小学五年级上册数学奥数知识点讲解共2课《奇数与偶数及奇偶性的应用》及《能被30以下质数整除的数的特征》试题附答案

小学五年级上册数学奥数知识点讲解第5课《奇数与偶数及奇偶性的应用》试题附答案

一、基本慨念和知识

1.奇数和偶数

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除

的数叫做奇数。

_偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+l（k为整数）表

小O

特别注意，因为0能被2整除，所以。是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数士偶数二偶数，

奇数士奇数二偶数。

性质2：偶数土奇数二奇数。

性质3：偶数个奇数相加得偶数。

性质4：奇数个奇数相加得奇数。

性质5：偶数X奇数二偶数，

奇数X奇数二奇数。

二、例题

利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.

例11+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？

例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是

多少？

例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺

年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

例4己知a、b^c中有一个是5,一个是6,一个是7.求证aT,b-2,c-3的乘积

一定是偶数c

例5任意改变某一个三位数为各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数

之和不能等于999。

例6用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：

aXbXcXd-a=1991

aXbXcXd-b=1993

aXbXcXd-c=1995

aXbXcXd-d=1997

试说明：符合条件的整数小b、c、d是否存在。

例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”,请说明：无

论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

例8假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有

的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

例9在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全

蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠

子被染上过红、蓝两种颜色。

例10如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小

牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距

离是偶数（以米为单位），这是为什么？

例11某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题

给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总

和一定是偶数。

答案

二、例题

利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.

例11+2+3+-+1993的和是奇数？还是偶数？

分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但

是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶

性.此题可以有两种解法。

解法1：:1+2+3+-+1993

(1+1993)X1993

—-----手-------=997X1993,

又•・.997和1993是奇数，奇数X奇数二奇数，

・.・原式的和是奇数。

解法2：；1993—2=996…1,

・•.1~1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。

T996个偶数之和一定是偶数，

又•・・奇数个奇数之和是奇数，

・•・997个奇数之和是奇数。

因为，偶数+奇数二奇数，

所以原式之和一定是奇数。

例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是

多少？

解法L.・.相邻两个奇数相差2,

・•・150是这个要求数的2倍。

・••这个数是150+2=75。

解法2：设这个数为x,设相邻的两个奇数为2a+l,2aT（a>l）.则有

（2a+l）x-（2a-l）x=150,

2ax+x-2ax+x=150,

2x=150,

x=75o

・•・这个要求的数是75。

例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺

年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

分析此题初看似乎缺总人数,但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性

上，因此与总人数无关。

解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年

卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。

送贺年卡的人可以分为两种：

一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。

另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数二所有人送出

的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数二偶数T禺数二偶

数。

他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。

所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。

例4己知a、b、c中有一个是5,一个是6,一个是7.求证aT,b-2,c-3的乘积

一定是偶数。

证明：:a、b、c中有两个奇数、一个偶数，

・・・a、c中至少有一个是奇数，

・・・a-l,。-3中至少有一个是偶数。

又「偶数x整数二偶数，

/.(a-1)X(b-2)X(c-3)是偶数。

例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数

之和不能等于999。

证明：设原数为abc,设改变其各位数字顺序后得到的新数为a，字/。

假设原数与新数之和为999,即忘+J■/=999。

则有a+a，=b+by=c+c，=9,因为9不会是进位后得到的

又因为a，、b，、/是a、b、c调换顺序得到的，

所以a+b+c=a'+b'+c'°

因此，又有(a+a，)+(b+b1)+(c+c，)=9+9+9,

即2(a+b+c)=3X9。

可见：等式左边是偶数，等式的右边(3X9=27)是奇数.偶数声奇数.因

此，等式不成立.所以，此假设“原数与新数之和为999”是错误的，命题得

证。

这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法

确

正,再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的

结

论,从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证

法

”

