高考数学难题30考法

专题1双变量〃存在性或任意性”问题(1)

解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件”等

价转化”为两个函数值域之间的美系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻

辑推理素养和良好的数学思维品质.若{X),以X)的值域分别为4,B,则有：

①3X2^E,使得火为)=虱必)成立，则Aq8；

②BxiD,3x2WE,使得/(R)=g(X2)成立，则AABW0.

[13111「

例题1已知函数/%)=3442g(x)=eX+ar—2(aeR),若存在用，

—x+—一,

362

^<=[0,1],使得/(幻=屋々)成立，则实数a的取值范围是.

【解析】当OWxW1时,/(力单调递减，OW〃1wL

当时，:(耳=炉一420成立，/(力递增，”力值域为

2463L3_

设g(x)的值域为8,因为存在占，.w[o,l]使得f(M)=g(再)成立,

所以BDAwOg(x)=e*+ar-2,/(x)=e*+a

①aN-1,任意xe[O,l],g'(x)20成立，g(x)在[0』单调递增，

所以g(力讪=8@=一1，g(%)g=g(l)=e+a-2,B=[-l,e+a-2].

因.为所以e+〃—220,—e：

②aW-e,任意X£[O,1],g'(X)WO成立,g(x)在[0,1]单调递减，

所以g(x)而n=g6=e+”一2,g(x)惭=g(0)=-1,^=[e+a-2,-l],8nA=0,不合题意

③-evav-l,令g[x)=e*+a=0,x=ln(-a),

g(x)在(O,ln(-a))递减，(ln(-c),l)递增，所以8⑺*=(-«))=-a-2+a\n(-«),

g(x)3=max{g(0),g(l)},又g(0)=T<0,^(l)=e+«-2<0,则5nA=0,不合题意

综上所述，a^2-e.

【小结】存在性和恒成立混合问题注意理解题意，等量关系转化为值域的关系.

例题2已知人x)是定义在[-2,2]上的奇函数，且当x£(0,2]时，・仆)=2'—1,函数g(x)

=f—2x+/n,且如果对于任意的内£[—2,2],都存在力£[—2,2],使得g(x2)=/(xi),则

实数M的取值范围是.

【分析】易得f(x)w[-3,3],g(x)e[?n-l,m4-8],若对于％e[-2,2],叫e[-2,2],使

得8(占)=/(5),只需/(x)的值域包含于g(x)的值域即可,即加一1W—3且〃?+823,

解得-5<m<-2.

【解析】x£(0,2]时，危)=2'—1为增函数，值域为(0,3],

因为外)是定义在[-2,2]上的奇函数，所以40在[-2,2]上的值域为[-3,3],

函数g(x)=f-2x+”在工£[-2,2]上的值域为的一1,〃?+8]・

因为对任意的不£[-2,2],都存在X2£[—2,2],使得g(X2)=/S),

所以./)在[-2,2]上的值域是鼠工)=f—2x+“在x£[—2,2]上的值域的子集，

[/«+8>3

所以《.，解得-5W〃?&-2

即实数〃，的取值范围是[-5,-2].

【小结】考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解

题意，转化为值域之间的关系.

「r+左一1/1

-?-*5，

例题3已知函数人x)=J1+x1g(x)=-x2-2x-2.若存在a£R,使得

log1—y—,x>—y

、2

{a)+趴Z>)=0,则实数力的取值范围是.

I9Y—1

【解析】当烂一E时，加)=1+(2<1,

止匕时儿0=1+与」■=1+5一占在(一8,—T上单调递减，易求得及)£[-7,1)；

当%>一3时，y(x)=iog1此时y(x)在(一/+8)上单调递减，易求得y(x)£(—8,2),

故存在a£R,使得_/(q)+g(/0=0n-g®=7(4)£(—8,2)^b2+2<2^b^(—2,0)

