2024年山东省济南市中考数学试卷(含答案解析版)

2024年山东省济南市中考数学试卷

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）

1.（3分）在实数0,-2,层,3中，最大的是（）

A.0B.-2C.V5D.3

2.（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）

3.（3分）2024年5月5日国产大型客机C919首飞胜利，圆了中国人的〃大飞机梦〃，

它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里.数

字5550用科学记数法表示为（）

A.0.555X104B.5.55X104C.5.55X103D.55.5X103

4.（3分）如图，直线a〃b,直线I与a,b分别相交于A,B两点，AC_LAB交b于

点C,Zl=40°,则N2的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

5.（3分）中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意祥瑞，下列绘出的图案中既是

轴对称图形又是中心对称图形是（）

2

6.（3分）化简。+々的结果是（）

a-ba-b

、a2a-ba+b

A.a2B.------C.------D.-------

a-bbb

7.（3分）关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2,则另一个根是（）

A.-6B.-3C.3D.6

8.（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中

记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：

今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物

价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）

A.

ky—7x=4k/x-y=4

c.

产(y—？7x—=4：D.(伊7x——yy—4

9.（3分）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C,D,E为出口,

小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、

从C,D出口离开的概率是（）

出口

D

瓦入口

C出口

入口出口

1112

A.一B.-C.-D.—

2363

10.（3分）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，ZCAB=60°,若量

出AD=6cm,则圆形螺母的外直径是（）

A.12cmB.24cmC.6V3cmD.12乃cm

11.（3分）将一次函数y=2x的图象向上平移2个单位后，当y>0时，x的取道范围

是（）

A.x>-1B.x>lC.x>-2D.x>2

12.（3分）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比

称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的

高度DE=0.6m,又量的杆底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的坡度为（）

33

-3U-A4

A.4B.5

13.（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,AB=3V2,E为0C上

一点，0E=l,连接BE,过点A作AF1BE于点F,与BD交于点G,则BF的氏是（）

3国「3V53V2

A.-------B.272c.-----D.------

542

2

14.（3分）二次函数y=ax+bx+c（aWO）的图象经过点（-2,0）,（x0,0）,l<x0

<2,与y轴的负半轴相交，且交点在（0,-2）的上方，下列结论：①b>0：②2a

<b；③2a-b-IVO；@2a+c<0.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

15.（3分）如图1,有一正方形广场ABCD,图形中的线段均表示直行道路，皿表示

一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路.如图2,在该厂场的A处有一路灯,

0是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路漫步时，影子长度随行走路途的改变而改变，设

他步行的路程为x（m）时，相应影子的长度为y（m）,依据他步行的路途得到y

与x之间关系的大致图象如图3,则他行走的路途是（）

A.AfB玲E玲GB.A玲EID3cC.AfE玲B玲FD.A玲B3D玲C

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

16.（3分）分解因式：x2-4x+4=.

17.（3分）计-算：|-2-4|+（V3）°=.

18.（3分）在学校的歌咏竞赛中，10名选手的成果如统计图所示，则这10名选手

成果的众数是.

19.（3分）如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300Rcm2,ZBAC=120°,

BD=2AD,贝BD的长度为cm.

k

20.（3分）如图，过点O的直线AB与反比例函数yq的图象交于A,B两点，A（2,

1）,直线BC〃y轴，与反比例函数y二洌（xVO）的图象交于点C,连接AC,则4

X

ABC的面积为.

21.(3分)定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P动身沿纵或横方向到达点Q

(至多拐一次弯)的路径长称为P,Q的“实际距离如图，若P(-l,1),Q(2,

3),则P,Q的〃实际距离〃为5,即PS+SQ=5或PT+TQ=5.环保低碳的共享单车，正

式成为市民出行喜爱的交通工具.设A,B,C三个小区的坐标分别为A(3,1),B

(5,-3),C(-1,-5),若点M表示单车停放点，且满意M到A,B,C的“实际

距离〃相等，则点M的坐标为.

三、解答题(本大题共8小题，共57分)

22.(6分)(1)先化简，再求值：(a+3)2-(a+2)(a+3),其中a=3.

3x-5>2(%-2)①

(2)解不等式组:

y>x—1

23.(4分)如图，在矩形ABCD,AD=AE,DFJ_AE于点F.求证：AB=DF.

