湖北省十堰市茅箭区2024年中考数学一模试卷（含答案）

湖北省十堰市茅箭区2024年中考数学一模试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（共10题，每小题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．12 D．-2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正方形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．平行四边形3．下列各式计算正确的是（）A．22﹣32＝2 B．|3﹣1.7|＝1.7﹣3C．49＝±23 D．4．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12A．大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次B．连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上C．连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上D．通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的5．如图，是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB=（）A．90° B．75° C．100° D．60°6．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（）A．22° B．32° C．34° D．44°7．如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=（）A．45° B．60° C．110° D．135°8．方程2x＝1A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝49．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．已知二次函数y＝﹣x2+2cx+c的图象经过点A（a，c），B（b，c），且满足0＜a+b＜2．当﹣1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（）A．n＝﹣3m﹣4 B．m＝﹣3n﹣4 C．n＝m2+m D．m＝n2+n二、填空题（共5题，每小题3分，共15分）11．分解因式：x2y﹣y3=．12．一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，写出一个符合条件的y的值为．13．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为．14．如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是．15．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，将△ADE沿AE翻折至△AD'E，延长ED'，交BC于点F．若AB＝15，DE＝10，则tan∠EFC的值是．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．计算：3−817．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．连结BF．求证：四边形ADBF是矩形．18．某工厂计划购买甲、乙两种型号机器人，让它们协助人们进行垃圾分类．已知用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元，求甲、乙型号机器人的单价．19．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表（单位：分）：七年级八年级平均数7.557.55中位数8c众数a7合格率b85%学成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）写出统计表中a，b，c的值；（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；（3）从平均数、中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．20．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝8，BC（1）若OA＝8，求k的值：（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．21．如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若tan∠BED=2322．某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元，根据以往销售经验发现；当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元，如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？23．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．（1）理解：①若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；

证明：②如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；（2）探究：如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．24．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．【解答】-2的相反数是2，

故选：A．【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．2．【答案】A【解析】【解答】解：A，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项A正确；B，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B错误；C，等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C错误；D，平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故选项D错误；．故答案为：A．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义，逐项判断即可．3．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵22B、∵|3C、∵49D、3−1故答案为：D．【分析】A．根据实数减法的运算法则，即可判断；B．根据绝对值的非负性，即可判断；C．根据算术平方根求法，即可判断；D．根据立方根的求法，即可判断．4．【答案】C【解析】【解答】解：A.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故选项A不符合题意；B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故选项B不符合题意；C.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故选项C符合题意；D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为12故答案为：C．【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，逐项判断即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：

由题可知：∠DBC=45°，∠A=60°，∠ABC=90°，

∴∠ABE=90°-45°=45°，

∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-60°-45°=75°.

故答案为：B.

【分析】根据一副三角板的度数有30°，45°，60°，90°，可知∠DBC=45°，∠A=60°，∠ABC=90°，进而得到∠ABE=45°，再利用三角形的内角和定理即可求解.6．【答案】C【解析】【解答】解：连接OE，∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC=22°，∴∠COB=180°-∠CBO-∠OCB=136°，∵E是劣弧BC的中点，∴∠COE=1∴∠CDE=1故选C．【分析】连接OE，由等腰三角形的性质可得∠OCB=∠ABC=22°，根据三角形内角和得∠COB=136°，然后可得∠COE=68°，进而根据圆周角定理可求解．7．【答案】A【解析】【解答】解：∵其轮廓是一个正八边形，

∴∠1=360°8=45°，

8．【答案】A【解析】【解答】解：去分母得2(x+1)=x，解方程得x=−2，经检验得：x=−2是原方程的解，故答案为：A．【分析】去分母，把分式方程转化为整式方程求解并检验，即可得解.9．【答案】A【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=∴b2故答案为：A.【分析】由一元二次方程根的情况可得b2−4c=0，再代入式子b2﹣2（1+210．【答案】D【解析】【解答】解∶∵二次函数y=−x2+2cx+c∴图象开口向下，对称轴为直线x=a+b∵0<a+b<2，∴0<c<1，∴当−1≤x≤1时，x=c时，函数值最大为：m=−c2+2c2+c=∴m=故答案为：D．【分析】由二次函数y=−x2+2cx+c的图象经过点A(a,c),B(b,c)两点，得出对称轴为直线11．【答案】y（x+y）（x﹣y）【解析】解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．12．【答案】﹣3（答案不唯一）．【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx−1的函数值y随x的增大而减小，∴k<0，∴当k=−1，x=2时，y=−2−1=−3，故答案为：−3（答案不唯一）．【分析】根据增减性可得k<0，可令k=−1，再求出当x=2时，对应的函数值即可．13．【答案】5x+45=7x+3【解析】【解答】解：设合伙人数为x人，由题意得5x+45=7x+3，

