高数模拟试题及答案

模拟试卷一

注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题（每题3分，共24分）

1、已知平面乃：x-2y+z-4=0与直线L:二一—=--的位置关系是（）

31-1

（A）垂直（B）平行但直线不在平面上

（C）不平行也不垂直（D）直线在平面上

2、lim/3孙_=（）

-g+i-i

（A）不存在（B）3（C）6（D）oo

k2a2

3、函数z=/（x,y）的两个二阶泥合偏导数二J及!-匚在区域D内连续是这两个二阶混合

oxcyoydx

偏导数在D内相等的（）条件.

（A）必要条件（B）充分条件

（C）充分必要条件（D）非充分且非必要条件

4、设=这里则〃=（）

x2+y2ia

（A）4（B）2（C）1（D）0

5、已知目士绊W必为某函数的全微分，则〃=（）

（尤+»

(A)-1(B)0(C)2(D)1

6、曲线积分£仔？x2+y2+z2=10

),其中L:

z=1

(A)f

(B)T(D)T

7、数项级数E%发散，则级数（%为常数）（)

/1=1H=1

(A)发散(B)可能收敛也可能发散

(C)收敛(D)无界

8、微分方程M，"=y’的通解是()

2

(A)y=C1X+C2(B)y=x+C

1

29

(C)y=C]x+C2(D)y=—x+C

2

二、填空题（每空4分，共20分）

1、设2=6如刈，则成=o

2、交换积分次序：^dx^e-^dy=。

3、设L是任意一条光滑的闭曲线，则，2Mdr+=。

L

4、设哥级数的收敛半径为3,则鬲级数£＞勺（工-1）用的收敛区域为o

n=0n=l

5、若加（%,），）办+用乂），如=0是全微分方程，则函数河、N应满足o

三、计算题（每题8分，共40分）

1、求函数z=ln（x+y2）的一阶和二阶偏导数。

2、计算“xydb,其中。是由抛物线/=不即直线y=x-2所围成的闭区域。

D

3、计算，（2x-y+4）dr+（5y+3x-6"，,其中L为三顶点分别为（0,0）、（3,0）、（3,2）的三角形

L

正向边界。

4、将arctanx展开成x的幕级数。

5、求微分方程（工+〉一1）公+3+47），=0的通解。

四：应用题（16分）

求由旋转抛物面z=x2+y2和平面z=a2所围成的空间区域。的体积。

模拟试卷二

注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。(本卷考试时间100分)

一、单项选择题(每小题2分，共20分)

1.点(4,一3,5)到Ox轴的距离d=().

(A))42+(—3f+52(B)J(-3)2+52(C)^/(-3)2+42(D)"+5?

2.下列方程中所示曲面是单叶旋转双曲面的是().

(A)x2+y2+z2=\(B)x2+j2=4z

/、x~+y~

(I))-----

9

3.二元函数z=Jin°：2+arcsin212的定义域是()•

(A)1<X2+^2<4；(B)1<X2+/<4；

(C)—+(D)1v/+y2<4

4./vU0,y)=().

(A)11m\」+「，儿)一/(%,九)(B)11m,，y。)一/(%，y。)

AXTOAr->oAx

(011z空让小M

m(D)lim一加。㈤

AsOAxAv->0At

5.已知二重积分"办”)，=1,则围成区域D的是().

D

(A)|x|=5，|y|=g(B)x轴，y轴及2x+y-2=0

(0x轴，工=2及)=1(D)|x+y|=l,|x-j|=l

6.设/=jj*2+y2)必由，其中。由+y2=々2所围成，贝|J/=()

D

(A)idO\aa2rdr=7vaA(B)f2^doVr2-rdr=—TZZ/4

JoJoJoJo2

(C)f2^dOT/r^dr=—TUX,(D)[2/rdOfe，a2-adr="ZTICI4

JoJo3JoJo

X=acost,e

7.若L是上半椭圆1,取顺时针方向，则f必—x力的值为().

y=/?sin/,J"

(A)0(B)—ab(C)7zxiih(D)mb

2

8

8.设。为非零常数，则当()时，级数收敛.

n=\r

(A)\r\>\a\(B)|r|>|6t|(0|r|<l(D)|r|>1

8

9.limun=0是级数X〃“收敛的()条件.