D

24.（4分）如图，AB是。0的直径，ZACD=25°,求/BAD的度数.

25.（8分）某小区响应济南市提出的〃建绿透绿〃号召，购买了银杏树和玉兰树共150

棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元.己知玉

兰树的单价是银杏树单价的L5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？

26.（8分）中心电视台的“朗读者〃节目激发了同学们的读书热忱，为了引导学生〃多

读书，读好书〃，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结

果发觉，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并依据调查结果绘制

了不完整的图表，如图所不：

本数（本）频数（人频率

数）

5a0.2

6180.36

714b

880.16

合计C1

（1）统计表中的a=,b=

（2）请将频数分布表直方图补充完整;

（3）求全部被调查学生课外阅读的平均本数；

（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以

上的人数.

27.（9分）如图1,回0ABe的边OC在y轴的正半轴上，OC=3,A（2,1）,反比例

k

函数y=-（x>0）的图象经过的

x

B.

（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；

（2）如图2,直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M,N两点，若点0和点B

关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；

k

（3）如图3,将线段OA延长交y=-（x>0）的图象于点D,过B,D的直线分别交

x

x轴、y轴于E,F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由.

28.（9分）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1,在4ABC和aADE中，ZACB=ZAED=90°,ZCAB=ZEAD=60°,点E,A,C

在同一条直线上，连接BD,点F是BD的中点，连接EF,CF,试推断ACEF的形态并

D

D

说明理由.图2

问题探究:

（1）小婷同学提出解题思路：先探究4CEF的两条边是否相等，如EF=CF,以下是她

的证明过程

证明：延长线段EF交CB的延AZBGF=ZDEF.

长线干点G.

XVZBFG=ZDFE,

是BD的中点,

AABGF^ADEF().

ABF=DF.

.*.EF=FG.

VZACB=ZAED=90°,

ACF=EF=-EG.

2

・・・ED〃CG.

请依据以上证明过程，解答下列两个问题:

①在图1中作出证明中所描述的协助线;

②在证明的括号中填写理由（请在SAS,ASA,AAS,SSS中选择）.

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出NCEF的度数，并推断4CEF

的形态.

问题拓展:

（3）如图2,当AADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE,延长DE交BC的延

长线于点P,其他条件不变，推断4CEF的形态并给出证明.

29.(9分)如图1,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(4,0),(0,6),直线

AD交BC于点D,tanZOAD=2,抛物线Mi：y=ax2-bx(aWO)过A,D两点.

(1)求点D的坐标和抛物线Mi的表达式;

(2)点P是抛物线Mi对称轴上一动点，当NCPA=90。时，求全部符合条件的点P的

坐标;

(3)如图2,点E(0,4),连接AE,将抛物线Mi的图象向下平移m(m>0)个单

位得到抛物线M2.

①设点D平移后的对应点为点"，当点h恰好在直线AE上时，求m的值;

②当iWxWm(m>l)E寸，若抛物线与直线AE有两个交点，求m的取值范围.

2024年山东省济南市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）

1.（3分）（2024•济南）在实数0,-2,V5,3中，最大的是（）

A.0B.-2C.V5D.3

【考点】2A：实数大小比较.

【分析】依据正负数的大小比较，估算无理数的大小进行推断即可.

【解答】解：2<V5<3,

实数0,-2,V5,3中，最大的是3.

故选D.

【点评】本题考查了实数的大小比较，要留意无理数的大小范围.

2.（3分）（2024•济南）如图所示的几何体，它的左视图是（)

匕D.F

【考点】U2：简洁组合体的三视图.

【分析】依据几何体确定出其左视图即可.

【解答】解：依据题意得：儿何体的左视图为:

故选A

【点评】此题考查了简洁组合体的三视图，熬炼了学生的思索实力和对几何体三种

视图的空间想象实力.

3.（3分）（2024•济南）2024年5月5日国产大型客机C919首飞胜利，圆了中国人

的〃大飞机梦〃，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约

5550公里.数字5550用科学记数法表示为（）

A.0.555X104B.5.55X104C.5.55X103D.55.5X103

【考点】II:科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aXlcr的形式，其中n为整数.确

定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动

的位数相同.当原数肯定值＞1时，n是正数；当原数的肯定值VI时，n是负数.

