2025年物理新高考备考2025年（版）物理《三维设计》一轮总复习（提升版）实验九　用单摆测量重力加速度

实验九用单摆测量重力加速度考情调研命题特征本实验属于新高考中的冷门力学实验，考查频度不是太高，考查难度不大。在2023年新课标卷和重庆卷考查了本实验1.考读算：读长度、算加速度以及作图求解。2.考数据：数据处理和误差分析的方法。3.考变化：计时方式、实验原理创新用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。【实验原理】（1）测出悬点O到小球球心的距离（摆长）l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝4π2n2lt2（用l【实验步骤】（2）用米尺测出摆长l，将摆球从平衡位置拉开一个很小角度（不超过5°），然后放开摆球，使摆球在竖直平面内摆动，用秒表测出全振动50次的时间，计算出平均完成一次全振动所用的时间，这个时间就是单摆的振动周期，改变摆长，重复做几次实验。【注意事项】（3）组装单摆时，应在下列器材中选用AD（填选项前的字母）。A.长度为1m左右的细线B.长度为30cm左右的细线C.直径为1.8cm的塑料球D.直径为1.8cm的铁球【数据处理与误差分析】（4）下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。组次123摆长l/cm80.0090.00100.0050次全振动时间t/s90.095.5100.5振动周期T/s1.801.91重力加速度g/（m·s－2）9.749.73请计算出第3组实验数据中的T＝2.01s，g＝9.76m/s2。（结果保留3位有效数字）（5）用多组实验数据作出T2－l图像，也可以求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2－l图线的示意图如图2中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是B（选填选项前的字母）。A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长lB.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次C.图线c对应的g值小于图线b对应的g值解析：（1）周期T＝tn，结合T＝2πlg，推出g＝（3）单摆模型需要满足的条件是，摆线的长度远大于小球直径，小球应选择密度大，体积小的，这样可以降低空气阻力的影响，故选A、D。（4）周期T＝tn＝100.5s50＝2.01s，由T＝2πlg，（5）由T＝2πlg，可得T2＝4π2gl，可知T2－l是过原点的直线，又b为正确的图像，a与b相比，周期相同时，摆长更短，说明a对应测量的摆长偏小，A错误；c与b相比，摆长相同时，周期偏小，可能是多记录了振动次数，B正确；图线的斜率k＝4π2g，斜率越小1.数据处理与分析（1）数据处理公式法：摆长不变，重复测量几次，T取平均值，根据公式g＝4π图像法：测出一系列摆长l及对应的周期T，画出T2－l图像，T2＝kl，斜率为k，g＝4π（2）误差分析产生原因减小方法偶然误差测量时间（单摆周期）及摆长时产生误差（1）多次测量再求平均值（2）计时从单摆经过平衡位置时开始系统误差主要来源于单摆模型本身（1）摆球要选体积小，密度大的（2）最大摆角要小于5°2.注意事项（1）选用1m左右的细线。（2）悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。（3）小球在同一竖直面内摆动，且摆角小于5°。（4）选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数。（5）小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l'，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l'＋r。1.（2024·浙江台州校联考模拟预测）某同学做“用单摆测量重力加速度”的实验装置如图所示。（1）下列实验操作正确的是B（填正确选项前的字母）。A.小球运动到最高点时开始计时B.小球的摆角控制在5°以内C.用天平测出小球的质量D.测出单摆摆动5个周期的总时间t，求得单摆的周期T＝15（2）实验器材中没有小铁球，于是他用小铁块来代替小铁球进行实验。由于铁块形状不规则，无法测出摆长，他设计了如下的实验方法：先测出使用某一长度摆线时单摆的周期T1，然后将单摆的摆线缩短Δl，再测出对应的周期T2。请写出重力加速度的表达式4π2解析：（1）应小球运动到最低点时开始计时，故A错误；小球的摆角控制在5°以内，故B正确；由单摆的周期公式T＝2πlg，可得g＝4π2lT2可知，测量重力加速度与小球质量无关，则无需测量小球质量，故C错误；测周期时，为了减小误差，一般测量30～50次全振动的时间（2）根据题意，设单摆的周期为T1时的摆长为l，则单摆的周期为T2时的摆长为l－Δl，由单摆的周期公式T＝2πlg可得T1＝2πlg，T2＝2πl－Δlg2.（2023·重庆高考11题）某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。（1）用游标卡尺测量摆球直径d。当测量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为19.20mm。（2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00s，由此算得重力加速度g为9.86m/s2（保留3位有效数字）。（3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋d2作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是，原因是答案：（3）见解析解析：（1）用游标卡尺测量摆球直径d＝19mm＋0.02mm×10＝19.20mm。（2）单摆的摆长为L＝990.1mm＋12×19.20mm＝999.7mm，根据T＝2πLg，可得g＝4π2LT2（3）由图可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋d2越接近于l，此时计算得到的g【典例】（2024·福建宁德模拟预测）某智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。