鲁京津琼专用2025版高考数学大一轮复习第十一章统计与统计案例11.1随机抽样教案含解析

PAGEPAGE1§11.1随机抽样最新考纲1.能从现实生活或其他学科中提出具有肯定价值的统计问题.2.结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性.3.在参与解决统计问题的过程中，学会用简洁随机抽样方法从总体中抽取样本；通过实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法.4.能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据．1．简洁随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，(2)最常用的简洁随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．(3)应用范围：总体个体数较少．2．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体编号；(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq\f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq\f(N,n)；(3)在第1段用简洁随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)依据肯定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获得整个样本．3．分层抽样(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．概念方法微思索三种抽样方法有什么共同点和联系？提示(1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．(2)系统抽样中在起始部分抽样时采纳简洁随机抽样；分层抽样中各层抽样时采纳简洁随机抽样或系统抽样．题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)简洁随机抽样是一种不放回抽样．(√)(2)简洁随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(×)(3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(×)(4)系统抽样在第1段抽样时采纳简洁随机抽样．(√)(5)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，须要剔除2个学生，这样对被剔除者不公允．(×)(6)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)题组二教材改编2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案A解析由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.3．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为()A．33,34,33 B．25,56,19C．20,40,30 D．30,50,20答案B解析因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25,56,19.4．某班共有52人，现依据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是()A．10B．11C．12D．16答案D解析从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.题组三易错自纠5．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行放射试验，若采纳每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是()A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32答案B解析间隔距离为10，故可能的编号是3,13,23,33,43.6．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参与竞赛，则应当抽取的男生人数为________．答案30解析因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，所以应当抽取的男生人数为50×eq\f(3,3＋2)＝30.题型一简洁随机抽样例1(1)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是()A．这次抽样中可能采纳的是简洁随机抽样B．这次抽样肯定没有采纳系统抽样C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率答案A解析利用解除法求解．这次抽样可能采纳的是简洁随机抽样，A正确；这次抽样可能采纳系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误．(2)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字起先，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为()81472368639317901269868162935060913375856139850632359246225410027849821886704805468815192049A.12B．33C．06D．16答案C解析被选中的红色球的号码依次为17,12,33,06,32,22.所以第四个被选中的红色球的号码为06.思维升华应用简洁随机抽样应留意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否便利；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在运用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计跟踪训练1(1)在简洁随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性()A．与第n次有关，第一次可能性最大B．与第n次有关，第一次可能性最小C．与第n次无关，与抽取的第n个样本有关D．与第n次无关，每次可能性相等答案D解析∵在简洁随机抽样中，每个个体被抽到可能性都相等，与第n次无关，∴D正确．(2)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字起先由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B．07C．02D．01答案D解析由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.题型二系统抽样例2(1)利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本，假如抽出的产品中有一个产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为()A．73B．78C．77D．76答案B解析样本的分段间隔为eq\f(80,16)＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.(2)某单位有840名职工，现采纳系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11B．12C．13D．14答案B解析由eq\f(840,42)＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为eq\f(720－480,20)＝eq\f(240,20)＝12.引申探究1．若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．(填“能”或“不能”)答案不能解析若55被抽到，则55＝5＋20n，n＝2.5，n不是整数．故不能被抽到．2．若本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________．答案28解析因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，思维升华(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．(2)运用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．(3)起始编号的确定应用简洁随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．跟踪训练2将参与夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采纳系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为()A．26,16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9答案B解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103,4)，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.题型三分层抽样命题点1求总体或样本容量例3(1)(2024·天津河西区模拟)某校有高级老师26人，中级老师104人，其他老师若干人．为了了解该校老师的工资收入状况，若按分层抽样从该校的全部老师中抽取56人进行调查，已知从其他老师中共抽取了16人，则该校共有老师________人．答案182解析设该校其他老师有x人，则eq\f(x,26＋104＋x)＝eq\f(16,56)，∴x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校老师共有26＋104＋52＝182人．