【解答】解:5550=5.55X103,

故选C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXlO。的形式，

其中lW|a|viO,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.（3分）（2024•济南）如图，直线a〃b,直线I与a,b分别相交于A,B两点，AC

J_AB交b于点C,Zl=40°,则N2的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线.

【分析】先依据平行线的性质求出NABC的度数，再依据垂直的定义和余角的哇质求

出N2的度数.

【解答】解：•・•直线a〃b,

/.Z1=ZCBA,

VZ1=4O°,

ZCBA=40°,

VAC1AB,

AZ2+ZCBA=90o,

AZ2=50°,

故选C.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是驾驭两直线平行，同位角相

等.

5.（3分）（2024•济南）中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意祥瑞，下列绘出

的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（)

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形.

【分析】依据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：B是轴对称图形又是中心对称图形，

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形，驾驭好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴

对称图形的关键是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要找寻

对称中心，旋转180度后两部分重合.

2

（2。24•济南）化简?.合的结果是（）

6.(3分)

a2a-ba+b

A.a2B.——C.——D.——

a-bbb

【考点】6A：分式的乘除法.

【分析】先将分子因式分解，再将除法转化为乘法后约分即可.

a(a+b)a-ba+b

【解答】解：原式二

a-babb

故选：D.

【点评】本题主要考查分式的乘除法，娴熟驾驭分式乘除法的运算法则是解题的关

键.

7.（3分）（2024•济南）关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2,则另一个根是（）

A.-6B.-3C.3D.6

【考点】AB：根与系数的关系.

【分析】设方程的另一个根为n,依据两根之和等于-2即可得出关于n的一元一

a

次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设方程的另一个根为n,

贝U有-2+n=-5,

解得：n=-3.

故选C.

hr

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于--、两根之积等于一是解

aa

题的关键.

8.（3分）（2024•济南）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最

高成就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价

各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4

钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为V钱，以下列出的方程组正

确的是（）

A.y一产B.尸二：

（y—7%=4ux-y=4

【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组.

【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，依据题意得到相等关系：①8X人数■物

品价值=3,②物品价值-7X人数=4,据此可列方程组.

【解答】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，依据题意，

可列方程组：｛^:J.

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题

意，设出未知数，找出合适的等量关系.

9.（3分）（2024•济南）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C,

D,E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择

从A入口进入、从C,D出口离开的概率是（）

出口

L■

［入口

C出口

入口出口

1112

A.-B.-C.一D.一

2363

【考点】X6：列表法与树状图法.

【分析】首先依据题意画出树状图，然后由树状图求得全部等可能的结果，可求得

聪聪从入口A进入景区并从C,D出口离开的状况，再利用概率公式求解即可求得答

案.

【解答】解：画树形图如图得:

开始

AB

/N/N

CDECDE

由树形图可知全部可能的结果有6种，

设小红从入口A进入景区并从C,D出口离开的概率是P,

・・•小红从入口A进入景区并从C,D出口离开的有2种状况，

1

P=".

3

故选：B.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不

重复不遗漏的列出全部可能的结果，列表法适合于两步完成的事务，树状图法适合

两步或两步以上完成的事务.留意概率=所求状况数与总状况数之比.

10.（3分）（2024•济南）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，Z

CAB=60°,若量出AD=6cm,则圆形螺母的外直径是（）

A.12cmB.24cmC.6vsemD.12vsem

【考点】MC：切线的性质.

【分析】设圆形螺母的圆心为0,连接OD,OE,OA,如图所示：依据切线的性质得

至IjAO为/DAB的平分线，OD1AC,OD1AC,XZCAB=60°,得至ljNOAE=NOAD;工/

2

DAB=60。，依据三角函数的定义求出OD的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径.

【解答】解：设圆形螺母的圆心为O,与AB切于E,连接OD,OE,0A,如图所示:

VAD,AB分别为圆0的切线,

・・・A0为NDAB的平分线，OD_LAC,OD±AC,又NCAB=6(r,

1

ZOAE=ZOAD=-ZDAB=60°,

2

在Rt^AOD中，ZOAD=60°,AD=6cm,

OD0D「

tanZOAD=tan60°=—,BuP—=x/3»

AD6

.*.OD=6V3cm»

则圆形螺母的直径为12V5cm.

