专题33 等差数列及其前n项和-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）

专题33等差数列及其前n项和-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）考试要求：1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sn1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).一、单选题1．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S9A．−2 B．73 C．1 D．2．已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+yA．1 B．2 C．4 D．23．记Sn为等差数列an的前n项和，已知S5=SA．72 B．73 C．−14．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若A．25 B．22 C．20 D．155．已知等差数列{an}的公差为2π3，集合S={cosaA．－1 B．−12 C．0 6．（图1是中国古代建筑中的举架结构，AA',BB',CC',DDA．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9二、填空题7．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a8．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2【考点1】等差数列的基本运算三、单选题19．等差数列{an}A．25 B．−25 C．110．已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且ac=20，cosB=45A．5 B．26 C．4 四、多选题111．已知在公差不为0的等差数列{an}中，a4=−5,a5是a2与aA．an=2n−13 C．Sn=−112．已知数列{an}A．an=n+1 B．{anC．{(−1)nan}五、填空题113．数列{an}满足an+1=2an（n为正整数），且14．已知数列an满足a3=5，a2n=2an+1，2an+1反思提升：1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【考点2】等差数列的判定与证明六、解答题215．已知数列{a（1）数列{a（2）数列{an}的前n16．数列{an}（1）求数列{a（2）设bn=cos(n+1)πan+217．已知正项等比数列{an}和数列{bn}，满足log（1）证明：数列{b（2）若数列{an}的前n项积Tn满足Tn18．已知1a1a2+1a（1）数列{an}能否是等比数列？若是，求a（2）已知a1=p=1，求数列{an}19．已知数列{an}（1）证明：数列{a（2）若a1=2，求数列{1an20．已知首项为1的数列{an}的前n项和为S（1）求证：数列{a（2）若bn=3sin(π2a反思提升：1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数，即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【考点3】等差数列的性质及应用七、单选题321．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若A．1 B．2 C．3 D．422．已知等比数列{an}满足a6=2A．−2 B．−1 C．1 D．2八、多选题323．关于等差数列{an}A．等差数列{an}，若B．等比数列{bn}，若C．若Sn为数列{an}前D．若Sn为数列{bn}前24．设数列{an}前n项和为Sn，满足anA．aB．数列{SC．当n=8时SnD．设bn=anan+1an+2，则当九、填空题325．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和26．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S反思提升：1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.【基础篇】十、单选题427．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若A．112 B．122 C．132 D．14228．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3A．18 B．21 C．24 D．2729．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1A．0 B．1 C．2 D．330．已知递增数列{an}满足an+1−anA．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276十一、多选题431．在数列{an}中，∀n≥2，n∈N*，an+1+A．若a1=1，a2=2，则a3=1 C．若a1=2，a2=3，则an=n+1 32．已知等差数列an的前n项和为Sn，正项等比数列bn的前nA．数列Snn是等差数列 B．数列C．数列lnTn是等差数列 D．数列33．已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为SA．a13+aC．当n=14时，Sn取最大值 D．当Sn<0十二、填空题434．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，且满足a2，a335．已知等比数列{an}中，a1=3，且a2+4，a36．在公差大于零的等差数列an中，a5，7a3，a11成等比数列，若十三、解答题437．已知等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，且（1）求数列{a（2）求数列{2an(2n+1)}38．已知数列{an}的前项和为S（1）证明：数列{a（2）若a5，a9，a11【能力篇】十四、单选题539．已知在正项等比数列{an}中，a2aA．157 B．156 C．74 D．73十五、多选题540．已知等差数列an的公差d≠0，其前n项和为SA．Snn是等差数列 B．若d<0，则C．Sn，S2n，S3n成等差数列 D．若Sm十六、填空题541．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an十七、解答题542．已知等差数列an的前n项和为S（1）求an（2）数列bn满足bn=14【培优篇】十八、单选题643．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1A．414 B．406 C．403 D．393十九、多选题644．已知数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，若它的前2mA．若d<0，使an>0的最大nB．Sm是SC．3D．a二十、填空题645．随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：方法一：利用等差数列的基本量由S9=1，根据等差数列的求和公式，

则又因为a3方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，a1+a9=则S9=9(方法三：特殊值法不妨取等差数列公差d=0，则S9=1=9a故答案为：D.【分析】根据三种方法求解.方法一：利用已知条件和等差数列前n项以及等差数列的通项公式，则得出a3+a7的值；方法二：利用等差数列的性质和已知条件，再结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，则得出2．【答案】C【解析】【解答】解：因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，c=2b−a，