…n-1

(A)充分(B)必要(C)充分且必要(D)既非充分又非必要

10.微分方程/+y=0的通解为.

(A)y=cosx+c(B)y=c1cosx+c2

(C)y=q+c2sinx(D)y=cxcosx+c2sinx

二、填空题(每小题3分，共15分)

1.已知平行四边形A8CO的两个顶点4(2,-3,-5),B(—l,3,2)的及它的对角线的交点

£(4,-1,7),则顶点。的坐标为—

2.设2=3；—/一2工，b=7+2j-k,则=

3.设z=arctan—,贝U'4=__

xdxdy

4.若正项级数£〃”的后项与前项之比值的极限等于P，则当______时，级数必收敛.

〃=1

xx2xn

5.基级数—I---1■…H-------------1■…的收敛区间是.

22-42-4…-(In)

三、计算题(每小题10分，共50分)

1.求函数f(x,y)=x3+y3-3(x2+y2)的极值点，并求极值.

2y2

2.计算^xe-dxdyf其中。是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点是三角形区域.

D

3.计算f———\-彳ds,其中「为曲线：x=elcost,y=e'sin3z=el(0</<2).

^x~+y~+z

X3x5x2n-l

4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：X+—+—+--+….

352n-l

5.求微分方程满足已给初始条件的特解：9=/户"川皿二。.

四、应用题与证明题(第1小题13分，第2小题12分，共25分)

1.求球面/+y2+z2=42(4>0)被平面z=(与Z=］所夹部分的面积。

2.证明曲面型=6(相>0)上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数.

模拟试卷三

注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。(本卷考试时间100分)

一、单项选择题(每小题2分，共20分)

TT-»f

1.若a,〃为共线的单位向量，则它们的数量积ab=C).

(A)1(B)-1(C)0(D)cos0,h)

2.设平面方程为&+乙+。=0,且B,C,OwO,则平面().

(A)平行于x轴(B)垂直于x轴(C)平行于y轴〔D)垂直于y轴

(x2+y2)sin—r-!—7，x2+y20

3.设/(x,y)=，+，则在原点(0,0)处/(x,y)().

0,x2+y2=0

(A)不连续(B)偏导数不存在(C)连续但不可微(D)可微

4.二元函数z=3(x+y)-x3__y3的极值点是().

(A)(1,2)(B)(1,-2)(0(1,-1)(D)(-1,-1)

5.设。为/+)，2«1,则01:dxdy=().

Dyji-X2-y2

(A)0(B)n(C)21(D)4万

6.£必£*/(x,y)dy=()

(A)£'dy^f(x9y)dx(B)£dy^'/(x,y)dx

(0£/(x,y)dx(D)y)cbc

7.若L是上半椭圆产="的£，取顺时针方向，则f的值为()

y=bsint,八

(A)0(B)—ab(C)7vcih(D)7cab

2

8.下列级数中，收敛的是().

050054

(oZ(-1尸6尸(D)X弓十三尸

n=\4〃=[43

9.若幕级数的收敛半径为凡：0</?(<4co,箱级数的收敛半径为R?：

〃=0rt=0

。<为<y0,则基级数£(4+2»〃的收敛半径至少为()

71=0

(A)/?!+R2(B)R[•R2(C)max优,&}(D)irin{凡,R2}

10.方程W=+丁+「是()

(A)齐次方程(B)一阶线性方程(C)伯努利方程(D)可分离变量方程

二、填空题(每小题3分，共15分)

—►—

1.平行四边形二边为向量。={1,-3,1},b={2-l3},则其面积5=.