acosx+2,x>0

例题4已知函数f(x)=2、T,g(x)=</+24工<。5WR)'若对任意％』'+8),

总存在使/（%）=g（电），则实数。的取值范围是（）

口,卯[1,2]D.37

A.B.C.L”了

一叼4

【解析】对任意X€[l，+8）,则八工）=2122°=1,即函数/（%）的值域为[1，+8）,

若对任意王£[1，+8）,总存在毛£足，使/（%）=8（%），

设函数g（幻的值域为4则满足[L+8）qA,即可,

当x＜0时，函数=为减函数，则此时g（x）＞2a,

当x20时，g（x）=acosx+2G[2—|a|,2+1«|],

①当2。＜1时，（红色曲线），即时，满足条件[L+8）qA,

2

②当。之/时，此时2。21,要使U，+8）qA成立，

则此时g（x）=acosx+2e[2-。2+a],

2-a<\a>1

此时满足（蓝色曲线）＜即《,得14。42,

2a<2+aa<2

1O1

巩固1.已知函数/(x)=3x2+2x-/—2a,g(x)=wx—不若对任意xiW[—I,]],总存在也£[0,2],

使得火闪)=义工2)成立，则实数。的取值范围是.

【解析】/)=3/+右一/°+2),则/(x)=6x+2,由/。)=0得x=-§.

当工£-1,一D时，f(x)<0;当(一/1]时，/(x)>0,

所以[/(切01皿=/(一；)=—a2—2a—J.

又由题意可知，人功的值域是一小6的子集，

所以五一1)W6,—/—2a—；》一；，/(1)W6,

解得实数a的取值范围是[-2,0].

巩固2.已知函数/(x)=2x,x£0,；,函数g(x)=Ax-2左+2(%>0),xG0,若存在片仁

0,当及也小，抖使得/l)=g(X2)成立，求实数上的取值范围.

【解析】由题意，易得函数及)的值域为[0,1],%)的值域为12—2左，2-yl,并且两个值域

有公共部分.先求没有公共部分的情况,

要使两个值域有公共部分，4的取值范围是，8-

巩固3.已知函数段)=Tf+x,ga)=ln(x+l)一。，若存在X],X2£[0,2],使得先■日二爪也)，

求实数。的取值范围.

【解析】/)值域/=[0,4],g(x)值域B=[-a,ln3-a],

由存在xi，刈£[0,2],使得/(xi)=g(X2)知：

正难则反，先求出4GB=(|)时，。的取值范围

由4c8=(|>得：4V—“或ln3—〃<0,解之得：“V—4或a>ln3,

故时，-4W“Wln3,所以〃的取值范围是[-4,%3].

巩固4.已知函数及)=)_](x22),g(x)="(a>l,x22).

(I)若m%oW[2,+8),使y(xo)=/H成立，则实数机的取值范围为;

(2)若VXI£[2,+8),三工2w[2,+8),使得以I)=如a)，则实数。的取值范围为.

——x+111

【解析】(1)因为Ar)='=》+口=%-1+口+122+1=3,当且仅当x=2时等

号成立.所以若三的£[2,+«>),使｛出)=/〃成立，则实数m的取值范围为[3,+«>).

(2)因为当x22时,y(x)23,g(x)2/,若Vxi£[2,+°°),3x2^[2,+°°),使得加i)=g(x2),

则｛Q2W3,解得a£(l,啊

巩固5.已知函数/(1)=----------,g(x)=x2-2x,若存在实数〃£(一。。,一2),使得

x+2

f(a)+gS)=0成立，则实数b的取值范围是。

【答案】(-1,3)

，+2,x—1

x2

巩固6.已知函数\g(x)=-x1-lx-l,若存在a£R,使得

1

皿丁)，x>——

i22

火〃)+g(b)=0,则实数的取值范围是.

【答案】(-2,0)

专题2双变量“存在性或任意性'’问题(2)

不等问题

①VX]£D,VX2仁E,均有人加>孤2)恒成立，则/(X)min>g(x)imr：

②VX1GD,3X2eE,使得於1)>以及)成立，则｛x)疝加n；

③切ED,3X2EE,使得/D>g(X2)成立，则外)mat>g(x)min；

例题5已知函数及)=；/+工,修1)=111(》+1)一°,若存在XI,X2£[0,2],使得以1)>鼠工2)，

求实数a的取值范围.