代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b−a=0，即a(x−1)+b(y+2)=0，

令x−1=0y+2=0得x=1y=−2，故直线恒过(1,设圆心为C，画出直线与圆的图形，

由图可知，当PC⊥AB时，AB最小，|PC|=1,|AC|=|r|=5故答案为：C.【分析】利用等差中项公式和代入法，从而建立方程组，进而得出直线恒过的定点坐标，再利用直线和圆的位置关系和几何法以及弦长公式，从而得出AB的最小值.3．【答案】B【解析】【解答】解：由S10−S则等差数列{an}的公差d=a8故答案为：B.【分析】利用已知条件和等差数列前n项和公式以及等差数列的性质，从而得出公差的值，再结合等差数列的通项公式得出首项的值.4．【答案】C【解析】【解答】∵an为等差数列，

∴有a2+a6=2a4=10，∴a2+a6=2a4=10，5．【答案】B【解析】【解答】设等差数列{an}的首项为a1，由其公差为2π3，

易得a2=a1+2π3，a3=a1+4π3，a4=a1+2πan=a1+2π3(n-1)，

即得cosa1，cosa2=cosa1+2π3，cosa36．【答案】D【解析】【解答】解：设OD1=D依题意，有k3−0.所以0.5+3k故答案为：D.【分析】利用已知条件和等差数列的定义，从而得出k37．【答案】95【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，因为等差数列{an}满足a3+a故答案为：95.【分析】设等差数列{an}的公差为d8．【答案】2【解析】【解答】由2S3=3S2+6可得2(a故答案为：2【分析】转化条件为2(a9．【答案】B【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d≠0若a2,a4,整理可得5d2+2d=0，解得d=−所以公差为−2故答案为：B.【分析】利用已知条件和等比中项公式以及等差数列的通项公式，从而解方程得出满足要求的公差的值.10．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：ac=20，2b=a+c，由余弦定理可得，b2即b2=4b故答案为：B.【分析】利用已知条件和等差中项公式以及余弦定理，从而得出满足要求的b的值.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，

则a5=因为a5是a2与a6即(−5+d)2=(−5−2d)(−5+2d)，解得d=0或2，

又因为d≠0，所以所以an因为bn令bn<0，则12n−13<12n−11，

又因为即只有当n=6时，bn<0且bn所以∀n∈N因为Sn因为只有当n=6时，bn<0，除此之外bn>0，所以又因为当n>6时，Sn=12(−所以∀n∈N故答案为：ABD.【分析】利用已知条件和等差数列的性质以及等比中项公式，从而得出满足要求的公差的值，再结合等差数列的性质，得出等差数列的通项公式，则判断出选项A；利用选项A中数列{an}的通项公式得出数列{bn}的通项公式，进而得出12．【答案】A,D【解析】【解答】解：当n=1时，a1当n≥2时，a1两式相减可得：2n−1所以an显然当n=1时，a1满足an，故由等差数列求和公式知{an}的前n令bn=(−1)−2+3−4+5+⋯−100+101=1×50=50，故C错误；令cn=|an=6+27×(0+26)故答案为：AD.【分析】当n=1时，a1=2，则当n≥2时，a1+2a2+⋯+2n−2an−1=(n−1)⋅213．【答案】1【解析】【解答】解：因为数列{an}满足an+1=2不妨设其公比为q，则q=2，因为a2与a所以a2+a4=10，即a故答案为：1．【分析】利用已知条件和递推公式，再结合等比数列的定义，从而判断出数列{an}14．【答案】n2【解析】【解答】解：由2an+1=an+an+2，设其公差为d，首项为a1，

又因为a即a1+(2n−1)d=2[a因为a3=a1+2d=5，

所以Sn故答案为：n2【分析】利用已知条件和递推公式以及等差数列的定义，从而判断出数列{an}为等差数列，利用等差数列的通项公式得出首项和公差的值，再根据等差数列前n项和公式，从而得出数列an的前15．【答案】（1）解：由an+1=a所以数列an是以13为首项，以−4所以an（2）解：由（1）可知an令−4n+17>0，解得n<17令−4n+17<0，解得n>17即数列从第5项开始小于0，所以数列an最大值为S4【解析】【分析】(1)利用已知条件和递推公式以及等差数列的定义，从而判断出数列an是以13为首项，以−4为公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式.

(2)利用（1）中数列{an}的通项公式得到数列通项的正负，从而得出n的取值范围，进而得出数列从第5项开始小于0，即数列a16．【答案】（1）解：由2ana又因为1a1=2则1an=2n，所以数列{（2）解：设bn当n为奇数时，cos(n+1)π=1；

n为偶数时，cos当n为奇数时，S=(2−4)+(6−8)+⋯+[2(n−2)−2(n−1)]+2n+2n=−2×n为偶数时，S=(2−4)+(6−8)+⋯+[2(n−1)−2n]+2n=−2×n所以Sn【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推公式变形，再结合等差数列的定义，从而由等差数列的通项公式得出数列{1an}的通项公式，进而得出数列{an}的通项公式.