2.通过点(3,0,-1)且与平面3工一7y+5z-12=0平行的平面方程为.

x8z

3.设z=Intan—，则一=_______.

y办

4.曲线工=2一,)，=上4z=/在对应于，=1的点处切线方程为____________

1+//

5.设闭区域。由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在。上具有一阶连续偏导数,

则有jPdx+Qdy：

三、计算题(每小题10分，共50分)

d3z

1.设z=xln(D),求a二2•

dxdy

2.求其中D是由所确定的闭区域.

D

3.计算［(Jr?一),)公一(x+sin?y)dy,其中L是在圆周：y=收上由点(0,0)到点(1,1)

的一段弧.

4.将函数y=(1+%)ln(l+X)展开成X的幕级数，并求展开式成立的区间.

5.求下列微分方程的通解：cos2x^-^=tanx

dx

四、应用题(第1小题13分，第2小题12分，共25分)

1.在平面xoy上求一点液它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最

小.

22

2.求由曲面Z=f+2y2及Z=(f-2x-y所围成的立体的体积.、

模拟试卷四

注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。(本卷考试时间100分)

一、单项选择题(每小题2分，10小题，共20分)

1.向量力=(1,2,—2)在向量5=(6,2,3)上的投影等于()

(A)-(B)-(C)-(D)-

7344

2.曲线14/+99=36绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程是()

z=0

(A)4x2+4y2+9z2=36(B)4x2+9y2+9z2=16

(C)4x2+9y2+4z2=36(D)9x2+9y2+4z2=16

3.已知f(x,y)二匹，则f(l，D的值为()

(A)0(B)1(C)1(D)不存在

2

4.若f(x,y)在(/，为)处可微，则f(x,y)在(%,〉0)处()

(A)连续且偏导数存在(B)连续且偏导数连续

(0连续但偏导数不一定存在(D)不一定连续且偏导数不一定存在

x+yx

5.设人=edxdy,I2=^edxdy,其中区域D):-1<X<1,-2<y<2,

D2:0<x<l,0<y<2,则下列四式中正确的是()

(A)/,>4/2(B)/J=4/2(C)/,<4/2(D)4=2/2

6.设/=0(/+丫2)公办，其中。由/+y2=/所围成，贝MX)

D

(A)dG^a1pdp(B)『d®]："adp

©『dO^fTdp(D)[：呵:02•pdp

7.设L为：x=2,0<y<^则J4ds的值为()

J

(A)4(B)6(C)8(D)12

8.下列级数中，收敛的是()

81001001(D)£(7)”

(A)XT⑻XlrT©X-r

n=l"n=,ynn=l1rr=I

9.察级数的收敛区间为()

W=1V/I

(A)(-1,1)(B)[-1,1](0(-1,1](D)[-1,1)

10.下列方程可分离变量的是()

(A)sin(xy^dx+eydy=0(B)xex+ydx+y2dy=0

(C)(1+x)j)^+y2dy=0(D)(x+y)dx+ex+ydy=0

二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）

1.通过曲线+：+；=16,且母线平行于y轴的柱面方程是_________.

x+z-y=0

2.经过点（1,0,-1）且平行于向量£={2,-1,1}的直线方程是.

1-J-+1

3.lim--------=.

4.将二次积分/（x,y）dy改换积分次序应为.

5.设以“、名乙都是正项级数，且£>“收敛，则当〃=1,2,…，都有时,

n=ln=ln=l

£乙也一定收敛.

n=l

三、设函数Z=①丫求立^

（10分）

dxdy*•=3

四、计算二重积分“（V+yZ—xMb,其中D是由直线丁=1、y=2x及x=2所

D

围成的闭区域.（10分）

五、计算曲线积分，（2y-%3Mx+（3x+2y2）办，其中£是由抛物线y=/和

L

y2=x所围成的区域的正向边界曲线.（10分）

六、.求幕级数的和函数.（10分）

W=1

七、求下列微分方程的通解：（/+2y2）4x-xydy=0.110分）

八、应用题（15分）

求旋转抛物面z=V+V被平面z=。（a>0）所截得的有限部分的面积.