【分析】问题可转化为/(X)max>g(X)min，易得/(X)max=4，虱工储产一。，

由火X)nm>g(X)min得4>一4,故»7>—4即为所求.

【小结】存在性和恒成立混合问题注意理解题意，不等关系转化为最值的关系.

4「11

例题6已知函数/(x)=x+《，g(x)=2"+a,若Vxi仁仁，1J,三也仁[2,3],使得/(xi)Wg(X2),

则实数a的取值范围是.

【解析】依题意知/(X)maxWg(X)1nax.

••7(X)=x+：在[£，1上是减函数，・\/(X)max=局=¥

义且(幻=2叶。在[2,3]上是增函数，・・&戏皿=8+。，因此?W8+a,则a2；.

【小结】理解量词的含义，将原不等式转化为i/WLwW[ga)]皿；利用函数的单调性，求以)

与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围.

例题7设。>0,函数/'(x)=x+g,g(x)=x—lnx+4,若对任意的不£[1,e],存在刈仁口，

e],都有/(xi)》g(X2)成立，则实数a的取值范围为.

【分析】问题可转化为/(X)min》g(x)mm，函数g(x)不含参，易求得或V)min=g(l)=5,接下来

2

的思路有二，一是直接分类讨论求/(X)min，二是将/a)mineg(X)mi转化为/(X)=X+左》5恒

成立，通过分离参数再解决

【解析】问题可转化为/(X)min》式》)min.

当x£[l,e]时，g'(工)=1一320,故蛉)在[1,e]上单调递增，则g(x)min=g(l)=5.

思路一：又/'(刈=1-3=二一，令/'(x)=0,易知x=a是函数/(x)的极小值.

当aWl时，/㈤而n=l+/,则1+/25,不成立；

当lv〃We时,/(x)min=/(a)=2a,则2〃25,得^WaWe；

2

当a>c时，/(x)min=/(e)=e+g»5显然成立，得a2>5c—c2,所以a>e.

V

综上所述，实数4的取值范围为U，+8).

思路二：故有/(x)min25,即/(x)=x+》5恒成立，分离参数得标"(5—X),

5

易得[X(5—X)]max7=qp又。>0,故。2]

所以实数。的取值范围为整+8)

例题8已知函数/(x)=f-2ar—1,g(x)=p其中q>0,x=#0.

(1)对任意的x£[l,2],都有/(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围;

【解析】由题意知,/(x)—g(x)>0对x£[l,2]恒成立，即f-Zax+l-4。对x£[l,2]恒成立,

即。后年T对x£[L2]恒成立，令研x)=/T，只需。<9(》端卜。£[1,2]).

2%4+V*+1

由于“(x)=*+12>0,故p(x)在x£[l,2]上是增函数，

3a)min=/(l)=|，所以4的取值范围是(0，I)

(2)对任意的X1£[1,2],存在必可1,2],使得/任)〉虱必)恒成立,求实数。的取值范围.

【解析】由题意知f—2奴+l>0)min=*即。<笔答对x£[l,2]恒成立.

令*)=左+1，贝(x)='(4X+I)2X)对〃[1,2]恒成立,

4

则3(x)在[1,2]上是增函数，9(x)min=3(l)=5，

所以a的取值范围是(0,

【小结】防止误将VX£。，均有〃)>%)恒成立，转化为_/(X)min>g(X)g，一般应作差构造

函数F(X)=/(X)—g(X),转化为F(X)min>0恒成立.

巩固1.已知函数及r)=f—2r+3,g(x)=log2x4-w,对任意的xi，刈£[1,4]有y(xi)>g(x2)恒

成立，则实数m的取值范围是.

【解析】/(X)=f-2x+3=(X-l)2+2,当x£[l,4]时，7Wmin=/(l)=2,■v)max=g(4)=2+〃b

则/(x)min>g(x)max，即2>2+〃3解得〃?<0,故实数小的取值范围是(-8,0).

巩固2.已知函数/)=ln(F+1),双力=(分一m若对孙仁[0,3],a2右[1,2],使得.心|巨g(X2)，

则实数m的取值范围是.