故选D.

【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特别角的

三角函数值，娴熟驾驭性质及定理是解本题的关键.

11.（3分）（2024•济南）将一次函数y=2x的图象向上平移2个单位后，当y>0时,

x的取值范围是（）

A.x>-1B.x>lC.x>-2D.x>2

【考点】F9：一次函数图象与几何变换.

【分析】首先得出平移后解析式，进而求出函数与坐标轴交点，即可得出y>0时，x

的取值范围.

【解答】解：•・•将y=2x的图象向上平移2个单位，

.，・平移后解析式为：y=2x+2,

当y=0时，x=-1,

故y>0,则x的取值范围是：x>-1.

故选A

【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题

关键.

12.（3分）（2024•济南）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与

水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的

D点离地面的高度DE=0.6m,又量的杆底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的坡度为（）

33

A.-B.3C.-D.4

45

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

ADDE

【分析】先过C作CF1AB于F,依据DE〃CF,可得力=），进而得出CF=3,依据

ACCF

勾股定理可得AF的长，依据CF和BF的长可得石坝的坡度.

【解答】解：如图，过C作CFJ_AB于F,则DE〃CF,

ADDEr106

J—=—,即一二一，

ACCF5CF

解得CF=3,

RtAACF中,AF=j52-32=4,

又・.・AB=3,

BF=4-3=1,

CF3

・,•石坝的坡度为《=3,

BF1

故选：B.

【点评】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一•般通过作高构成

直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高

度都是直角边，实质也是解直角三角形问题.

13.（3分）（2024•济南）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,AB=3V2,

E为OC上一点，OE=1,连接BE,过点A作AF_LBE于点F,与BD交于点G,则BF

的长是（）

3V10「3A/53yfz

A.--------B.2x^2C.------D.-------

542

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质.

【分析】依据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO@Z\EBO,得到

OG=OE=1,证明△BFGsABOE,依据相像三角形的性质计算即可.

【解答】解：:四边形ABCD是正方形，AB-3V2,

AZAOB=90°,AO=BO=CO=3,

VAF1BE,

・・・NEBO=NGAO,

在^GAO和△EBO中,

(Z.GAO=乙EBO

AO=BO，

Z.AOG=乙BOE

.,.△GAO^AEBO,

AOG=OE=1,

/.BG=2,

在RMBOE中，BEKOS'4-OE2=V10,

VZBFG=ZBOE=90°,ZGBF=ZEBO,

.,.△BFG^ABOE,

BFBGBF2

:--，即

OBBE3一月'

3V10

解得,BF=--------,

5

故选:A.

【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相像三角形的

判定和性质，驾驭相关的判定定理和性质定理是解题的关键.

14.（3分）（2024•济南）二次函数y=ax2+bx+c（a#0）的图象经过点（-2,0）,（xo»

0）,l<x0<2,与y轴的负半轴相交，且交点在（0,-2）的上方，下列结论：①b

>0；②2aVb；③2a-b-lV0；④2a+cV0.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【分析】①由图象开口向上知a>0,由y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x「

0）,且1VX1V2,则该弛物线的对称轴为x=-二二一2：皿>-I即-<i,于是得

2a22a

到b>0：故①正确；②由x=-2时，4a-2b+c=0得2a-b=-9，而-2Vc>0,解不

2

等式即可得到2a>b,所以②正确.③由②知2a-bV0,于是得到2a-b-1<0,故

③正确；④把（-2,0）代入y=ax2+bx+c得：4a-2b+c=0,即2b=4a+c>0（因为b

>0）,等量代换得到2a+cV0,故④正确.

【解答】解：如图：

①由图象开口向上知a>0,

由y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（xi，0）,且1VXIV2,

则该抛物线的对称轴为x=-=--；，即-<1»

2a22a

由a>0,两边都乘以a得：b>a,

b

Va>0,对称轴x=-----<0,

2a

/.b>0；故①正确；

②由x=-2时，4a・2b+c=0得2a-b=・，，而・2VcV0,・・.2a-b>0,所以②错误.

③:2a-b<0,

A2a-b-l<0,故③正确；

④:把（-2,0）代入y=ax2+bx+c得：4a-2b+c=0.