模拟试卷五

注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）

1.忸+可-可充分必要条件是（）

(A)a^b=0(B)ab=0(0(D)a-^<0

2.两平面x-4y+z+5=0与2x-2y-z-3=0的夹角是()

（A）-（B）-（0-(D)-

6342

3,若=则lim/（〃，"与）-/（9-与）二（）

AyfOAy

（A）2（B）1（04⑻0

4.若fx（x0，%）和力（/，右）都存在，则/（苍y）在（%,九）处（)

(A)连续且可微(B)连续但不一定可微

(0可微但不一定连续(D)不一定连续且不一定可微

5.下列不等式正确的是()

(A)JJ(x3+y3)da>0(B)JJ(x2+y2)da>0

，*>,ax2+y2<l

(C)fj(x+y)da>0(D)JJ(x-y)da>0

x2+y2<lx2+y2^\

6.Xf(x,y)dy=()

(A)£Xdy^f(x,y)dx(B)CM

(c)'/(x,y)dx

7.设区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，A为区域D的面积，则（）

(A)A=-fydx-xdy(B)A=-^xdy-ydx

(C)A=—^xdy+ydx(D)A=1xdy-ydx

2LL

8.设£>“是正项级数，前n项和为则数列瓦｝有界是收敛的（）

rt=lhln=l

（A）充分条件（B）必要条件

（0充分必要条件（D）既非充分条件，也非必要条件

9.以下级数中，条件收敛的级数是（）

（A）y（-i）A—（B）£（—1尸鼻

£2〃+10

M=1yin'

（0£（-1严（"（D）£（—1尸:

〃=12n=l\ln

10.下列方程为线性微分方程的是（）

(A)yz=(sinx)y+ex(B)yl=xsiny+ex

(C))/=sinx+e，(D)肛'=cosy+1

二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）

1.曲线卜2+z2-2y-2=°在工”平面上的投影方程是________.

y-z+\=0

2.经过点（2,0,-1）且垂直于直线—=^=—的平面方程

1-14

是.

sin(x2y2)

3.liin

.10-2^-

)T2

4.设区域。是由X轴及半圆周一+/=1（,20）所围成的闭区域，将二重积分

+y2）db化为极坐标形式的二次积分应为.

D

5.设£册、名乙都是正项级数，且〃发散，则当〃=1,2,…，都有时,

Jisln=lnsl

£乙也一定发散.

〃=1

三、设函数z=J,求互Z.（10分）

dxdyx=2

四、计算二重积分其中D是圆环形闭区域{*,y）|14/+y2w4}.

D

（10分）

五、计算，（一一犷）公+（y2一2孙）办，其中L是三个顶点分别为（0,0）、（2,0）

L

和（2,2）的三角形区域的正向边界.（10分）

六、求暴级数£茎的和函数.（10分）

£2〃

七、求下列微分方程的通解：（xcos）-ysin））dx+xsin）dy=O.（10分）

XXX

八、应用题（15分）

计算半球面z=y]a2-x2-y2被围在柱面f+丁=以内的部分曲面的面积.

参考答案（模拟试卷一）

一：单项选择题（每小题3分，共24分）

1、D；2、B；3、B；4、A；5、C；6、C；7、B；8、C.