(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于()A．54B．90C．45D．126答案B解析依题意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.命题点2求某层入样的个体数例4(1)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的宠爱程度进行调查，参与调查的一共有20000人，其中各种看法对应的人数如下表所示：最宠爱宠爱一般不宠爱4800720064001600电视台为了了解观众的具体想法和看法，准备从中抽取100人进行具体的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为()A．25,25,25,25 B．48,72,64,16C．20,40,30,10 D．24,36,32,8答案D解析方法一因为抽样比为eq\f(100,20000)＝eq\f(1,200)，所以每类人中应抽取的人数分别为4800×eq\f(1,200)＝24，7200×eq\f(1,200)＝36,6400×eq\f(1,200)＝32,1600×eq\f(1,200)＝8.方法二最宠爱、宠爱、一般、不宠爱的比例为4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为eq\f(6,6＋9＋8＋2)×100＝24，eq\f(9,6＋9＋8＋2)×100＝36，eq\f(8,6＋9＋8＋2)×100＝32，eq\f(2,6＋9＋8＋2)×100＝8.(2)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣()A．104人 B．108人C．112人 D．120人答案B解析由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×eq\f(8100,8100＋7488＋6912)＝300×eq\f(8100,22500)＝108，故选B.思维升华分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的状况．跟踪训练3(1)某校为了了解学生学习的状况，采纳分层抽样的方法从高一1000人，高二1200人，高三n人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n等于()A．860 B．720C．1020 D．1040答案D解析分层抽样是按比例抽样的，所以81×eq\f(1200,1000＋1200＋n)＝30，解得n＝1040.(2)(2024·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案18解析∵eq\f(样本容量,总体个数)＝eq\f(60,200＋400＋300＋100)＝eq\f(3,50)，∴应从丙种型号的产品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．1．某工厂平均每天生产某种机器零件10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采纳系统抽样方法抽取，将零件编号为0000,0001,0002，…，9999，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为()A．0210 B．0410C．0610 D．0810答案B解析将零件分成50段，分段间隔为200，因此，第三组抽取的号码为0010＋2×200＝0410，故选B.2．打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，起先按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是()A．系统抽样 B．分层抽样C．简洁随机抽样 D．非以上三种抽样方法答案A解析符合系统抽样的特点，故选A.3．下列抽取样本的方式属于简洁随机抽样的个数为()①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中随意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参与学校组织的篮球赛．A．0B．1C．2D．3答案A解析①不是简洁随机抽样．②不是简洁随机抽样．由于它是放回抽样．③不是简洁随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．④不是简洁随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．4．某中学有中学生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从中学生中抽取70人，则n为()A．100B．150C．200D．250答案A解析方法一由题意可得eq\f(70,n－70)＝eq\f(3500,1500)，解得n＝100.方法二由5．在一次马拉松竞赛中，35名运动员的成果(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成果由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成果在区间[139,151]上的运动员人数是()A．3B．4C．5D．6答案B解析第一组(130,130,133,134,135)，其次组(136,136,138,138,138)，第三组(139,141,141,141,142)，第四组(142,142,143,143,144)，第五组(144,145,145,145,146)，第六组(146,147,148,150,151)，第七组(152,152,153,153,153)，故成果在[139,151]上恰有4组，故有4人，故选B.6．已知某地区中小学生人数和近视状况分别如图(1)和图(2)所示．为了解该地区中小学生的近视形成缘由，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的中学生近视人数分别为()A．100,10 B．200,10C．100,20 D．200,20答案D解析该地区中小学生总人数为3500＋2000＋4500＝10000，则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的中学生近视人数为2000×2%×50%＝20.7．(2024·武汉模拟)某中学安排从全校学生中按年级采纳分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为()A．2400B．2700C．3000D．3600答案C8．(2024·通化模拟)分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要依据各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是()A．甲应付51eq\f(41,109)钱B．乙应付32eq\f(24,109)钱C．丙应付16eq\f(56,109)钱D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少答案B解析依题意由分层抽样可知，100÷(560＋350＋180)＝eq\f(10,109)，则甲应付：eq\f(10,109)×560＝51eq\f(41,109)(钱)；乙应付：eq\f(10,109)×350＝32eq\f(12,109)(钱)；丙应付：eq\f(10,109)×180＝16eq\f(56,109)(钱)．9．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采纳系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是______________．答案16,28,40,52解析编号组数为5，间隔为eq\f(60,5)＝12，因为在第一组抽得04号：4＋12＝16,16＋12＝28,28＋12＝40,40＋12＝52，所以其余4个号码依次为16,28,40,52.10．某中学在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的竞赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项竞赛，各年级参与竞赛的人数状况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的eq\f(2,5).为了了解学生对本次活动的满足程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________．答案36解析依据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×eq\f(3,5)＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×eq\f(3,2＋3＋5)＝36.11.200分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采纳分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．答案3720解析将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则eq\f(40,200)＝eq\f(x,100)，解得x＝20.12．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号依次平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定假如在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．答案63解析m＝6，则在第7组中抽取的号码的个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.13．某市教化主管部门为了全面了解2025届高三学生的学习状况，确定对该市参与2024年高三第一次全省统一考试(后称统考)的32所学