故答案为：5x+45=7x+3

【分析】设合伙人数为x人，根据“每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱”即可列出方程，进而即可求解。14．【答案】3【解析】【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）=34；故答案为34．15．【答案】512【解析】【解答】解：连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABF=∠ADC=∠C=90°，由折叠的性质可得AD=AD'，∠A∴AD又∵AF=AF，∴△AFB≌△AFD∴BF=FD设BF=FD'=x由勾股定理得：(x+10)2解得：x=3，FC=15-x=12，在Rt△ECF中，tan∠EFC=故答案为：512【分析】连接AF，证明△AFB≌△AFD'(HL)，得到BF=FD'，设BF=F16．【答案】解：3＝﹣2+4﹣1+2＝3．【解析】【分析】先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减法，即可求解．17．【答案】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∠AFE＝∠DCE∠AEF＝∠DEC∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，又∵D是BC的中点，∴AF＝BD＝DC，∴四边形ADBF是平行四边形，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形ADBF是矩形．【解析】【分析】由题意先证明△EAF≌△EDC(AAS)，得到AF=CD，再证明BD=AF，即可证明四边形ADBF是平行四边形，然后根据等腰三角形的性质得到AD⊥BD，由此即可证明四边形ADBF是矩形．18．【答案】解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：360x解得：x＝60，经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，140﹣60＝80（元），答：甲型机器人的单价为60万元/台；乙型机器人的单价为80万元/台．【解析】【分析】设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程：360x19．【答案】（1）解：由扇形统计图可得，a＝8，b＝1﹣20%＝80%，由频数分布直方图可得，八年级成绩中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有3人，故中位数是c＝（7+8）÷2＝7.5，综上所述：a＝8，b＝80%，c＝7.5；（2）解：600×85%＝510（人），答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人；（3）解：根据中位数可知七年级学生成绩好于八年级学生成绩．【解析】【分析】（1）由扇形统计图可得，a=8，b=80%，由频数分布直方图可得c=7（2）利用样本估计总体，用总数×八年级的合格率，即可得解；（3）根据中位数可知七年级学生成绩好于八年级学生成绩.20．【答案】（1）解：作CE⊥AB，垂足为E，∵AC＝BC，AB＝8，∴AE＝BE＝4．在Rt△BCE中，BC＝5，BE＝4，∴CE＝BC2−BE∵OA＝8，∴C点的坐标为：（5，4），∵反比例函数y＝kx∴k＝5×4＝20，（2）解：设A点的坐标为（m，0），∵BD＝BC＝5，AB＝8，∴AD＝3，∴D，C两点的坐标分别为：（m，3），（m﹣3，4）．∵点C，D都在反比例函数y＝kx∴3m＝4（m﹣3），∴m＝12，∴C点的坐标为：（9，4），∴OC＝92+4【解析】【分析】（1）作CE⊥AB，垂足为E，利用等腰三角形的性质得AE＝BE＝4，再利用勾股定理得出

CE=3，得出C点坐标，即可得到答案；（2）设A点的坐标为（m，0），首先表示出D，C两点的坐标（m，3），（m﹣3，4），然后利用反比例函数图象点的坐标特征出C点坐标，然后利用勾股定理可求得OC的长．21．【答案】（1）证明：连接OD，如图∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDO+∠ADO=90°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠BAD，∵∠BDC=∠BAD，∴∠ADO=∠BDC，∴∠BDO+∠BDC=∠BDO+∠ADO=90°，∴∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线.（2）解：∵∠BAD=∠BED，∴tan∠BED=∵△ABD是直角三角形，∴tan∠BAD=∵∠BAD=∠BDC，∠C=∠C，∴△ACD∽△DCB，∴CDAC∵AC=9，∴CD9∴CD=6，在直角△CDO中，设⊙O的半径为OA=OD=x，则OC∴(9−x解得：x=5∴⊙O的半径为52【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ADO=∠BAD，结合∠BDC=∠BAD得∠ADO=∠BDC，结合∠BDO+∠ADO=90°可得∠CDO=90°，据此证明；

（2）由圆周角定理可得∠BAD=∠BED，根据三角函数的概念可得tan∠BAD的值，易证△ACD∽△DCB，根据相似三角形的性质可得CD，设OA=OD=x，根据勾股定理可得x，据此解答.22．【答案】（1）解：根据题意，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；（2）解：每天销售的利润P＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，∴当x＝35时，P取得最大值，最大值为2250，答：当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元；（3）解：根据题意得，﹣10（x﹣35）2+2250＝2000，解得：x＝30或x＝40，∴当30≤x≤40时，每天的销售利润不低于2000元，又∵x≤38，∴30≤x≤38，在y＝﹣10x+500中，y随x的增大而减小，∴当x＝38时，y最小值＝﹣10×38+500＝120，即超市每天至少销售元宵120盒．【解析】【分析】（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，列出函数关系式即可得解；（2）根据总利润等于每盒的利润乘以销量，列出二次函数关系式P＝x﹣20（3）由题意，P≥2000，求出x的取值范围，结合25≤x≤38，得到30≤x≤38，再根据一次函数的性质，求解即可．23．【答案】（1）解：①90°或270°②证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（2）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：

∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．【解析】【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是对余四边形，当∠A和∠C互余时，∠A+∠C=90°，当∠B与∠D互余时，∠B+∠D=90°，则∠A+∠C=360°-90°=270°，故答案为：90°或270°；【分析】（1）①分当∠A和∠C互余时，当∠B和∠D互余时，分别求解即可；②MN是⊙O的直径，利用圆周角定理得∠BAM+∠BCN＝90°，即可得解；（2）线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，证明△BFD是等边三角形，然后求出∠FAD＝90°，由勾股定理可得AD2+AF2＝DF2，即可得AD2+CD2＝BD2．24．【答案】（1）解：直线y＝﹣x+5经过点B，C，∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．∴5＝a∙0解得a＝1c＝5∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）解：△APC为直角三角形，理由如下：∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．∴A（1，0），B（5，0）．∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴直线l为