【解析】当x£[0,3]时，Hx)min=/(0)=0，当x£[l,2]时，g(X)mi„=g(2)=1-/W,由/Wmin

>g(X)min，得0五一相，所以〃仑小

4ri-

巩固3.已知函数(丫)=工+7蛉)=2'+°,若Vxi£5，1,*2W[2,3],使得大川)阳彳2)，则

实数。的取值范围是.

【解析】由题意知,/(X)minGwVI])阳X)minaW[2,3]),因为儿：)=工+1所以/(刈=1-2,

所以/㈤在[佳，1]上单调递减，所以危)mm=/U)=5,又因为％)在[2,3]上的最小值为g(2)

=4+a,所以5N4+a,即日1.

巩固4.函数—:)=4一12x+3,g(x)=3x-m,若对Vx】可一1,5],助£[0,2],曲困必)，则

实数机的最小值是.

【解析】由/(x)=3f—12,可得段)在区间[-1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增，

.*.y(X)min=/(2)=-13,•/g(x)=3*—m是增函数，:.g(x)min=1一相，

要满足题意，只需_Ax)minNg(X)min即可，解得小打4,

2

巩固5.已知函数/(x)=W—2x+3①时)=[二I.若对任意的xi£[0,3],总存在犯£[2,3],

使得火即)|9X2)成立，则实数。的值为.

【答案】

专题3二元不等式恒成立问题

1.对于“双参求一参数范围问题”宜采取变更主元法，如例1、例2,此类题目的特征是：

含有双参数而问题是求其中一个参数的取值范围，只需将另一参数视为“主元”，求出最值

即可.

2.对于“/(工)2办+6或/(工)441+/?求有关。、b的代数式取值范围”型，利用几何意

义，转化为比较零点来处理.

例题9若关于x的不等式A?-sf+or+bVO对任意的实数x£［l,3］及任意的实数［2,

4］恒成立，则实数。的取值范围是.

【分析】木题的特征是，较一般的不等式恒成立问题，增加了一个变量，一般是关于该变量

的“一次式”，其解法是：变更主元，先看作“一次变量”的恒成立问题即可.

【解析】先视为以b为主元的函数，设｛6)=什(/-3/+仆)

则./(b)为关于b的一次函数，在b£［2,4］上增，为使人b)V0恒成立

只需<4)<0,即x3-3X2+OX+4<0

再考虑F・3/+如+4<0在x£［l,3］恒成立

分离参数可得：a<3x--V2-

设g(x)x£［l,3］,故aVg(x)的最小值

由9(x)=3-2x+5,可得1VXV2时，戈(x)>0,g(x)递增；2VxV3时，

g1(x)<0,g(x)递减，

又g(1)=-2,g(3)=-X可得g(x)在［1,3］的最小值为-2,

•,<・2,故实数。的范围是(-co,-2).

例题10已知函数/(x)=81n元+x2-10x+c,若对任意2W[一1,1],%€(0,8]＞不等式

(Z+l)xNf(x)恒成立，求实数C的取值范围.

【解析】由伏+l)x，/(x)在N(0,8］恒成立，

整理得女》西丝+x-11+£对任意&?［1』］恒成立，

XX

所以应有・12独丝+x-11+£恒成立，即cW-8lnx-炉+］0x对xi(0,8］恒成立.

XX

设g(x)=-81nx-x2+10x,x?(0,8］，则g'(x)=---2x+10=-2口-)(--4),

x4

令夕(x)=0,得x=l或x=4,列表如下：

X(0,1)1(1,4)4(4,8)8

g,W-0+0-0

g(x)极小值g⑴/极大值g(4)X16-81n8

g(D-g(8)=9-16+81n8=81n8-7>8ln8-8=8(ln8-1)>0,

所以g(x)在xi(0,8］的最小值为g(8)=16-81n8,又c<4,

16-81n8-4=12-81n8<12-81+=12-16<0,

所以实数c的取值范围是(・？，1681n8］.

例题11已知小b£R,若关于x的不等式lnxWa(x-2)+b对一切正实数x恒成立，则当a

+b取最小值时，b的值为.