・,•即2b=4a+c>0（因为b>0）,

・・•当x=l时，a+b+cVO,

/.2a+2b+2c<0,

/.6a+3c<0,

即2a+cV0,，④正确；

故选D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生依据图形进夕亍推理

和辨析的实力，用了数形结合思想，题目比较好，但是难度偏大.

15.（3分）（2024•济南）如图1,有一正方形广场ABCD,图形中的线段均表示直行

道路，劭表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路.如图2,在该广场的A

处有一路灯，。是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路漫步时，影子长度随行走路途的改

变而改变，设他步行的路程为x（m）01,相应影子的长度为y（m）,依据池步行

的路途得到y与x之间关系的大致图象如图3,则他行走的路途是（）

到■3

A.AfB玲E玲GB.A3E玲D3CC.AfE玲B玲FD.A玲B-D玲C

【考点】E7：动点问题的函数图象.

【分析】依据函数图象的中间一部分为水平方向的线段，可知沿着弧形道路步行，

依据函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对

应的X的范围，即可得出第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD,第三

段函数图象时应的路径为BC或DC.

【解答】解：依据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段，

故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，

因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对

应的x的范围，

故中间一段图象对应的路径为协，

又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，

所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD,第三段函数图象对应的路

径为BC或DC,

故行走的路途是A—B玲D3c（或A玲D玲B玲C）,

故选：D.

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时留意：在点光源的照耀下，

在不同位置，物体高度与影长不成比例.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

16.（3分）（2024•济南）分解因式：x2-4x+4=（x-2）2.

【考点】54：因式分解-运用公式法.

【分析】干脆用完全平方公式分解即可.

【解答】解：x2-4x+4=（x-2）2.

【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式.完全平方公式：（a-b）

2ab+b2.

17.（3分）（2024•济南）计算：|-2-4|+（V3）°=7.

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数暴.

【分析】干脆利用肯定值的性质结合零指数室的性质计算得出答案.

【解答】解：|-2-4|+（V3）°=6+l=7.

故答案为：7.

【点评】此题主要考查了实数运算以及零指数基的性质，正确化简各数是解题关键.

18.（3分）（2024•济南）在学校的歌咏竞赛中，10名选手的成果如统计图所示，则

这10名选手成果的众数是3.

【分析】依据众数的定义和给HI的数据可干脆得出答案.

【解答】解：依据折线统计图可得：

90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；

故答案为：90.

【点评】此题考查了众数，驾驭一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众

数是本题的关键.

19.（3分）（2024•济南）如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300ncm2,

ZBAC=120°,BD=2AD,则BD的长度为20cm.

【考点】MO：扇形面积的计算.

誓警，解方程即可.

【分析】设AD=X,则AB=3x.由题意300n=

360

【解答】解：设AD-x,则AB-3x.

2

…产生120-7T-(3X)

由题意300兀=-----------

360

解得x=10,

BD=2x=20cm.

故答案为20.

【点评】本题考查扇形的面积公式、解题的关键是理解题意，学会利用参数沟建方

程解决问题，属于中考常考题型.

k

20.（3分）（2024•济南）如图，过点O的直线AB与反比例函数v=^的图象交于A,

—3k

B两点，A（2,1）,直线BC〃y轴，与反比例函数户一（x<0）的图象交于点C,

X

连接AC,则aABC的面积为

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】由A(2,1)求得两个反比例函数分别为y=2尸二，与AB的解析式尸;x,

XXN

解方程组求得B的坐标，进而求得C点的纵坐标，即可求得BC,依据三角形的面积

公式即可求得结论.

【解答】解：:A(2,1)在反比例函数的图象上，

2-6

.,•两个反比例函数分别为

k=2X1=2,y=—?

设AB的解析式为y=kx,把A(2,1)代入得，k=|,

1

7

1

yX2<2

-X-X2--

得

y方=

程2-I-

2y1_y-1

yk2

X-

BI

•・・BC〃y轴，

，C点的横坐标为-2,

・・・C点的纵坐标为三=3,

-2

BC=3-(-1)=4,

.'.△ABC的面积为4X4=8,

故答案为：8.

【点评】本题主要考查了反比例函数于一次函数的交点问题，三角形的面积，正确

的理解题意是解题的关键.

