高考数学一轮复习导数专项练-解答题A卷

高考数学一轮复习导数专项练——解答题A卷

1.已如函数f(x)-cxln(l+x).

(I)求曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程；

(II)设g(x)=7'(x),讨论函数g(x)在[0,+00)上的单调性;

(HI)证明:对任意的s,re(0,-K»),有/6+，)>/($)+/«).

2.已知函数/(幻=/一4,g(x)=x2+a,曲线y=/(x)在点(NJ(xj)处的切线也是曲线

y=g(x)的切线.

(1)若芭=一1,求4：

(2)求。的取值范围.

3.已知函数f(x)=ln(l+x)+acev.

(1)当a=l时，求曲线)，=/(©在点(0J(0))处的切线方程；

(2)若/(x)在区间(-1,0),(0,+⑼各恰有一个零点，求4的取值范围.

4.已知函数/(彳)=/+如+1

(1)讨论了(X)的单调性；

(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.

5.已知函数f[x)=ax-€R.

(1)当a=l时，求人力的图象在点P(eJ(e))处的切线方程；

(2)设函数g(x)=M*(x)-4,讨论函数g(x)的零点个数.

6.已知函数/(")=弘±1)(其中e为自然对数的底数,aeR).

e"

(1)当a=l时，求曲线,=f(X)在点(2,7(2))处的切线方程；

⑵若。>0,方程/(x+l)-a=0有两个不同的实数根司,七,求证：累+E>2e.

7.已知函数f(x)=mex(x+\).

(1)当〃7=1时，求/(X)在x=0处的切线方程；

(2)若g(x)=x2+4x+2,当xN-2时，/(x)Ng(%)恒成立，求m的取值范围.

8.已知函数/(幻=x2+ae\aeK),f\x)是f(x)的导数(e为自然对数的底数).

(1)若a=_2时，求曲线y=/(x)在x=0处切线/的方程；

⑵若对任意实数-不等式恒成立，求实数”的取值范围.

2

9.己知函数/g(x)=ax+x-l,

x2

(1)求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程;

⑵若对任意的xe(0,+oo),/(x)Wg(x)恒成立，求实数a的取值范围.

lnx+x+2

10.已知函数/(用

x

⑴求曲线y=/(x)在点(!,/(1))处的切线方程;

⑵讨论方程“0=/的实根个数.

答案以及解析

1.答案：(I)y=x

(II)g(x)在[0,X。)上单调递增

(III)见解析

解析：(I)由题，f\x)=er-ln(l+x)+er•—=ev[ln(l+x)+—],

\+x1+x

故八())=5♦ln(l+O)+」一=1,/(O)=e°ln(l+O)=O,

_l+0_

因此，曲线尸/(x)在点(0J(0))处的切线方程为y=x.

(II)解法一：g(x)=f'(x)=exln(l+x)+—5―,

_1+A_

21

贝Ug'(x)=e'ln(l+x)H-------------------y,

1+x(1+x)

21

设h(x)=ln(l+x)+-------------------,XG[0,+OO),

\+x(1+x)-

mu，\122+1

贝l"?(x)=------------------+---------r=--------r>0,

1+x(1+X)(1+x)(1+x)

故h(x)在[0,-H30)上单调递增，

故力(x)2/?(0)=l>0,

因此g'(x)>0对任意的X€[0,+00)恒成立，

故g(x)在ro,+oo)上单调递增.

解法二：g(x)=r(x)=e*ln(l+x)+—,

l+x_

21

则g'(x)=e'ln(l+^)+----------------y，

\+x(1+x)

Xev>0,当xw[0,+oo)时，，ln(l+x)+----------!-z->In1++>0,

\+x(\+x)2(1+x)2

故g'(x)>0对任意的xe[0,+oo)恒成立，

故g(x)在[0,y)上单调递增.

(III)设m(s)=f(s+t)-f(s)-f(t)=e'+/ln(l+s+f)—e"n(l+s)-e‘ln(l+1),

则m\s)=e"'ln(l+s+t)+——-——-eT[ln(l+s)+—5—]=g(s+t)~g(s)»

14-5+/J14-5

由（H）知g（x）在［0,+oo）上单调宛增,

故当s>0,f>0时，/(s)=g(s+f)-g(s)>0,

因此，m(s)在(0,+oo)上单调递增，

故，网s)>帆(0)=/(0+0-/(0)-/(/)=-/(0)=0,

因此，对任意的s,fe(0,+oo),有f(s+£)>f(s)+f").