二、填空题（每空4分，共20分）

smy

1>ecosxy[ydx+xdy）；2、Ve~dyVdx\3、0；4^（一2,4）；5、=^L

JoJ。dydx

三、计算题（每题8分，共40分）

1、解：z；=-^-；z；=2）.；...2分

x+yx+y

Z〃=———.z”=2（x—y~）.””=-2）>......6分

2>

"（x+/）（»/厂Z孙%—

2、解：画出积分区域4分

jjxyda=J：2xydx4分

D

T：M+2）2一丹y=5^

,3分

3、解：如图，因为P（%,y）=2r-y+4,Q（x,y）=5y+3x-6...1分

dP,dQrdQdP

——=-l,—=3,则nt上----=4A

dydxdxdy

由格林公式得：1（2x-y+4）dr+（5y+3x-6）dy

Fdx

4、解：arctanx=2分

'°I+X2

=J；-产心=（T）”办……3分

n=0n=0

82向

=Z（-1），，y—7xw[-1,1]……3分

M2/1+1

5、解：原方程即为（必:+工£仪）+（1-1）拄+"的=0.......2分

即d{xy）+d^x-\f+dey=0……2分

dxy+—（x-1）2+ey=0........2分

原方程的通解为母+g（x-l）2+ey=C……2分

四、应用题（16分）一

解一：用二重积分计算,所求体积可视为圆柱体：/+>2ovzv〃2的体积与以

曲面Z=/+y2为顶、以。”为底的曲顶柱体体积之差，其体积为……8分

V=加2.一JJ（彳2+,2"力

%……8分

=-Tdo[r3dr=-aA

JoJo2

解二：用三重积分计算。利用柱面坐标，有……4分

n・・・12分

答案（模拟试卷二）

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

题号12345678910

答案BCADBBCDBD

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.(9,-5,12)2.5i+j-VIk3.—^；——4.p<15.(-oo,+oo)

(x+y)

三、计算题(每小题10分，共50分)

1.求函数/(x,y)=x3+y3-3(x2+y2)的极值点，并求极值.

22

解：,:fx(x,y)=3x-6x,fy(x,y)=3y-6y

.fxy)=o=o,x2=2

令<，'

fyUy)=03=。，为=2

・••驻点为:(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).........................................4分

又,：fxx=-6,fxy=0,fyy=6y-6.........................................6分

(1)对于驻点(0,0)有A=-6,8=0,C=-6,A=AC-B2=36>0且AvO

.♦・F(0,0)=0为极大值......................7分

(2)对于驻点(0,2)有A=-6,8=0,C=6,A=AC-B2=-36<0

・・・/(0,2)不是极值......................8分

(3)对于驻点(2,0)有A=6,B=0,C=-6,\=AC-B2=-36<0

・・・f(2,0)不是极值......................9分

(4)对于驻点(2,2)有A=6,3=0,C=6,A=AC-3?=36>0且A>0

・・・/(2,2)=-8为极小值......................10分

2.计算[^e^dxdy,其中。是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点是三角形区域.

D

解：jjx2e-dxdy=£[£x2e-v：dx\dy.........................................5分

]

二为二]......................10分

61e)

3.计算——---其中「为曲线：x=e'cosr,y=e'sinr,z=e'(0</<2).

Px+y+z

解：原式二p--------Z------J-------7------「J©cos>)'+("sin/)'+©)'力.....3分

J。(/cos。？+(/sin/)2+(^)2v

4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:

解：V1+x24-x4+---+X2M+•••=--------,|x|<l.....................................3分

\—X

・・.4+《+…+

6分

35

1,1+x/.八

=—In-----(-1<x<1)10分

21—x

5.求微分方程满足已给初始条件的特解:

-：dy=elxe-y

dx

：.eydy=e2xdx....................3分

两边积分得：ey=-e2x+C....................7分

2

又丁yl.v=o=°

C=­....................9分

2

2x

.•.特解为：e>=L(e+\)....................10分

四、应用题与证明题(第1小题13分，第2小题12分，共25分)

1.求球面/+y2+z2=a2（。>0）被平面z=（与Z=，所夹部分的面积。

解：*/z=y/a2—x1—y2fi£）={（x,y）|~^2+y2<—d2}.........2分

・••所求的面积为：S=jjJl+（z：）2+（z；）2dxdy................4分

D

利/,1#dy................8分

D«cr-x--y-

=4J/12dpde................9分

D—p-

4府..............................13分

2.证明曲面肛z=m(m>0)上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数.