21.（3分）（2024•济南）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P动身沿纵或横

方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P,Q的“实际距离〃.如图，若P（-1,

1）,Q（2,3）,则P,Q的“实际距离〃为5,即PS+SQ=5或PT+TQ=5.环保低碳的共

享单车，正式成为市民出行喜爱的交通工具.设A,B,C三个小区的坐标分别为A

（3,1）,B（5,-3）,C（-1,-5）,若点M表示单车停放点，且满意M到A,B,

C的〃实际距离〃相等，则点M的坐标为（1,-2）.

【考点】D3：坐标确定位置.

【分析】干脆利用实际距离的定义，结合A,B,C点的坐标，进而得出答案.

【解答】解：由题意可得：M到A,B,C的〃实际距离〃相等，则点M的坐标为（1,

-2）,此时M到A,B,C的实际距离都为5.

故答案为：（1,-2）.

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关铤.

二、解答题(本大题共8小题，共57分)

22.(6分)(2024•济南)(1)先化简，再求值：(a+3)2-(a+2)(a+3),其中a=3.

3x-5>2(%-2)①

(2)解不等式组：｛%:X

2>x-1⑷

【考点】4J：整式的混合运算一化简求值；CB：解一元一次不等式组.

【分析】(1)依据完全平方公式和多项式乘多项式可以解答本题；

(2)依据解不等式组的方法可以解答本题.

【解答】解:(1)(a+3)2-(a+2)(a+3)

=a2+6a+9-a2-5a-6

=a+3,

当a=3时,原式=3+3=6；

3%-5>2(x-2)①

CM/一②

由不等式①，得

x21,

由不等式②，得

x<2

故原不等式组的解集是lWx<2.

【点评工本题考查整式的混合运算-化简求值、解一元一次不等式组，解答本题的

关键是明确它们各自的计算方法.

23.（4分）（2024•济南）如图，在矩形ABCD,AD=AE,DF1AE于点F.求证：AB=DF.

【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质.

【分析】利用矩形和直角三角形的性质得到NAEB=NEAD、ZAFD=ZB,从而证得两

个三角形全等，可得结论.

【解答】证明：•・•四边形ABCD是矩形,

・・・AD〃BC,ZB=90°,

ZAEB=ZDAE,

VDF1AE,

・・・ZAFD=ZB=90°,

在4ABE和4DFA中

乙AEB=Z.DAE

Z.AFD=LB

(40=AE

.,.△ABE^ADFA,

AAB=DF.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的学问，属于基础题,

难度不是很大，娴熟驾驭全等三角形的判定与性质是关键.

24.（4分）（2024•济南；如图，AB是。0的直径，ZACD=25°,求NBAD的度数.

【考点】M5：圆周角定理.

【分析】依据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD,再依据同弧所对的

圆周角相等，求得NB的度数，即可求得NBAD的度数.

【解答】解：:AB为。。直径

/.ZADB=90°

・・,相同的弧所对应的圆周角相等，且NACD=25°

ZB=25°

ZBAD=90°-ZB=65°.

【点评】考查了圆周角定理的推论.利用直径所对的圆周角是直角是解题关铤.

25.（8分）（2024•济南）某小区响应济南市提出的〃建绿透绿〃号召，购买了银杏树

和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了

9000元.已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各

是多少？

【考点】B7：分式方程的应用.

【分析】依据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题.

【解答】解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，

120009000

--------+-------=150,

x1.5%

解得，x=120,

经检验x=120是原分式方程的解，

A1.5x=180,

答：银杏树和玉兰树的单价各是120元、180元.

【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式

方程，留意分式方程要阅历

26.（8分）（2024•济南）中心电视台的〃朗读者〃节目激发了同学们的读书热忱，为

了引导学生〃多读书，读好书〃，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查,

整理调查结果发觉，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并依据调

查结果绘制了不完整的图表，如图所示：

本数（本）频数（人数）频率

5a0.2

6180.36

714b

880.16

合计c1

（1）统计表中的a=10,b=0.28,c=50；

（2）请将频数分布表直方图补充完整；

（3）求全部被调查学生课外阅读的平均本数；

（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以

上的人数.

【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布

表.

【分析】（1）依据百分比，而计算即可;

（2）求出a组人数，画出直方图即可；

（3）依据平均数的定义计算即可；

（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可;

【解答】解：（1）由题意c=18+0.36=50,

14

.,.a=50X0.2=10,b=—=0.28,

50

故答案为10,0.28,50.