【分析】在平面直角坐标系X。中，分别作出》=1意及丁=。(》-2)+6的图象，不等式Inx

Wa(x—2)+6对一切正实数x恒成立，即直线y=a(x—2)+b恒在曲线y=lnx的上方.a+b

最小，即直线》=。(.丫-2)+6与x=3交点的纵坐标最小.根据图象可知：。+人的最小值为

ln3,此时直线尸a(x—2)+b与曲线y=lnx相切于点(3,ln3),因此a=；,从而6=ln3一；

例题12已知〃，力wR,若/一12⑪-。恒成立，则"一"+1的取值范围是.

a

【分析】所求^-6/+1=—-1,为了出现空■,将--1之以一人变形为

aaa

ex-2>ax-(b^\),此时空•的几何意义是直线y=ar—(b+l)在x轴上的截距即函数

a

丁=以-3+1)的零点，根据图象可知，当，一2之双一3+1)时，曲线y=/-2在任意

一点的切线的零点都不小于曲线的零点，即生121n2,所以Z?—67+1Z?+1___.

------=------l>ln2-l,

a

空出•的取值范围是［ln2—l,+x).

【小结】对于/(x)2or+b或/(x)War+b型恒成立，求有关〃、％的代数式取值范围问

题的解题步骤是：

①判断函数的凸凹性(当/(x)>0时，函数为凹函数；当f〃(x)>0时，函数为凸函数),

从而得出因凸凹的不同，切线在曲线的上下的不同；

②凑配条件中的参数系数，求曲线和切线的零点，比较零点的大小即可

例题13若oe'Nlnx+l恒成立，则。的取值范围是

【分析】取对数，化双曲为“一直一曲”，解法同例3.

【解析】对adNlnx+1两边取自然对数得ln〃+xNln(lnx+l),故一InaWl,a>e~］

所以〃的取值范围是［"I+8).

【巩固训练】

1.若不等式力:十c+91nx£x2,对任意X£（O,48）,Oe（O,3）恒成立，则实数C的取值

范围为.

2.设函数+优xcH）,其中a,Z?£R.若对于任意的a«-2,2］,不

等式/（x）<1在［-1,1］上恒成立，则b的取值范围为.

3.（2020•江苏天一中学・12月考）设a、力均为实数，己知函数/。）=火炉（。eR）,

若不等式/（x）・・2f+法对任意的及任意的X>0恒成立，求b的取值范围;

4.已知a,bwR,若Inx—lWar—b恒成立，则妇”1的取值范闱是.

a

5.已知直线y=a¥+b与曲线/（x）=lnx-l相切，则2的最小值是（）

12

A.---B.一夕C.-eD.--

e

CER恒成立，则2a的最大值是（）

6.若不等式炉一4工+2之奴+匕对于任意）

a+4

A.2-21n2B.-l-ln2C.-In2D.-2In2

【巩固练习答案】

1.【答案】（YO,-91n3）

2.【答案】（-oo,_4].

3.【分析】变更主元、分离参数，可得产一2元.力对任意的恒成立，构造函数

夕（x）=e'-2x利用导数求出函数的最值即可求出力的范围，

【解析】由八幻-2/+法，得公广.2¥+云，由于x＞。，

所以•2x+b对任意的〃•.1及任意的x＞。恒成立.

由于-所以.“，所以0'一2工.力对任意的x＞°恒成立.

设W（x）=e，-2x,x＞。，则也冗）=0*-2,

所以函数9（幻在（°,E与上单调递减，在（历2,十⑼上单调递增，

所以以=火加2）=2-21n2,

所以&,2-2历2.

（-00,«2—1]

4.【答案】'」

8+1/2

-----＜e

【提示】如图中，同例3,易得a

b+1

5.【答案】C

6.【答案】C

【提示】将--41+22御+力变形为《―22（。+4）%+（6-4）即可.

专题4函数的单调性

1.单调函数是一对一的，运用之结合待定系数法可求函数的解析式(如例1).

2.看到具有“(经过变形后)对称结构”的数式，应想到构造函数，运用函数的单调性解决

问题.

