湖南省长沙市长郡教育集团2024年中考一模数学试题（含答案）

湖南省长沙市长郡教育集团2024年中考一模数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．−2023的倒数是（）A．12023 B．−12023 C．20232．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（）A．1.5×105 B．0.15×13．计算2ba−bA．2 B．−2 C．0 D．2b−2a4．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，66．为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）A．此次调查属于全面调查 B．样本容量是300C．2000名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体7．如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE=3，AB=6，A．6 B．9 C．12 D．188．如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b,∠1=55°，则A．35° B．45° C．55° D．25°9．关于一次函数y=−2x+4，下列说法不正确的是（）A．图象不经过第三象限 B．y随着x的增大而减小C．图象与x轴交于(−2，0) D．图象与y10．A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，则进入前三强的三个人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：x3−4x12．不等式组x−1<x+322x+1≥013．已知m是−1，0，1，2，3中的一个数，则关于x的方程x2−x+m=0有解的概率为14．如图，点A在反比例函数y=−3x的图象上，AB⊥x轴，已知点B，C关于原点对称，则△ABC的面积为15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=30°，AB=12cm，则⊙O的半径为cm．16．若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为．（结果保留π）三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．计算：|1−218．先化简，再求值：(a−b)2+(a+b)(a−b)−2a(a−2b)，其中19．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌CD的高度，从与大厦BC相距30m的A处观测广告牌顶部D的仰角∠BAD=30°，观测广告牌底部C的仰角∠BAC=27°，如图所示．（参考数据：sin27°≈0（1）求大厦BC的高度；（结果精确到0.1m）（2）求广告牌CD的高度．（结果取整数）20．打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为▲名，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是；（3）若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数；（4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C两类书籍中随机选择一种请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．21．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，AC⊥CE，DE⊥BD，BC=DE．（1）求证：△ABC≌△CDE；（2）已知AB=2，DE=4，求△ACE的面积．22．为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．（1）求A，B两种文具的单价；（2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元，则年级组至少购买B种文具多少件？23．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB=2，∠AFB=60°，求CF的长．24．在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y=3x−1与y=−x+3有且只有一个交点(1,2)，则称这两个函数为“亲密函数”，点（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在横线上记“√”，不是“亲密函数”的在横线上记“×”；①y=2x−1与y=−x+2；②y=1x与③y=x2−x+1（2）一次函数y=kx+b与反比例函数y=−kx（其中k，b为常数，k>0)，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求（3）两条直线l1与l2都是二次函数y=x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，∠DMC=∠DAB．（1）求证：AB=BC．（2）当k≥1时，记DMAB=k，记①当k=3②求t的最大值．（3）当AD为直径时，连接OB交AC于点E，满足以下条件：①S△BCM=3；②S△BEM=2m−n；③

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：−2023的倒数是-故答案为：B.

【分析】根据倒数的意义即可求得答案。2．【答案】C【解析】【解答】解：150万=1.故答案为：C.

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：2ba−b−2aa−b=4．【答案】D【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、是轴对称图形，故D符合题意．故答案为：D.

【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。5．【答案】D【解析】【解答】解：A：2+4<7，不符合题意；

B：3+3=6，不符合题意；

C：5+2<8，不符合题意；

D：4+5>6，符合题意；

故答案为：D

【分析】根据三角形的三边关系即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】A、此次调查属于抽样调查，∴A不符合题意；

B、样本容量是300，∴B符合题意；

C、2000名学生的视力情况是总体，∴C不符合题意；

D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，∴D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据样本容量、抽样调查、总体和个体的定义判断求解即可。7．【答案】B【解析】【解答】解：由作图可知：AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AB于点D，

∵∠C=90°，

∴ED=EC=3，

∴△AEB的面积为：12×AB×ED=故答案为：B.

【分析】首先根据作图过程可得出AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AB于点D，再根据角平分线的性质得出ED=EC=3，最后根据三角形的面积计算公式求得△AEB的面积即可。8．【答案】A【解析】【解答】解：

∵a∥b,∠1=55°，

∴∠3=∠1=55°，

∴故答案为：A.

【分析】首先根据平行线的性质得出∠3=∠1=55°，进一步得出∠2=35°，即可得出答案。9．【答案】C【解析】【解答】解：∵k=-2<0，b=4>0，

∴图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故A选项正确；

∵k=-2<0，

∴函数值y随x的增大而减小，故B选项正确；

∵当x=2时，y=0，

∴图象与x轴交于点（2，0），故C选项不正确；

令y=0，解得y=4，

∴图象与y轴交于点（0，4），故D选项正确。

故答案为：C.