例6用代表整数的字母&、b、c、d写成等式组:

aXbXcXd-a=1991

aXbXcXd-b=1993

aXbXcXd-c=1995

aXbXcXd-d=1997

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

解：由原题等式组可知:

a(bcd-1)=1991,b(acd-1)=1993,

c(abd-1)=1995,d(abc-1)二1997。

V199L1993、1995、1997均为奇数，

且只有奇数x奇数二奇数，

■a、b^c、d分别为奇数。

••.aXbXcX”奇数。

・・・a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、幅，一定为偶数.这与原题等式

组矛盾。

••・不存在满足题设等式组的整数a、b、c、d。

例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无

论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝

下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按

规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数

次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

例8假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动(n-l)个开关，能否把所有

的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

证明：当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。

因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。

由于n是奇数，所以n个奇数的和二奇数，

因此要把所有的灯(n盏)都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。

但因为规定每次拉动n-l个开关，且n-1是偶数，

故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。

.・・奇数卢偶数，

・•・当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。

当n为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下:

设灯的编号为1,2,3,4,…，n.做如下操作：

第一次，1号灯不动，拉动其余开关;

第二次，2号灯不动，拉动其余开关;

第三次，3号灯不动，拉动其余开关;

第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。

例9在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全

蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠

子被染上过红、蓝两种颜色。

证明：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次

染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这的珠子为红色.则染

红色次数为21n次。

•・.2m卢1987（偶数/奇数）

・•・假设不成立。

・.・至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。

例10如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小

牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距

离是偶数（以米为单位），这是为什么？

解：任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的树之

间相距冰，第二棵挂牌的树与第三棵挂

起点

牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵指牌的树之间的距离

c-a+b（米）（如下图），如果a、b中有一个是偶数，题目已得证।如果a、b

都是奇数，因为奇数+奇数二偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证。

.…生*A......

I______/>_____________II_______，、_____________I

I冰八味I

迷

例11某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题

给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总

和一定是偶数。

解：对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答错一

道，相当于从120分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣

偶数分.从120里减去偶数.差仍是偶数.同样，如果有某题不答，应从120里减

去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数.所以从

120里减去偶数，差仍是偶数.因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛

学生得分总和也一定是偶数.

牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵拒牌的树之间的距离

c=a+b（米»（如卡图），疝果a、b中有一个是柳致，题目=得证；如果a、b

都是奇数，因为奇数+奇数二偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证。

....**A……*南……

।____________n___________।

怵

II,、b-」I

咪

例11某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题

给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总

和一定是偶数。

解：对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答错一

道，相当于从120分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣

偶数分.从120里减去偶数.差仍是偶数.同样，如果有某题不答，应从120里减

去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数.所以从

120里减去偶数，差仍是偶数.因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛

学生得分总和也一定是偶数.

习题五

L有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比

偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？

2.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个

数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、

9、8、8这四个数吗？

3.求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。

4.把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩

形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。

5.如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通

话次数是奇数的那些人的总数为一。

（A）必为奇数，（B）必为偶数，

（C）可能是奇数，也可能是偶数。

6.一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是

奇数还是偶数。

7.有12张卡片，其中有3张上面写着1,有3张上面写着3,有3张上面写着

5,有3张上面写着7.你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20?为什

么？

8.有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子，经过若干

次翻动后将杯子全部翻成口朝上？

9.电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即前、

后、左、右）一人交换位置.问：这种交换方法是否可行？

10.由14个大小相同的方格组成下列图形（右图），请证明：不论怎样剪

法，总不能把它剪成7个由两个相邻方格组成的长方形.