解：曲面型=〃z上任一点尸(%,先)处的法向量为：n=(yozotxozo,xoy())...3分

，2(%,打)处的切平面方程为：yozo(x-xo)+xozo(y-yo)+xoyo(z-zo)=O

z

即:上+上+丁=1且有XoNMo=m9分

3x03yo3z0

99

・•・所围立体的体积为：V=-xoyozQ=-fn................12分

22

答案（模拟试卷三）

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

题号12345678910

答案DCDDCCcBDA

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.3J102.3x—ly+5z—4=03.---z-csc—

yy

5・帽-畀力

三、计算题（每小题10分，共50分）

d3z

1.设z=xln（肛），求2.

dxdy

解：*/—=Inxy+1,3分

dx

.d2z_1

6分

dxdyy

**dxdy2

2.求JJe'+Zcr,其中D是由所确定的闭区域.

解：JJex+yda=JJex+ydxdy+jjex+ydxdy....................1分

D百D2

Oe,dy"+［兀*”小心....................7分

=J：-e-1MK+£（e-/I）dx....................9分

10分

3.计算，(工2一),)①:-(x+sin?y)力，其中L是在圆周：y=上由点(0,0)到点(1,1)

的一段弧.

X=COS/+1,,丁\冗

解：设L的参数方程为：，，从直J上2分

y=sinr2

£(x2-y)dx一(x+sin2y)dy

22

=p1(1+cosr)-sin/]•(-sint)-[(1+cos/)+sin(sin/)]•cosr}//6分

=P(sin/+sin2/+sinrcos2r+cos2/_cos/+cos/sin2(sinr)]J/

2

-Zlsin2

+10分

64

4.将函数y=(l+x)ln(l+X)展开成X的幕级数，并求展开式成立的区间.

/X3

解：•.•y=ln(l+x)+l=l+x-L+—+…+(-1)"^—+-1<X<1.......4分

23〃+1

/.y=(l+x)ln(l+x)

炉+2

=x+-———+—+•••+(-l)w

2612(〃+1)(〃+2)

WIV1

=x+Y——xn+,,(-1<X<1)................10分

5+1)

5.求下列微分方程的通解：cos2x^-y=tanx

dx

解：Vy'-sec2x-y=tanx-sec2x

P(x)=-sec2x,Q(x)=tanx-sec2x....................2分

-fP(x)dvr[P(x)dx

..y=eJ[jQ(x)eidx+C]....................3分

22

[secxdxf2-Jsccxdx

=eJ[Itanxsec-xeax+C\

=^tanx[jtanxsec2xlant6tr+C]....................6分

=^,.a-nx[rJtanxe-<anxJtanx+C]

r-tan.r

=-eunv[jtanxJe+C]....................8分

=-e,ant[tanx•e-,anr-Je^dtanx+C]

=y=ce^-tanx-1.....................................10分

四、应用题(第1小题13分，第2小题12分,共25分)

1.在平面xoy上求一点,使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最

小.

解：设所求的点为P(x,y),则依据题意有：

S=d?=/+y2+*+2；16)2,(x£R,y£R).....................................5分

2

S[=2x+—(x+2y-16)=0

•・•・5.....................................9分

4

5；=2y+-(x+2y-16)=0

5

・•・驻点为g,华)......................11分

由此题的实际意义可知，唯一的驻点一定是极小值点，也一定是最小值点。

・•・所求的点为P(*日)......................13分

22

2.求由曲面z=/+2y2及z=6-2x-y所围成的立体的体积.

+22

解：・・・[z=xfo=>Z)={u,y)|x+/<2).....................................2分

z=6-2x-y"

・•・V=j|[(6-2x2-/)-(x2+2y2)]dxdy.....................................6分

D

=jj(6-3x2-3y之)dxdy

D

^(2-x1-y2)d