宁德某中学的小宁在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下；①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。③运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。（1）利用智能手机测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为。（2）实验中用游标卡尺测量小球直径如图乙所示，则小球直径为cm。（3）得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2－L图像，如图丙所示，根据图中数据可得当地重力加速度g＝m/s2。（结果保留3位有效数字）（4）查表可知宁德地区的重力加速度为9.79m/s2，则本实验的相对误差为％。（结果保留2位有效数字）三步稳解题（1）分析实验目的：利用手机、磁化的小球等实验器材来测量当地的重力加速度。（2）确定实验原理：①利用手机中的磁传感器记录磁感应强度的变化规律，确定单摆的周期；②利用T2－L图像求当地的重力加速度。（3）制定数据处理方案：根据单摆的周期公式T＝2πL＋rg得出T2＝4π2g（L＋r），结合T2－L图像得斜率k＝4答案：（1）2tN－1（2）2.00（3）9.96（解析：（1）测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为T＝tN－1（2）摆球直径为d＝20mm＋0×0.1mm＝20.0mm＝2.00cm。（3）根据单摆周期公式可得T＝2πL＋rg，整理可得T2＝4π2g（L＋r），其中r＝d2＝1.00cm，对比图丙可得k＝4π2g＝4（4）查表可知宁德地区的重力加速度为9.79m/s2，则本实验的相对误差为η＝9.96－9.1.（2024·福建泉州模拟预测）一端固定在房顶的一根细线垂到三楼窗沿下，某同学为了测量窗的上沿到房顶的高度，在线的下端系了一小球，发现当小球静止时，细线保持竖直且恰好与窗子上沿接触。打开窗子，让小球在垂直于窗口的竖直平面内摆动，如图所示。（1）为了测量小球摆动的周期，他打开手机里的计时器，在某次小球从窗外向内运动到达最低点时数1，同时开始计时，随后每次小球从外向内运动到最低点依次数2、3、4、…，数到n时，手机上显示的时间为t，则小球摆动的周期T为tn－（2）该同学用钢卷尺测量出摆动中小球球心到窗上沿的距离，记作L。则用小球摆动的周期T、L和当地的重力加速度g，可将窗的上沿到房顶的高度表示为gT2解析：（1）从小球第1次从外向内通过最低点开始计时，第n次从外向内通过最低点用时t，故周期为T＝tn（2）以窗上沿为悬点的单摆周期为T1＝2πLg，以房顶为悬点的单摆周期为T2＝2πL＋ℎg，其中有T＝12（T1＋T2），2.（2023·新课标卷23题）一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。（1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a）所示，该示数为0.008（0.007～0.009均可）mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为20.035（20.034～20.036均可）mm，则摆球的直径为20.027（20.025～20.029均可）mm。（2）单摆实验的装置示意图如图（c）所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°（填“大于”或“小于”）。（3）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为82.5cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为1.82s，该小组测得的重力加速度大小为9.83m/s2。（结果均保留3位有效数字，π2取9.870）解析：（1）题图（a）中，螺旋测微器固定刻度读数为0.0mm，可动刻度读数为0.8×0.01mm＝0.008mm，所以读数为0.008mm；题图（b）中，螺旋测微器固定刻度读数为20.0mm，可动刻度读数为3.5×0.01mm＝0.035mm，所以读数为20.035mm；摆球的直径d＝20.035mm－0.008mm＝20.027mm。（2）角度盘固定在O点时，摆线在角度盘上所指角度为摆角大小，若将角度盘固定在O点上方，由几何知识可知，摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。（3）单摆的摆长l等于摆线长L与摆球半径之和，即l＝L＋d2≈82.5cm；从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点，单摆完成30次全振动，故单摆的周期T＝54.6030s＝1.82s；由单摆的周期公式T＝2πlg可得g＝4π2跟踪训练·巩固提升1.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，（1）如图给出了细线上端的两种不同的悬挂方式，你认为选用哪种方式较好乙（选填“甲”或“乙”）；（2）小明同学用刻度尺测量得摆线长度当作单摆的摆长，并测出多组数据，作出T2－L图像，那么小明作出的图像应为图中的A，再利用图像法求出的重力加速度等于真实值（选填“大于”“等于”或“小于”）。解析：（1）乙的悬挂较好，夹子夹住细线，可以保证实验过程中，单摆的摆长保持不变。（2）用刻度尺测量摆线长度当作单摆的摆长，则测量值比真实值少一个摆球的半径，在图像中会出现，“摆长”取零，单摆存在周期的情况。故小明做出的图像应为图中的A。根据单摆的周期公式，有T2＝4π2g（L＋R），虽然测量摆长少加了半径，但是自变量L前面的系数，即斜率k＝42.（2024·山东泰安模拟）某同学用图甲所示装置测定当地的重力加速度。小球上安装有挡光部件，光电门安装在小球平衡位置正下方。（1）用螺旋测微器测量挡光部件的挡光宽度d，其读数如图乙所示，则d＝2.330mm；（2）让单摆做简谐运动并开启传感器的计数模式，当光电门第一次被遮挡时计数器计数为1并同时开始计时，以后光电门被遮挡一次计数增加1，若计数器计数为N时，单摆运动时间为t，则该单摆的周期T＝2tN（3）摆线长度大约80cm，该同学只有一把测量范围为30cm的刻度尺，于是他在细线上标记一点A，使得悬点O到A点间的细线长度为30cm，如图丙所示。