（2）利用（1）中数列{an17．【答案】（1）证明：由题知，数列{a设其公比为q,由b1+bn=2lo两式相减得，bn故数列{b（2）解：由Tn当n≥2时，an又因为a1=T由（1）可设{bn}则d=2log由b1则b1=1，所以c=(=(2+=628+即数列{cn}【解析】【分析】（1）利用已知条件和等差中项公式，得出b1+bn=2log2an，从而得出当n≥2时，b1+bn−1=2log2an−1，再利用作差法和等差数列的定义，可证数列{bn}是等差数列.18．【答案】（1）解：因为1a当n≥2时，1a两式相减得：1ana显然p≠0，所以an+1于是{an}可能是等差数列，若又是等比数列，

则{因为an+1−a（2）解：由（1）知an+1−an=1p=1(n≥2)，且则an=1,n=1n−1,当n≥2时，Sn=a1+当n=1时，S1=a1=1，所以S【解析】【分析】（1）利用1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1=2−pan+1，则得出当n≥2时，19．【答案】（1）证明：因为an+1−a化简得[a所以{a（2）解：由a1=2，则{an−所以an−n2=n，

所以Sn【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推公式变形，再结合等差数列的定义，从而证出数列{an−n2}是等差数列.

(2)利用（1）结合等差数列的通项公式得出数列{120．【答案】（1）证明：由nSn+1=(n+1)an+nSn+1，得n(Sn+1−S所以数列{a（2）解：由（1）知，an+1n=a当n为正奇数时，sin(π2an)=1，bn=3；当n为正奇数时，Tn当n为正偶数时，Tn所以Tn【解析】【分析】（1）利用已知条件和Sn,an的关系式，再结合常数列的定义，从而证出数列{an+1n}为等差数列.

21．【答案】C【解析】【解答】解：由S10故7a7=35由a3+a10=7得a6+故答案为：C.【分析】利用Sn22．【答案】D【解析】【解答】解：设{an}的公比为q由a7,a5,于是q4+q2−2=0故答案为：D.【分析】利用已知条件和等差中项公式以及等比数列的通项公式，从而解方程得出q223．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于A，由等差数列下标和性质知，所以A正确；对于B，取bn=2，显然数列{bn}对于C，等差数列an的公差为d，(S则2(S2n对于D，当等比数列bn的公比q=−1，n为正偶数时，Sn=0，

故答案为：AC.【分析】利用已知条件和等差数列的性质，从而判断出选项A和选项B；利用已知条件和等差数列前n项和公式和等差中项公式，从而判断出选项C；利用已知条件和等比数列前n项和公式和等比中项公式，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.24．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A，由an−an−1=−4知数列{所以该数列的通项公式为an对于B，因为Sn=n(则当n≥2时，Snn−对于C，Sn=−2n2+16n=−2对于D，令an>0得1≤n≤4；令an则当n=1或n=2时，bn当n=3时，b3<0，当n=4时，b4>0，当又因为b3=a所以当n=2或n=4时，数列{bn}故答案为：BD.【分析】利用已知条件和递推公式，再结合等差数列的定义，从而判断出数列{an}为等差数列，结合等差数列的通项公式，则判断出选项A；利用已知条件和等差数列的前n项和公式以及等差数列的定义，从而判断出选项B；利用已知条件和二次函数的图象求最值的方法，从而判断出选项C；利用通项的正负求出n的取值范围，再结合分类讨论的方法得出数列{bn25．【答案】4【解析】【解答】解：因为等差数列an和bn的前n项和分别为Sn故可设Sn所以Sn所以a3故答案为：43【分析】利用已知条件和等差数列前n项和公式以及Sn,a26．【答案】5【解析】【解答】解：因为数列{an}为等差数列，

故S11=11故答案为：5.【分析】利用已知条件和等差数列的性质以及等差数列求和公式，可得出数列第六项的值.27．【答案】C【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，则a3=a所以S12故答案为：C.【分析】利用已知条件和等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式，从而建立方程组得出首项和公差的值，再由等差数列前n项和公式得出S1228．【答案】A【解析】【解答】解：由题意结合等差数列性质，

则S3=3(设等差数列{an}的公差为d，则d=故S12故答案为：A.【分析】利用已知条件和等差数列前n项和公式以及等差数列的性质，从而得出数列第二项和第五项的值，再由等差数列的性质得出公差的值、首项的值，从而由等差数列的前n项和公式得出S1229．【答案】A【解析】【解答】解：因为S9=9(则S5故答案为：A.【分析】利用已知条件和等差数列前n项和公式以及等差数列的性质，从而得出数列第五项的值，再由等差数列前n项和公式得出S530．【答案】D【解析】【解答】解：因为an+1−an=设公差为d，因为数列{an}由a4+a10=14由a2⋅a12=24，得(a1又因为d>0，所以d=1，a1所以，数列{an}故答案为：D.【分析】利用已知条件和递推公式变形和等差数列的定义，从而判断出数列{an}31．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：若a1=1，a2=2，