2.答案：(1)〃=3

(2)l-l,+oo)

解析：(1)当％=-1时，/(-1)=0,所以切点坐标为(一1,0).

由f(x)=x3-x,得f\x)=3x2-1,

所以切线斜率左=/'(-1)=2,

所以切线方程为y=2(x+l),即j=2x+2.

将y=2x+2代入y=/+。，得f-2x+a-2=0.

由切线与曲线y=g(x)相切，得△=(2)24(。2)=0,解得a=3.

(2)由/(x)=/-x,得/'(幻=3/-1,所以切线斜率左=((内)=3M一1,

所以切线方程为-*)=(3x：-1)(工一为)，即y=(3x,2-l)x-2x^.

将J=(3x；—1)工一2片代入j=x2+a,得f一(34一l)x+a+2M=0.

由切线与曲线y=g(x)相切,得△=(3/2-1)2一4,+.)=0,

整理，得4。=9式：-8工；-6工；+1.

令力。)=9d-8x3-6x2+l,贝ijh\x)=36/-24x2-12x=l2x(3x+l)(x-l),

由"(x)=0,得“=」，0,1,

3

h(x),hf(x)随x的变化如下表所示：

X~3信。）0(0,1)1（1收）

〃'(x)-0+0-0+

/?。）极小值极大值极小值

由上表知，当x=—g时，以制取得极小值"（—；）=

当％=1时，〃(外取得极小值献1)=-4,

易知当x->YO时，h(x)—>-K»,当x->+00时，/i(x)—>+00,

所以函数h(x)的值域为[-4,+oo),

所以由44GJK+eo),得℃[-1,+8),

故实数。的取值范围为［-1,”).

3.答案：(1)y=2x

(2)(-oo,-l)

解析：(1)当4=1时,/(x)=ln(l+x)+x-e'r,

/'(x)=-----Fe+X'c~x•(—1)»

x+1

.•.r(o)=i+i=2,

v/(0)=0,

.••所求切线方程为y—0=2«—0j,即y=2x.

ZJV

(2),//(x)=ln(l+x)+av-e-x=ln(x+l)+—，

er

1°当aNO时，若%>0,则ln(x+l)>0,—>0,.JOO,

e"

「./(x)在(0,+co)上无零点，不符合题意.

e*+a(l-巧

2。当avO时,

(x+l)ex

令g(K)=e*+a(l-x2),则g'(x)=e*-2奴，g'(x)在(-l,+oo)上单调递增，

g［T)=5+2a,/(0)=1,

(a)若g'(-l)NO,则一一—<a<Ot一一L«avO时,

2e2e

g'(x)>0在上恒成立，

g(x)在(-l,+oo)上单调递增,

vg(-l)=e_,>0,.超。)>0在(T,+oo)上恒成立，

八］)>0在L上恒成立，

.•./(X)在(-1,+00)上单调递增，"(0)=0,

.•./(%)在(-1,0),(0,*o)上均无零点，不符合题意.

(b)若g'(-l)vO,则av---,:.a<一-!-时，存在天e(-l,0),使得g'(Xo)=O.

2e2e

.•.g(x)在上单调递减，在(%,+oo)上单调递增.

g(-l)=e1>0,g(O)=l+a,g(l)=e>0.

(i)当g(O)NO,即一14。<一」■时，g(x)>0在(0,y0)上恒成立，

「./'(»>0在(0,-KO)上恒成立,

在(0,-KO)上单调递增.

v/(0)=0,当xe(0,+oo)时，/(x)>0,

.•./(%)在(0,+oo)上无零点，不符合题意.