现保持A点以下的细线长度不变，通过改变OA间细线长度l以改变摆长，并测出单摆做简谐运动对应的周期T。实验中测得了多组数据并绘制了T2－l图像，求得图像斜率为k，由此可知当地重力加速度g＝4π2解析：（1）螺旋测微器的读数为固定刻度与可动刻度之和，所以图中测得挡光部件的宽度为d＝2mm＋33.0×0.01mm＝2.330mm。（2）由题意可知t＝（N－1）T2，解得T＝2（3）设A点以下的细线长度为l0，根据单摆周期公式得T＝2πl＋l0g，化简得T2＝4π2gl＋4π2gl0，又T2－l图像的斜率为k，3.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，（1）某同学的操作步骤为：①取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上；用米尺量得细线长度l；在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球；用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期T＝tn②用公式g＝4π按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比偏小（选填“偏大”“相同”或“偏小”）。（2）已知单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T'＝T01+asin2θ2，式中T0为摆角趋近于0°时的周期，a为常数。为了用图像法验证该关系式，需要测量的物理量有T'（或t、n）、（3）若某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图线中的横轴表示T'（写式子中的字母符号）。解析：（1）由于摆长应为细线长度l加上小球半径，所以用公式g＝4π2l（2）由T'＝T01+asin2θ2变形得sin2θ2＝1aT0T'－1a，通过测量不同摆角θ下的对应的周期T'（或t1n），才能用图像法验证该关系式，（3）根据T'＝T01+asin2θ2，得sin2θ2＝T'aT0－1a，所以4.（2024·广东东莞联考模拟）某实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度”的实验。（1）下列最合理的装置是D（填选项前的字母）。（2）为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的有BC（填选项前的字母）。A.测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长B.在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动C.摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大D.测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时（3）某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图甲所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2－l图像如图乙所示。①该图像的斜率为C。A.g B.1C.4π2g②由此得出重力加速度的测量值为9.86m/s2。（π取3.14，计算结果保留3位有效数字）解析：（1）根据单摆理想模型可知，为减小空气阻力的影响，摆球应采用密度较大，体积较小的铁球，为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应该用铁夹来固定，故选D。（2）根据周期公式T＝2πLg，可得重力加速度为g＝4π2LT2。测量摆长时，应该测量竖直拉直后的摆线长，故A错误；在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动，故B正确；摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大，如果摆角太大，将不能看作简谐运动，单摆周期公式失效，故C正确；测量周期时，应该从摆球运动到最低点时开始计时，因为最低点位置摆球速度最大，相同的视觉距离误差引起的时间误差较小（3）①由图甲可知，设M点到重心的距离为d，根据周期公式T＝2πl＋dg，可得T2＝4π2g（l＋d），故该图像的斜率为k＝4π2g，故选C。②由于k＝4π2g＝4.099.05.（2024·广东惠州一模）将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图甲所示。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动的过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出当地的重力加速度g和小筒的深度h，取π＝3.14。回答下列问题：（1）现有可选择的测量工具如下，本实验不需要的测量工具是BC（填选项前的字母）。A.秒表 B.时钟C.天平 D.毫米刻度尺（2）如果实验中所得到的T2－L图像如图乙所示，那么真正的图像应该是a（选填“a”“b”或“c”）。（3）由图像可知，当地的重力加速度g＝9.86m/s2（结果保留3位有效数字），小筒的深度h＝0.45m。解析：（1）本实验需要测量时间求出周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离L，则所需要的测量工具是秒表和毫米刻度尺，本题选择不需要的测量工具，即为时钟和天平。故选B、C。（2）由单摆的周期公式得T＝2πℎ＋Lg，得到T2＝4π2（ℎ＋L）g，当L＝0时（3）根据表达式结合图像a可知，图像的斜率为k＝1.800.45＝4，4π2g＝k，联立解得g＝π2≈9.86m/s2。根据表达式T2＝4π2（ℎ＋L）g可知，当T2＝0时，h6.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得