【分析】根据一次函数的图象和性质逐项分析即可得出答案。10．【答案】C【解析】【解答】解：假设A进入前三强，则B，D，E也要进入，所以不符合题意；假设B进入前三强，则D，E也要进入，没有此选项；假设D进入前三强，则E也进入，所以只有C，D，E进入前三强。故答案为：C.

【分析】在假设的前提条件下，通过逻辑分析即可得出答案。11．【答案】x(x+2)(x-2)【解析】【解答】解：原式=x（x2-4）=x(x+2)(x-2)。

故答案为：x(x+2)(x-2)。

【分析】首先提出公因式x，括号内的式子利用公式法，利用平方差公式进行因式分解。12．【答案】−【解析】【解答】解：不等式组x−1<x+32①2x+1≥0②，由①得：x＜5，由∴不等式组的解集为：-12≤x＜5.

【分析】解不等式组，求得不等式组的解集即可。13．【答案】2【解析】【解答】解：根的判别式为：1-4m当关于x的方程x2−x+m=0有解时1-4m≥0，

∴m≤14，

∴当m=-1，0时，关于x的方程x2−x+m=0有解，

∴关于x的方程x2

【分析】首先根据根的判别式求得当方程有解时m的取值范围，从而得出当m=-1，0时，关于x的方程x2−x+m=0有解，进而求得关于x的方程14．【答案】3【解析】【解答】解：∵点A在反比例函数y=−3x的图象上，

∴△AOB的面积为：32，

∵点B，C关于原点对称，

∴OB=OC，

∴△ABC故答案为：3.【分析】根据反比例函数中K的几何意义，可得出△AOB的面积为：32，再根据点B，C关于原点对称，可得出△ABC的面积为：315．【答案】4【解析】【解答】解：

连接AD，

∵弦AB⊥CD，垂足为E，

∴AE=12AB=6，

在直角三角形ACE中：∠C=30°，

∴AC=2AE=12，

∵CD是直径，

∴∠CAD=90°，

∴cos∠C=ACCD，

∴CD=ACcos30°=123故答案为：43

【分析】连接AD，首先根据垂径定理得出AE=6cm，再根据含30°锐角的直角三角形的性质求得AC=12cm，然后在直角三角形ACD中，根据锐角三角函数，求得CD的长，进而可得出⊙O的半径。16．【答案】3π【解析】【解答】解：弧长=135×π故答案为：3π

【分析】根据弧长计算公式进行正确计算即可。17．【答案】解：|1−==2．【解析】【分析】首先根据绝对值的性质。特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零整数指数幂的性质进行化简，然后再合并同类二次根式即可。18．【答案】解：(a−b)==2ab，当a=2024，b=1时，原式=2×2024×(−1)=−4088【解析】【分析】首先根据整式的混合运算进行化简，然后再代入求值即可。19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=27°，AB=30m，∴BC=AB⋅tan∴大厦BC的高度约为15（2）解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，1∴BD=AB⋅tan∴CD=BD−BC=2m∴广告牌CD的高度约为2m【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，解直角三角形即可求得大厦BC的高度约为15.3m；

（2）在20．【答案】（1）解：100，补全统计图如下：（2）144°（3）解；3000×20∴估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数约为600名（4）解；甲乙ABCB(A(B(CC(A(B(C由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果数有2种，∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为26【解析】【解答】解：（1）此次被调查的学生人数为：10÷10%=100，D艺术类人数为：100-10-20-40-5=25；

故答案为：100；

（2）C“科技类”所对应的圆心角度数是：360°×40100=144°；

故答案为：144；

【分析】（1）根据A组频数÷A组频率，即可求调查学生数，并进一步求得D组人数，并补全条形统计图即可；

（2）用360°乘C组的频率即可得出C“科技类”所对应的圆心角度数；

（3）用总人数3000乘样本中文学类的频率即可得出阅读文学类书籍的学生人数；

21．【答案】（1）证明：∵AB⊥BD，AC⊥CE，DE⊥BD，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE，又∵BC=DE，∴△ABC≌△CDE(AAS)（2）解：∵△ABC≌△CDE，∴AC=CE，BC=DE=4，∴AC∴S【解析】【分析】（1）根据AAS即可证明△ABC≌△CDE；