又因为若a1=1，a2=2，由选项A可知a3=1，由a5+a若a1=2，a2=3，则∀n≥2，n∈N所以数列{an}为等差数列，且d=因为S20故答案为：ACD.【分析】利用已知条件和递推公式，从而得出数列第三项的值和递推关系，则判断出选项A和选项B；利用已知条件和递推关系变形和等差数列的定义，从而判断出数列{a32．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，设an的公差为d，bn的公比为则Sn所以Sn对于B，因为3a对于C，因为lnT对于D，因为Tn+2故选：ABD.【分析】根据等差数列和等比数列的定义以及等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，从而判断出各选项，进而找出正确的选项.33．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A：首项为正数的等差数列{an}的前n所以(S若a14>0，则所以a14<0，对于B：由选项A可知S15S15对于C：由选项A可知，a14<0，a14+a13>0对于D：因为S27=27(故答案为：ABD.【分析】利用已知条件和Sn,an的关系式以及分类讨论的方法，从而判断出a14+a13>0，则判断出选项A；再由选项A和Sn,34．【答案】-24【解析】【解答】解：因为数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，且满足a2，a3，a6成等比数列，

则a32=a2a6，则a1+2d2=35．【答案】2【解析】【解答】解：设等比数列an的公比为q，则a由已知可得2(a所以2(3q2+4)=3q+3解得q=2.故答案为：2.【分析】利用已知条件和等差中项公式以及等比数列的通项公式，从而解方程得出公比的值.36．【答案】28【解析】【解答】解：设数列{an}由7a32=a所以7(5+d)2=(5+3d)(5+9d)得d=3或d=−5所以a3故答案为：28.【分析】利用已知条件和等比中项公式以及等差数列的通项公式，从而解方程得出满足要求的公差的值，再结合等差数列的性质，从而得出a337．【答案】（1）解：设等差数列an的公差为d(d≠0)，

则(a1+d)(a1+2d)=∴an（2）解：由（1）知，an∴2a∴Tn【解析】【分析】（1）利用已知条件和等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式，从而建立关于首项和公差的方程组，得出首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式.

（2）利用（1）中数列{an}的通项公式得出数列{238．【答案】（1）证明：因为数列{an}满足当n≥2时，有Sn−1−①−②可得：Sn即(1−n变形可得an故数列{an}（2）解：由（1）可知，数列{an}若a5，a9，a11即(a1−8所以an所以数列{an}单调递减，

当1≤n<13时，an>0；

当n=13时，an=0故当n=12或n=13时，Sn则(S【解析】【分析】（1）由Sn−nan=12n(n−1)①得出Sn−1−(n−1)an−1=12(n−1)(n−2)②，39．【答案】D【解析】【解答】解：由等比中项性质知a3由a3,10,a所以等比数列an的公比q=3a6a所以a1故答案为：D.【分析】利用已知条件和等比中项公式得出数列第三项的值，由等差中项公式得出数列第六项的值，再根据等差数列的性质等差公比的值，则由等差数列的通项公式以及等差数列的性质得出a140．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：Snn=若a2<0，则0>a2>a3>⋯，若a2>0，则an=a2+(n−1)d，则存在m∈对数列：1，2，3，…，取n=1，S1=1，S2不妨设n>m，则Sn即am+1+an因为a1+a故答案为：ABD．【分析】根据等差数列前n项和等差数列的定义，则判断出选项A；利用分类讨论的方法和数列的单调性、等差数列的性质，从而得出数列前n项和的最值，则判断出选项B；利用等差中项公式，则判断出选项C；利用已知条件和等差数列前n项和公式以及等差数列的性质，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.41．【答案】809【解析】【解答】解：当n为偶数时，令n=2k,则S2k又因为S2k<0⇔2016+2021−5(2k−1)<0⇒2k>4042即当n为偶数时，使Sn<0时的当n为奇数时，令n=2k+1,S2k+1=a令−5k2+2016k+1<0⇒5即n为奇数时，使Sn<0时的综上可得：n的最小值为809.故答案为：809.【分析】利用已知条件和递推公式，再利用分类讨论的方法和并项求和的方法，从而得出数列{an}的前n项和为Sn，再结合已知条件得出使42．【答案】（1）解：设等差数列an的首项为a1，公差为因为a2+a解得a1所以an因此an的通项公式为a​​​​​​（2）解：由（