北京市第四中学2024-2025学年九年级下学期开学测试数学试题（含答案）

北京市第四中学2024-2025学年九年级下学期开学测试数学试题学生须知1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号，3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B.C. D.2.若，则下列比例式中正确的是（）A. B. C. D.3.若函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增小，则m的取值范围是（）．A. B. C. D.4.观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（）0123451323A.和0之间 B.0和1之间 C.1和2之间 D.2和3之间5.如图,过点、，圆心在等腰的内部,，，，则的半径为（）A. B. C. D.6.教练将某射击运动员次的射击成绩录入电脑，计算得到这个数据的平均数是，方差是．后来教练核查时发现其中有个数据录入有误，一个错录为环，实际成绩应是环；另一个错录为环，实际成绩应是环．教练将错录的个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是，方差是，则（）A.， B.，C.， D.，7.如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.48.点M为等边三角形内的一点，于点，于点，于点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，的内切圆半径为，的内切圆半径为，的内切圆半径为，的内切圆半径为．给出下面三个结论：①②③上述结论中，一定正确的序号是（）A.① B.①② C.①③ D.①②③二、填空题（共16分，每小题2分）9.分解因式：__________．10.已知二次函数的图象上两点，若，则_________．11.已知，均为锐角，且，则___．12.若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是___________．13.在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为__________．14.某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是______．15.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．（1）______；（2）点P为BD的中点，过点P作直线，过点B作于点M，过点C作于点N，则矩形BCNM的面积为______．16.图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是___________．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17.计算：．18.解方程：．19.已知正数a，b，c，满足．（1）________；（2）如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，求这三张正方形纸片的面积之和．20.已知：如图，中，，，点D是边上的一个动点（不与B、C点重合），．（1）求证：；（2）若，求的长．21.已知抛物线．（1）直接写出该抛物线与x轴的交点坐标为___________；（2）画出它的图象；（3）若在抛物线上，且，直接写出n的取值范围是___________．22.如图，在四边形中，于点F，交于点E，连结，若平分．（1）求证：；（2）若，求的长．23.在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b．（1）先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率：（2）若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由．如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案．24.如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E．（1）连接，求的度数；（2）求证：与相切；（3）点F在弧上，，交于点N．若，求的长．25.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为_______米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）26.已知抛物线过点，顶点在抛物线上．（1）当n取最小值时，___________；（2）用含m的式子表示a；（3）已知点在抛物线上，且，求m的取值范围．27.在中，，，绕点C顺时针旋转角度（）得到DC．（1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长；（2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明；（3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积．28.在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度得到点，点绕点逆时针旋转得到点，称点为点关于点的“平移旋转点”．已知点．备用图（1）若点，点为点关于点“1平移旋转点”，则点的坐标为___________；（2）若点，点为点关于点的“平移旋转点”，求点的坐标；（3）若的半径为，是上一点，点为点关于点的“平移旋转点”，直接写出长的最大值与最小值．参考答案1-8.【答案】A【答案】C【答案】A【答案】C【答案】A【答案】B【答案】C【答案】D9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】，13.【答案】14.【答案】15.【答案】①.②.7.516.【答案】17.【答案】18.【答案】，19.【答案】（1）2（2）720.【小问1详解】证明：∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；【小问2详解】解：∵，∴，由（1）知为等腰直角三角形，∴，，设，则，由（1）知，∴，∴，解得：，∴．21.【小问1详解】解：当时，，解得，，，可得，抛物线与x轴交点为，；【小问2详解】解：当时，，抛物线与y轴交点为，由（1）可知，抛物线与x轴交点为，；对称轴为直线，当时，，∴顶点为，顺次连接各点即可得到抛物线图象．【小问3详解】解：由（2）可知，抛物线对称轴为直线，当时，，解得，，由图可知时，．故答案为：．22.【小问1详解】证明：∵平分，，∴，∵，∴；【小问2详解】解：由（1）可知：，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．23.【答案】（1）（2）不公平，理由见解析；将标有数字1的小球改成4，理由见解析24.【小问1详解】解：如图，连接，，是的直径，，垂直平分，是中点，，，，又，是等边三角形，．故答案为：60；【小问2详解】证明：，是的直径，，是的中点，，又，，，，，，∵是半径，与相切．【小问3详解】解：如图，连接，，于，是中点，，，，，，由（1）可知，，在中，，，，，在中，，，，，由（1）知，，在中，，，，．25.【小问1详解】解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；故答案为：d，h；【小问2详解】解：描点，连线，画出图象如图：；【小问3详解】解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；故答案为：0.88；②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88，令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，解得d3.3或d0.7，

∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．26.【小问1详解】解：∵顶点在抛物线上，∴，∴当n取最小值时，，，∴顶点坐标为，∴，，将点代入得，，故答案为：2；【小问2详解】解：∵抛物线的顶点，∴抛物线解析式为，将点代入得，，当时，过顶点，但此时又过点，矛盾，∴∴；【小问3详解】解：∵点在抛物线上，∴，，，∵，∴，整理得，∴，整理得a2m+3>0当a=2−m2m−12>0时，，由a2m+3>0当时，或，且，由a2m+3>0am<0可得2m+3<0m>0，不等式组无解；综上所述，．27.【小问1详解】解：由旋转可得，，，，，，，在中，，，，；【小问2详解】解：；证明：连接，与交于点，如图2，由旋转可得，，，，平分，，∴，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，、、三点共线，且是等腰直角三角形，，，整理得；【小问3详解】解：如图3，过作交于，交于，过作交于，延长交于，延长至，使，过作交于，将绕点逆时针旋转得到，，，，，，，，，，设，，，，，，，四边形是矩形，点在上，，，四边形是正方形，，，，，，，，为的中点，为的中点，与重合，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，当、、三点共线时取得最小值，此时，，，，，，．28.【小问1详解】解：如图，∵点，点为点关于点“1平移旋转点”，∴点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，∵点绕点M顺时针旋转得到点Q，∴点的坐标为，故答案为：；【小问2详解】解：设点M的坐标为，，∵点为点关于点的“平移旋转点”，则由（1）可得，如图所示，过点作水平