(ii)当g(0)<0,即av—l时，

存在百«-1,%)，毛£(0,1),使得8(百)=8亿)=0，

.•./3)在(-1,%),(工2,+8)上单调递增，在(公々)上单调递减.

v/(0)=0,.-./(^)>/(0)=0,当x7T时,/(x)<0,

：.fM在(-1,%)上存在一个零点，

即f(x)在(-1,0)上存在一个零点，

,**/(0)=0,当xf+oo时，f(x)>0,

.-./(x)在(和内)上存在一个零点，即/(x)在(0,+oo)上存在一个零点.

综上，〃的取值范围是(YO,-1).

4.答案：(1)当时，/(%)在R上单调递增；当时，/(x)在3a

333\

匕正豆,y］上单调递增，在(匕正互，匕正至］上单调递减

I3)I33

(2)公共点的坐标为(1M+1)和(-1,-a-l).

解析：(1)由题知r(x)=3/_2x+a,A=4-12a.

①当AWO,即aN；时，由于:(外的图象是开口向上的抛物线，故此时/'a)N0,则

/(幻在R上单调递增；

②当△>(),即avg时，令/'(刈=。，解得％=上牛兔，/J+

令r(x)>。，解得xv百或方>“2，令r(x)<o，解得玉

所以/(%)在(-8小)，(“2，+0°)上单调递增，在(和七)上单调递减.

综上，当azg时，/(X)在R上单调递增；当时，/a)在-8,匕手互｝

巨,内］上单调递增，在(匕4三豆,11把三］上单调递减

I3)I33

(2)设曲线y=f(x)过坐标原点的切线为/,切点为(%,片-年+咻+1),

,

f(x0)=3x^-2x0+a,

则切线方程为y-(£—用+再)+1)=(3/—2%+a)(x—飞),

将原点代入切线方程，得24-4-1-0,

所以(七一D(2x；+毛+1)=0,解得%=1,

所以切线方程为y=(a+l)x,

令/一寸+出；+1=(〃+i)x,g|Jxi-x2-x+l=0,

所以(工一1尸.(1+1)=0,解得x=l或x=—l,

所以曲线)，=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标为(l,a+1)和

(-1,-a-l).

2

5.答案：⑴x-y——=0

e

(2)见解析

解析：U)当a=l时，/(x)=x--,可得/(e)=e—

，(x)=l-三詈，故〃e)=L

从而函数/(x)的图象在点P(e,〃e))处的切线方程为y-fe-|j=x-e,

2

即x-y——=0.

•e

、22(c

(2)g(x)=xf(x)-4=ax~-2inx-4,其定义域为(0,+o)),贝ljg<x)=2ox--=—

x

(i)当aKO时，g'(x)<0对于任意的x>0恒成立，故g(x)在(0,+8)上单调递减,

a-4

2

4*AQ=e,则Ov毛<1,g(f)=ar；-2lnx。-4>a-21n/-4=0.

又因为g⑴=。-4<0,所以g(x)在e-,1上有唯一零点.

I

(ii)当a>0时，令g'(x)>0,得x>

在J=,+O0上单调递增,

所以g(K)在上单调递减,

)

故g(X)min=21n>[a-3=Ina—3

①若a>e，且⑶*>。，函数g(x)无零点.

②若a=e3,g(x)min=0，函数g(x)有唯一零点.

③若0<。</,g(x)min<0.

2

令X=e've<—=,有g(.5)=tuf—21nxi-4>一2In%—4=0.

g(x2)=atj-21nx2-4>axj-2x2-4>ax^-4a-2x2-4=(x2+-2)-2]=0.

所以函数屋力在。f-J=,2+-

上各有一零点，从而函数g(x)有两个零点.

kyja)\yjaa

综上可得：当时，函数g(x)没有零点；当。工0或〃=小时，函数g(x)有唯一零点;

当0vave3时，函数g(x)有两个零点.

6.答案：(1))=4

e

(2)见解析

解析：⑴当。=1时,/*)=曳=工

e

贝2⑵—x」1，

ee

因止匕/'(2)=0,

故曲线y=/(x)在点(2J(2))处的切线方程为y=■!•.

e

(2)由题意知方程疣皿-。=0有两个不同的实数根

对于函数y=胧-8-々(a>0),>，'=e"(1-ar),

令y=-(1_的>0,解得彳<。,

令丁*3(1一词<0,解得x>\,

则函数产技"-a在区间,oo[)上单调递增,在区间(%内)上单调递减,

所以'-J〃>0,得/<!.

ae

又当x<0时，疣--a<0,所以方程比R-a=0的两个不同的实数根.9均大于0.