例题14已知函数/(X)是定义在(0,+8)上的单调函数，对于定义域内任意X,

/[/(工)一1脸同=3,则函数g(x)=/*)+x-7的零点所在的区间为()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【分析】本题的关键在于求出函数“X)的解析式，紧紧抓住"八人)是定义在(0,+8)上

的单调函数”这一重要条件，设/(此一log2%为定值，W/=/(x)-Iog2x,然后使用赋值

法求出参数的，值即可.

【解析】因为/(1)是定义在(0,+8)上的单调函数，且对任意的x6(0,+8),都有

/[/(x)-log2x]=3,

所以/(X)Tog2/为定值，设，=/(X)Tog2X，则/(x)=lOg2X+，，

又由/(。=3,，/Q)=log2/+r=3,所以，=2,

所以/(x)=log21+2,所以g(x)=log2X+x-5,

因为g(l)<0,g(2)<0,g(3)<0,g⑷>0,g(5)>0,

所以零点所在的区间为(3,4).

例题15(多选题)若实数4,人满足2“+3。=3b+26,则下列关系式中可能成立的是()

A.0<a<b<\B.b<a<0C.\<a<bD.a=b

【分析】构造/(x)=2，+3x,ga)=3'+2x,易知/(x),g(x)是递增函数，结合函数的图

象，得出结论.

【解析】由2“+3°=3嗔力，设/(x)=2、3x,g(x)=3'+2x,

易知f(x),g(x)是递增函数,当x=0,1时，f(x)=g(x),

画出f(x),g(x)的图象如下：

根据图象可知：0<。<力<1,/(a)=/(b)可能成立；故A正确；

当6<。<。时，因为/(戏,g(x),所以/(a)=/(b)可能成立，B正确:

当。=力时，显然成立，

当力时，因为/(a)<g、b),所以不可能成立，

故选：ABD.

2一*,烂0,

例题16设函数｛x)=则满足./+1)勺(2x)的x的取值范围是()

1,r>0.

A.(—00,—1]B.(0,+QO)

C.(-1,0)D.(-00,0)

【解析】法—：分类讨论法

x+l<0,

①当即比一1时，危+1)勺⑵0,即为2-2)〈2一%即一(工+下一级，解得x〈l.

2x<0,

因此不等式的解集为(-00,-1].

②当Lx+l。<0,时,不等式组无解.

x+1>0,

③当彳即一IX。时，/(x+l)<7(2x),即为1<2一&,解得x<0.

2.r<0>

因此不等式的解集为(一1,0).

x+1>0>

④当c八即x>0时，/(x+l)=l,/(2r)=l,不合题意.

2x>0,

综上，不等式/(x+1)勺(2x)的解集为(一8,0).

法二：数形结合法

2~xx<0,

・・t

7«=1,x>0,

，函数段)的图象如图所示.

x+1<0,

结合图象知，要使Hx+l)勺(2x),则需｛2x<0，x+1>0»

或Ax<0,故选D.

2x<0,

,2x<x+1

例题17已知6c[0,2;r),若关于k的不等式Jsin。一Jcos夕42卜五手一以与。)在上

恒成立，则。的取值范围为.

【分析】本题实质是含参数。(这里当然是sin。、cos。)不等式恒成立问题，应抓住已知

条件^而^wMsin30-c小3e)的对称结构，构造函数，利用函数单调性解不等式.

【解析】看到病诵-co/。)想“对称结构”，将它变形为:

Zrsii?夕一Jsin。>Acos'。-JcosO,设f(x)=kx^-\fx,1

2yfx

1

易知当&e(f-2］时，f\x)=3kx2-<0,故f(X)在[0,+o。)单减,

2\/x

sin"cos。

所以sinJNO,解之得：04"巴所以。的取值范围0,£

八44

cos^>0

5

例题18已知实数项，W满足X["i=e3,x,(lnx2-2)=e,则%毛=.

【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令加/-2=1,电=，+2,

得到超，=/,研究函数/*)=必，的单调性，求出再/关系，即可求解.

