I

等差数列基本运算的常见类型及解题策略

(1)求公差d或项数〃：在求解时，一般要运用方程思想；

(2)求通项：s和d是等差数列的两个基本元素；

(3)求特定项:利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解;

(4)求前〃项和：利用等差数列的前几项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.

考.占

一.’等差数列的判定与证明

【例1】(2021•全国甲卷)已知数列｛〃〃｝的各项均为正数，记为为｛“〃｝的前〃项和，从下面①②③中

选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛出｝是等差数列；②数歹IJ｛厂｝是等差数列；

③〃2二3〃.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解①③=②

已知｛〃“｝是等差数列，42=30.

设数列伍1｝的公差为d,则〃2=3m=〃i+d,得d=2〃i,

所以Sn=na\+

因为数列｛〃〃)的各项均为正数，所以问=%何，

所以厄］一同=(几+1)问一诉=何(常数)，所以数列｛4｝是等差数列.

①②柒

已知｛〃“｝是等差数列，｛JE｝是等差数列.

设数列伍J的公差为由

则Sn=na\+-^Y^d=^rd-i(□j--J«.

因为数列｛师｝是等差数列，所以数列｛回｝的通项公式是关于〃的一次函数，则由一5=0,即4=

2m,所以“2=ai+d=3〃i.

②③通

已知数列｛J_-｝是等差数列，。2=3。1，所以S=tn,S2=a\+a2=4a\.

设数列％不｝的公差为d,d>0,则—阿=J同一得二心，所以/田=可+(n-

1)d=nd,所以£=层屋,

所以m=S〃-S〃-i=〃2/一(n—1)2/=2/〃一/(〃22),是关于〃的一次函数，所以数列｛〃“｝是等差

数列.

I解题技法I

判断数列是等差数列的常用方法

(1)定义法：对任意〃WN”,念+1—4“是同一常数；

(2)等差中项法：对■任意〃>2,〃UN*,满足2a〃=a“+i+a”」；

(3)通项公式法：对任意〃£N*,都满足m=p〃+q(p,q为常数)；

(4)前〃项和公式法：对任意〃WN*,都满足S〃=4/+B〃(A,B为常敷).

提醒(3)(4)只适用于客观题的求解与判断.

4训练

1.已知数列｛〃“｝的前〃项和为S〃.若S〃+尸S〃+a”+:，则S20=()

42

A.10B.20

C.100D.400

解析：C由1+1=5“+〃〃+；,得S“+i—£—〃〃=；,即〃〃+i—〃“=；,所以数列｛〃〃｝是以(为首项，；为公差

的等差数列，所以S2o=2Ox[+竿X；=100,故选C.

2,已知数列｛所｝的前八项和际=曲2+加(小8WR)且42=3,46=11,则S7=()

A.13B.49

C.35D.63

解析：B由£=劭2+加(〃，力ER)可知数列｛&｝是等差数列,依题意得，"=#二审=2,则〃〃=

6-24

G+(〃-2)d=2n-lf即s=l,m=13,所以S7=-^X7=^X7=49.

3,数列｛的｝满足2处=斯一|十如十15崩2)，且。2=-6,解=6,S”是数列&“｝的前几项和，则

()

A.S4Vs3B.54=酌

C.SA>S\D.SA=S\

解析：B数列｛〃〃｝满足2〃〃=4〃T+MM(〃>2),则数列仿〃｝是等差数列，设等差数列｛〃〃｝的公差为

d.,：ai=-6,46=6,••4d=a()—a2=12»即d=3..•・a〃=-6+3(〃-2)=3n~12,Si=a\=_9>S3

=01+42+43=—9—6—3=—18,$4=01+42+03+44=—9—6—3+0=—18,：・S4Vsi,S3=S4.故选

B.

等差数列的性质及应用

考向/等差数列项的性质

【例2】(1)已知等差数列UJ的前〃项和为若Si7=68,则2〃IO—mi=()

A.2B.3

C.4D.6

(2)已知数列｛d｝都是等差数列，〃1=1,b\=5,且Q21一历1=34,则Qii一6尸()

A.-17B.-15

C.17D.15

解析⑴因为数列｛。〃｝是等差数列，所以Sl7=>49=68,所以09=4,则2〃10—〃11=(〃9+〃11)一

01=49=4,故选C.

(2)因为数列｛点｝,彷“｝都是等差数列，所以加一加=」产一中=上