(2)频数分布表直方图如图所示.

10X5+18X6+14X7+8X8

（3）全部被调查学生课外阅读的平均本数==6.4（本）

50

(4)该校八年级共有1200名学生，该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数有

14+8,

1200X----=528（名）.

50

【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等学问，解题的关

键是娴熟驾驭基本概念，敏捷运用所学学问解决问题，属于中考常考题型.

27.(9分)(2024•济南)如图1,团OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3,A(2,

k

1),反比例函数y=-(x>0)的图象经过的

x

（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；

（2）如图2,直线MN分别与x轴、v轴的正半轴交于M,N两点，若点0和点B

关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；

lz

（3）如图3,将线段0A延长交y二一（x>0）的图象于点D,过B,D的直线分别交

x

x轴、y轴于E,F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由.

【考点】GB：反比例函数综合题.

【分析】（1）利用平行四边形的性质求出点B的坐标即可解决问题；

（2）依据两直线垂直的条件，求出直线MN的解析式即可解决问题；

（3）结论：BF=DE.如图3中，延长BA交x轴于N,作DMJ_x轴于M,作NK〃EF

kk

交y轴于K.设ON=n,OM=m,ME=a.贝BN=-,DM=—.|41AEDM^AEBN,推出

nm

k

EMDMa~

—=—,即------=%可得a=m,由△KNOgZWEM,推出DE二KN,再证明四边

ENBNm+a-n上

n

形NKFB是平行四边形，即可解决问题；

【解答】解：（1）如图1中,

・・•四边形OABC是平行四边形,

.\AB=0C=3,

VA(2,1),

AB(2,4),

k

把B(2,4)代入y二一中，得到k=8,

X

o

・••反比例函数的解析式为y=「

x

(2)如图2中，设K是0B的中点，则K(1,2).

・・•直线0B的解析式为y=2x,

15

：.直线MN的解析式为y=--x+-,

乙乙

5

AN(0,-),

2

5

AON=-.

2

(3)结论:BF=DE.理由如下:

如图3中，延长BA交x轴于N,作DMJ_x轴于M,作NK〃EF交y轴于K.设ON=n,

kk

0M=m,ME=a.则BN=-,DM=—.

nm

VAEDM^AEBN,

.EMDM

JEN-BN'

k

E—m

,可得a=m,

*m+a-n-

n

・・・NK〃EF,

AZKNO=ZDEM,ZKON=ZDME=90<>,ON=EM,

.,.△KNO^ADEM,

ADE=KN,

VFK/7BN,NK〃FB,

・・・四边形NKFB是平行四边形,

ANK=BF,

ABF=DE.

【点评】本题考查一次函数，反比例函数、平行四边形，全等三角形，相像三角形

等几何学问结合在一起，综合性比较强，要求学生有较强的分析问题好解决问题的

实力.

28.（9分）（2024•济南；某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题:

如图1,在aABC和4ADE中，ZACB=ZAED=90°,ZCAB=ZEAD=60°,点E,A,C

在同一条直线上，连接BD,点F是BD的中点，连接EF,CF,试推断4CEF的形态并

说明理由.图2

问题探究:

（1）小婷同学提出解题思路：先探究4CEF的两条边是否相等，如EF=CF,以下是她

的证明过程

证明：延长线段EF交CB的AZBGF=ZDEF.

延长线于点G.

X'.'ZBFG=ZDFE,

1,F是BD的中点,

.,.△BGF^ADEF(ASA).

/.BF=DF.

AEF=FG.

VZACB=ZAED=90°,

1

ACF=EF=-EG.

2

・・・ED〃CG.

请依据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1中作出证明中所描述的协助线；

②在证明的括号中填写理由（请在SAS,ASA,AAS?SSS中选择）.

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出NCEF的度数，并推断4CEF

的形态.

问题拓展:

(3)如图2,当4ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE,延长DE交BC的延

长线于点P，其他条件不变，推断aCEF的形态并绐出证明.

【考点】RB：几何变换综合题.

【分析】(1)①由证明过程即可作出图形；

②依据推断三角形全等的方法即可得出结论；

(2)先推断出EH二DE,进而推断出四边形BGEH是平行四边形，得出N