2025高考数学二轮复习-拉档提分数列01-10-专项训练【含答案】

第一章等差等比,题型梳理—、等差数列,经典题例1、紧扣定义，活用公式【例1】设是等差数列，前项和为，已知，，若,求的值.【解析】设等差数列的公差为，由，，，得方程组，解得，，故由，，得方程解得或（舍）,所以.【评注】本题用一般通项公式解更快捷：【概念梳理】等差数列的通项公式：，；公差公式：，且当时，是一个一次函数.【例2】设，数列是公差不为零的等差数列，且，则.【答案】21【解析】由题设知，，因为是奇函数，所以有对称性，又，所以，故有【评注】抓住奇函数及等差数列的性质特征是破解关键.【变式训练】已知数列中，，，若是等差数列，则等于（）A. B. C. D.2、等差和式，形式多变【例3】已知数列是等差数列，，，则此数列的前20项和等于（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】因为是等差数列，所以，又，，所以，所以所以，故选B.【评注】灵活运用等差数列的性质.【规律探索】等差数列中，如果，则，特别的，当时，，是的等差中项.【例4】已知一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和.【解析】解法1：由等差数列性质知：成等差数列，设其公差为则其数列前10项的和为：，即将代入上式得，故解法2：由于，，则，又，故解法3：设数列的公差为，由于，故数列是等差数列，公差为则，且，将已知数值代入上式，消去，可得解法4：设等差数列的前项和为由，，得，解得，则故，【规律探索】①等差数列等距和仍成等差数列，即等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.②若是等差数列，公差为，则是公差为的等差数列.【变式训练】设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和，且满足（1）若，求及；（2）求的取值范围.【例5】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差为.【答案】5【解析】，由题设得：，即，所以，所以所以【评注】（1）等差数列的奇数项和与偶数项和有重要性质：（2）本题巧妙运用合分比定理使运算简捷快速.【变式训练】1、一个等差数列共有项，其奇数项之和为305，偶数项之和为276，则此数列第项为（）A. B. C. D.2、一个等差数列共有10项，其偶数项之和为15，奇数项之和为12.5，，则它的首项与公差分别是（）A. B. C. D.3、等差性质，灵活运用【例6】已知数列是等差数列.若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求；若，，求；若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数.【解析】（1）依题意知，，所以，所以因为（2）因为成等差数列。所以（3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为，则，，所以，中间项为，项数为7项.【评注】等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活运用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.对称项倒序和是破招要领.【规律探索】①；②若是偶数，则；③若是奇数，则（中间项）【例7】若等差数列、的前项和分别是，且，则的值为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】设数列、的公差分别是，则，故选C.【评注】灵活运用等差数列求和公式很重要，学会变式运用.【规律探索】若和均为等差数列，且前项和分别是与，则【变式训练】1、已知两等差数列、的前项和分别是与，且，则的值为（）A. B. C. D.2、已知两等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（）A. B. C. D.4、和式特征，二次函数【例8】设等差数列的前项和是，已知，，.（1）求公差的取值范围；（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.【解析】（1）设数列的首项为，公差为，由已知有将代入两个不等式，消去得解得（2）解法1：由由（1）知，，可知，所以中最大的是解法2：，，得，所以所以最大.解法3：，二次函数的对称轴方程为，由于所以，所以当时，最大.【评注】本题解法3充分利用了等差数列前项和的二次函数特征，结合图像即得，快速有效.【规律探索】等差数列的前项和公式：（似梯形面积公式）；（二次函数型）；，当时，它是一个二次函数，由于其常数项为零，所以图其像过原点；等差数列通项直线零点与前项和抛物线对称轴之差为0.5，如图，即【变式训练】已知等差数列中，，，则该数列前多少项的和最小？已知在等差数列中，，若，则当数列的前项和取得最大值时，.设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（）A. B. C. D.设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（）A. B. C. D.已知数列为等差数列，若，且它的前项和为有最大值，则使得的的最大值为（） B. C. D.5、证明等差，回到定义【例9】已知数列的前项和为，且满足，.（1）求证：是等差数列；（2）求的表达式.【解析】（1）因为，又，，又因为，所以.由等差数列的定义知数列是以为首项，以2为公差的等差数列.由（1）知，则当时，有，又因为，不适合上式，所以【评注】等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而通项公式法和前项和公式法主要适合在选择题中简单判断.判定等差数列可以有五种特征形式，但证明等差数列必须回到定义式.【规律探索】判定等差数列的有五种特征形式：定义式：；定义变式：；递推式：；通项一次特征：；和式二次特征：【变式训练】1、已知数列中，，，数列满足（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项和最小项，并说明理由.2、已知数列的前项和为，且满足,（1）求证：是等差数列；（2）求的表达式.6、数列最值，差商比值【例10】已知数列满足，它的前项和为，且，若，求数列前项和的最小值.【解析】解法1：因为，所以是等差数列.设的首项为，公差为，由，，得所以所以则由题意因为，所以，数列前项为负值.所以最小，又可知，，所以解法2：同解法1求出因为，所以当时，有最小值，且最小值为【评注】已知是等差数列，求前项和的最值时，若，，且满足，则前项和最大；若，，且满足，则前项和最小.【例11】设等差数列满足，且它的前项和有最大值，则当数列的前项和取得最大值时，正整数的值为（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，由题意知，，，，，故，选D.【评注】本题解法灵活，对和式进行了适当变形.【规律探索】【变式训练】1、在等差数列中，，它的前项和为.（1）求的最小值，并求出取最小值时的值；（2）求.2、在数列中，，.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.7、正项求和，分段讨论【例12】已知数列的前项和为满足求的通项公式；求的前项和【解析】（1）当时，；当时，，故（2）由可知，当时，；当时，，当时，；当时，；所以【评注】数列绝对值项求和，必须分类讨论找到正负项的分界项，然后用分段函数表示.8、抽象数列，拓展提