当x>0时，方程xeax-a=0即方程e,nx-at=e,na,

则原问题等价于lnx-ar=lna有两个不同的正实数根.占.

令g(x)=Inx-ar-Ina(x>0),

则g'(x)=，_a(x>0),

x

所以g(K)在上单调递增，在9,+00)上单调递减,

不妨设％<x,,则。<%—.

a

令G(x)=g(x)-g-x),xe(0,3),

22

则G'(x)=---------------2«>--2a=0,

x(2-ax)1

a

0」〕上单调递增,

从而当时,G(x)vO,

因为吃,L+8)上单调递减,

22

所以>---%,即司>一,

*'a"a

则42+*>[±+乜)：>3>2e,

122a2

故原命题得证.

7.答案：(1)y=2x+\

(2)[2,2e2]

解析：(1)当m=1时，/(x)=ex(x+l),r(x)=e«x+2),

所以〃0)=1，/W)=2,

故f(x)在x=0处的切线方程为y-1=2(x-O),即y=2x+l.

(2)令h(x)=/(x)-g(x)=mex(x+1)-x2-4x-2,x>-2»

h\x)-mex(x4-2)-2x-4=(x+2)^nex-2).

若mWO,贝ij—2<0.当xe(-ao,-2)时，h\x)>0；当xe(-2,+co)时，h\x)<0»

所以力(x)在(TO,-2)上单调递增，在(-2,+oo)上单调递减；

2

若帆>0,令〃'(幻=0,解得x=-2,X2=ln—.

tn

当0</"<2e2时，x2>X,,则在(YO,-2),(1II2,+QO)上单调递增，在卜2,ln2)上单

调递减；

当机=2e?时，2=xi，则力(x)在R上单调递增；

当相>2/时，々VX］,则力(4)在(-co,In2),(-2,+<»)上单调递增，在(也2,一2)上单调

递减.

由力(0)20,得7n之2.

2

①若2<m<2c,h(x)在［-2,+<)。)的最小值为h(x2),

而〃)=2X2+2-^2-4巧-2=-^2(x2+2)>0,

所以当xN-2时，人㈤20恒成立.

②若帆=2e?,Ki)在［-2,+oo)单调递增，

而〃(-2)=0,所以当xN-2时，/心:)NO恒成立.

③若m>2e2,则/?(-2)=~/nc~2+2=-e-2(祖一2e2)v0,

所以当X2-2时，/?(x)之0不可能恒成立.

综上所述，〃，的取值范围为［2,2e］.

8.答案：⑴y=2x-2.

⑵取值范围为々NO.

x

解析：⑴当。=-2时，f\x)=2x+2e~t

则八0)=2.

又/(0)=_2,.•.切线/的方程为j+2=2x,即y=2x-2.

(2)①当。之0时，/(x)NKNO显然成立；

②当avO时，当xvO时，e-r>l,

2

/(x)<x+at月./(一/二2)<-。+。=0,不满足题意，舍去.

综上，实数。的取值范围为々20.

9.答案：⑴2x-y-3=0.

⑵取值范围为

4|--x-lnx|

解析：⑴因为/。)=也一/,所以八幻=乂二_2一24=处将一2-

x.V

所以/XD=4(1-lnl)-2=2.

I2

乂/⑴二一1,所以曲线)，=/(%)在点(1J⑴)处的切线方程为)，+1=2比一1),即

2x-y-3=0.

⑵对任意的X£(0,+oo),/(x)«g(x)恒成立，

即对任意的xw(0,+co),41n入_幺4以2+工一*恒成立，

x2

所以当x=l时，—-12<«X12+I-^,所以

122

下面证明当时，对任意的X£(0,+co),如丝一/Wax?+x-3恒成立，

2x2

即证当aN，时，对任意的xe(0,+oo),41nx-x2+*x4(a+l)V恒成立，

22

只需证对任意的4£(0,E)，41nL/+短=*恒成立

2(2J2

3、、59,54(x-l)|9x2+13x+8)

3