解法一：实数项，/满足玉/'=/,/(ln%-2)=e5,

2/+2

xx>0,x2>e,Inx2-2=r>0,^=e,则以=/，

f(x)=xex(x>0),fr(x)=(%+l)e”>0(x>0)，

所以/Q)在(0,+8)单调递增，而/(%)=/«)=",

,.xl=/=In电-2,xxx2=々(In占-2)=".

解析二：对=/两边取自然对数得：ln%+%=3,

对％2(ln/-2)="两边取自然对数得：InA^+lnOn/-2)=5(:※)

为使两式结构相同，将(:※)进一步变形为：(lnz-2)+ln(lnx2-2)=3

设f(x)=lnx+x,则r(x)=\l>0,所以/*)在(0,+oo)单调递增，/(x)=3的解

x

5

只有一个.JXj=Inx2-2,XX2=(lnx2-2)A^=e.

【巩固训练】

1.已知函数/(©=[/+1,心0,则满足不等式一(1一12)>/(2#的％的范围是

1,x<0

2.已知函数/(工)=卜+2：X-°,若则实数0的取值范围是

2x-x~,x<0

x2-2xx<2

3.(2020•扬州三检・12)已知函数f(x)=hf，则关于x的不等式

-x-\>x>2

[2

y(i-x)</(2-x)的解集为.

4.(2020•江苏南通市如皋中学创新班四月模拟・2)已知实数a,b£(0,2),且满足

。2一户—4二4•一2"-4〃，则a+6的值为.

5.不等式f-(x+2>+幺<x4-(x+2)2+x+2的解集是.

<xl)

6.若Xj满足方程2x+2*=5,X,满足方程2x+log2=5,则％+/=.

7.已知单调函数/(同是定义域是(0,+8),对于定义域内任意X,/[/(x)-log2x]=3,

则函数g(x)=/(x)+x-9的零点所在的区间为()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【巩固练习答案】

1.【解析】考查分段函数的单调性,

l-x2>0

2.【解析】Qy=%2+2x在［0,+8)上单调递增，丁=2X一/在(一8,0)上单调递增，且

02+2x0=2x0-(J?,.•./0)在R上单调递增，

因此由/(2-叫〉/⑷得故答案为：(-2,1)

3.【分析】作出函数/(工)图象，考察动区间［1一片2—W间图象的单调性，易得，当1一“二;

即x=5时，/(I-x)=/(2-幻，此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故1一工>5,

x<1,所以不等式f(l—x)</(2—x)的解集为

4.【分析】将。2一6―4=4•一2"-4b化为：/+2"=(2—切2+22-〃，设/(工)=%2+2*,

则“”在(0,2)上递增，由得a+b的值.

A

【解析】由。2一/-4二>一2"-48，化简为：/+2"=224+S—2)2,即

672+r=(2-Z?)2+22-\设/卜)=£+2",则/(力在(0,2)上递增，因为a,bG(0,

2),所以2-b£(0,2),且=所以4=2-6,即4+6=2.

5.【答案】

6.【答案】工

7.【答案】D

专题5函数的奇偶性与单调性

1.若函数./W为偶函数，则人x)=(kl),其作用是将“变量化正“，从而避免分类讨论.

2.以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，

是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的

能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.

例题19设函数/(x)=ln(l+|x|)一则使得7(x)次1)成立的x的取值范围是()

A.g1)加(1,+8)

【分析】发现函数4，)为偶函数，直接利用")=A|x|),将“变量化正”，转化为研究函数函数

加)在(0,+8)上单调性，逆用单调性脱

【解析】易知函数几)的定义域为R,且/(x)为偶函数.

当时，4x)=ln(l+x)一金了，易知此时人防单调递增.

所以/(W)M2r-l|L所以解得卜<1.故选A.

例题20已知函数/(#=/—2x+e'-5,其中e是自然对数的底数.若

f(a-l)+f(2a2)W0,则实数a的取值范围是.

【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将f(a-l)+/(勿2)wo移项，运用奇偶性再将

负号移入函数内，逆用单调性脱了，.