（2）首先根据全等三角形的性质得出AC=CE，BC=DE=4，再根据勾股定理求得AC2=20，然后根据三角形面积计算公式，即可求得△ACE的面积．22．【答案】（1）解：设A种文具的单价为x元，则B种文具的单价为(x−8得720x解方程，得x=24，经检验，x=24是分式方程的解，∴x−8=16答：A种文具的单价是24元，B种文具的单价是16元（2）解：设学校购买B种文具y件，则购买A种文具(100−y)件，根据题意，得16y+24(100−y)≤2080，解得y≥40，答：年级组至少购买B种文具40件【解析】【分析】（1）设A种文具的单价为x元，则B种文具的单价为(x−8)元，根据用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同，即可得出方程720x=480x−8，解方程，并进行检验，即可得出答案；

（2）设学校购买B种文具y件，则购买A种文具23．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=BD=CD，∵AF∥BC，∴∠EAF=∠EDC，∠EFA=∠EDC，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△EAF≌△EDC(AAS)，∴AF=CD，∴AF=BD，又∵AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形，又∵AD=BD，∴四边形ADBF是菱形（2）解：如图所示，过点F作FH⊥CB交CB延长线于H，∵四边形ADBF是菱形，∴AF∥BD，AF=BF=BD=CD，∵∠AFB=60°∴∠FBH=∠AFB=60°，△ABD是等边三角形，∴∠HFB=30°，BF=AB=2，∴BH=1∴CH=BH+BD+CD=5，∴CF=【解析】【分析】（1）首先根据AAS证明△EAF≌△EDC，可得出AF=CD，等量代换为AF=BD，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADBF是平行四边形，再根据AD=BD，得出四边形ADBF是菱形；

（2）：如图所示，过点F作FH⊥CB交CB延长线于H，根据菱形的性质首先得出△ABD是等边三角形，进一步可得出∠HFB=30°，BF=AB=2，根据含30°锐角的直角三角形的性质可求得BH=1，FH=3，然后在直角三角形FCH中根据勾股定理即可求得CF的长度。24．【答案】（1）√；×；√（2）解：∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=−kx(其中k，b为常数，∴方程kx+b=−k∴kx∴Δ=b∴b=2k或b=−2k，当b=2k时，kx解得x=1，∴P(−1,∵“密接点”P到原点的距离等于3，∴12解得k=22或k=−2∴b=42当b=−2k时，kx解得x=1，∴P(1,∵“密接点”P到原点的距离等于3，∴12解得k=22或k=−2∴b=−42综上，b的值为42或（3）解：m+n=2c．证明：设直线l1：y=k∵两条直线l1与l2都是二次函数y=x∴k1即x2∴Δ=k∴b1=4c−∴M(k同理可得b2=4c−设直线MN的解析式为y=k∴k22k①×kk1∴b3令x=0，则n=b∵m=k∴xm∴m−4c−∴m=k∴m+n=【解析】【解答】解：(1)①y=2x−1与y=−x+2有一个交点（1，1），所以①是亲密函数，故打√；②两个函数没有交点，所以②不是亲密函数，所以②打×；③y=x2−x+1与y=x有一个交点（1，1），所以③打√；

故答案为：√，×，√；

【分析】(1)分别求出每对函数的交点。根据亲密函数的定义即可判断对错；

（2）首先根据亲密函数的定义，得出方程kx+b=−kx当b=2k时，kx2+2kx+k=0，解得x=1，得出P(−1,k)，再根据“密接点”P到原点的距离等于3，即可得出12+k2=3，解得k=22或k=−22(不合，舍去)，进一步求得b=42；当b=−2k时，k（3）设直线l1：y=k1x+b1，直线l2：y=k2x+b2，两条直线l1与l2都是二次函数y=x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N25．【答案】（1）证明：∵∠DMC=∠DAC+∠ADB,∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠ADB=∠BAC，∵∠ADB=∠ACB，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC（2）解：①∵∠BAC=∠ACB,∴∠ADB=∠BAC，∵∠ABM=∠DBA，∴△ABM∽△DBA，∴AB∵△ABM和△ADM的底边分别为BM，DM，高相等，∴S∴BM=t⋅DM,∴BD=BM+DM=(1+t)⋅DM，代入ABBD=BM整理得：t(1+t)