【解析】因为/(-Qn-d+Zx+l-eXn-f*),所以/'(X)是奇函数

e

又因为/(x)=3/-2+e、+e-x>3x2-2+2ylexd*NO,所以数/(处在R上单调递增

由f(a-1)+/(2a2)W0、f(x)是奇函数得/(2a2)W-f(a-1)=/(1-</),

由/(x)在R上单调递增，得ZYvi-a,BP2a2+a-\<0,解得—

故实数。的取值范围为［-I,;1•

例题21已知函数/(x)=e=e-'+l(e为自然对数的底数)，若/(2x-l)+/(4-f)>2,

则实数x的取值范围为.

【分析】本题是例20的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有

奇偶性、单调性的函数，其思维能力要求的更高，难度更大.

【解析】令尸(幻=/(刈-1=^-0，易知F(x)是奇函数且在R上单调递增

由f(2x-l)+/(4-f)>2得/(4-9)-1>1一/(2工-1)=一［/(太-1)-1］,即f(4一力>_尸(2.1)

由F(x)是奇函数得-F(2x-1)=F(1-2x),故尸(4-x2)>F(l-2x)

由尸(x)在R上单调递增，^-4-?>l-2x,gpx?-2x-3<0,解得一lvxv3,

故实数x的取值范围为(一1,3).

21-x工n]

例题22已知函数/(外二'一，若/(21-2)2/(/一工+2),则实数”的取值范

2，工<1

围是()

A.[-2,-1]B.[l,+oo)C.RD.(~°0,—2]U[h+G0)

91-xy1

【解析】函数/*)=</=2*",故关于直线x=l对称，且在[1,+<«)上单

2,%<1

减，函数〃幻的图象如下：

•/f(2x-2)../(x2-x+2),且x2-x+2=(x-1)2+1>1恒成立，

24

."J2x—2—11,,—x+2—1,即12x—31„%2—x+1,

333

当x..一时，不等式化为：2X一3»,£-1+1,即f-3x+4..O,解得XER,即x…一；当x<一

222

时，不等式化为：3-2&V-x+l,即V+x-Z.O,解得工，-2或x..l,即工，-2或L,x<|；

综上，/(2x—2)../(f—x+2)时，实数x的取值范围是(一8,,y).故选：D.

例题23已知函数/。)=3、一3一，f(l-21og3，)+/(31og3"l)ik)gj,则f的取值范

3

围是.

【分析】将已知/(l-21og31)+f(31og3，-l)NlogJ按照“左右形式相当，一边一个变

3

量”的原则，移项变形为/(31083，-1)2108［，一/(1一21083?)，易知，(x)=3''-3r是奇

3

函数，故进一步变为/(31og"-l)+(31og3，T)之/(21og3，T)+(21og3，-D(#),故

下一步需构造函数F(x)=f(x)+x,转化为研究尸(x)=/(x)+x的单调性，而

F(JV)=/(JV)十X单增，故(井)可化为BP31ug3/-l>21og3Z-l,解之得2N1.

【巩固训练】

1.若函数/")=xln(x+JUF)为偶函数，则实数〃二

2.设函数+则使得成立的x的取值范围是().

1।A

4(1,也)B.(^o,-l)U(l,-KX))C.(-U)D.(-l,0)U(0,l)

3.已知函数/(幻二^一2"，则满足/(/一5幻+/⑹>0的实数x的取值范围是.

4.已知函数/(x)="|x|+3x+l,若八。)+/(/一2)<2,则实数々的取值范围

1*2_L.OyY>(")

5.己知函数/(x)={2,~，若/(2-/)>/(〃)，则实数°的取值范围是____

2x—x,x<0

6.已知函数g(x)=/-eT,/(x)=xg(x)，若a=fIn2,Z?=/fo.24,

k3JIJ

c=/(512),则a、b、c的大小关系为()

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

7.【多选题】关于函数下列结论正确的是（）

A.图像关于y轴对称B.图像关于原点对称

C.在（』0）上单调递增D.7（X）恒大于0

7

8.已知函数/（工）=2020'+1。82020（4工'+"）-2020-'+1,则关于x的不等式

/（2x+l）+/（x+l）—2>0的解集为（）.

B.

2121

C.--,+x