五年级奥数上册：第五讲奇数与偶数及奇偶性的应用习题解答

习题五解答

1.偶数至多有48个。

2.提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到

答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。

3.设四个连续奇数是2n+l,2n+3,2n+5,2n+7,n为整数，则它们的

和是

（2n+l）+（2n+3）+（2n+5）+（2n+7）

=2nX4+16=8n+16=8（n+2）。

所以，四个连续奇数的和是8的倍数。

.证明设填入数分别为、\,有

4।a1a2.arar

al药a3

a5q

假设要证明的结论不成立，则有：

:偶数声奇数，，假设不成立，命题得证。

5.应选择（B）.参考例3。

6.是偶数.参考例3。

7.不能.因为5个奇数的和为奇数，不可能等于20。

8.能.例如

第一次78910

第二次3456

第三次2345

第四次1345

9.这种交换方法是不可行的.参考例12。

10.利用黑白相间染色方法可以证明：不可能剪成由7个相邻两个方格组成

的长方形，因为图形中一种颜色有8格，另一种颜色有6格，而每个相邻两个方

格组成的长方形是一黑格一白格，7个这样的长方形共7黑格7白格.与图形相矛

盾.

小学五年级上册数学奥数知识点讲解第6课《能被30以下质数整除的数的特征》试题附答

案

第六讲能被30以下质数整除的数的特征

大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也

对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们

说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，

我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。

为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N记为：

32

N=…a3a=…+a3X10+a2X104-a1X10+a0,

有时也表示为

N=-DCBAo

我们己学过同余，用mod2表示除以2取余数一有公式:

①N』aO(mod2)

②NMalaO(mod4)

@N—a2ala0(mod8)

©N=a3a2ala0(mod16)

这几个公式表明一个数被2Q,8,16)整除的特性，而且表明了不能整

除时，如何求余数。

此外，被3(9)整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3(9)整除.

我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下.如(mod9),如果，

N=a,a.a1a-,=a,X1000+a：X100-ra,X10+a^,

=a,X(999+1)+\X(99+1)+4X(9+1)+%

=(a2+a2+a1+ac)+Ca2X999+a:X99+axX9),

那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有

N=a,+a-H-a^zu(mod9)

对于mod3,理由相仿，从而有公式：

⑤N=(…+a?+a?+a1+,)(mod9),

N=(…+%+与+4+%)(mod3)0

对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差

(大减小)能被11整除。

先看一例.N=31428576,改写N为如下形式：

N=6+7(11-1)+5(99+1)+8(1001-1)+2(9999+1)+4(100001-

1)+1(999999+1)+3(10000001-1)

=6-7+5-8+2-4+1-3+7X11+5X99+8X1001+2X9999+4X100001+1X

999999+3X10000001o

由于下面这两行里，11、99、1001、9999、10000L999999、10000001都

是11的倍数，所以

N=6-7+5-8+2-4+l-3(modll)。

小学生在运算时，碰上“小减大”无法减时，可以从上面N的表达式最后

一行中“借用”11的适当倍数(这样，最后一行仍都是11内倍数)，把它加到

"小减大''的算式中，这样就得到：

设Nn7776a5a4a3a2&］沏，

N=U+6-7+5-8+2-4+1-3=3(modll)。

现在总结成一般性公式(推理理由与例题相仿).

则N—(a0-al+a2-a3+a4-a5+a6-a7+"*)(modll)

或者,

@N=((a0+a2+a4+…)-(al+a3+a5+…))(modll)

(当不够减时，可添加11的适当倍数)。

因此，一个自然数能被11整除的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之

和的差(大减小)能被11整除。

我们这里的公式不仅包含整除情况，还包含有余数的情况。

下面研究被7、11、13整除的数的特征。

有一关键性式子：7X11X13=1001。

如有一个数有六位，I己为N=FEDCBA.7B么

N=FEDX1000+OBA

=FEDX(1001)-FED+^A

=FEDX（7X11X13）+^A-FEDo

所以砥卮被7、11、13整除，相当于

国五-曲或曲-警(以大减小)

能被7、11、13整除.总结为公式:

©N=-GFEDCBA^^A--GFED(mod7)；

(modll)；(modi3)

(当＜…GFED时,可在丽\•••GFED上加上7或11或13的适

当倍数)。

表述为：判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面

隔开，分成两个独立的数，取它们的差(大减小)，看它是否被7或11或13整

除。

此法则可以连续使用。

例：N=31428576.判定N是否被11整除。

987654987

-321-333

第一步,987333第二为FT

因为822不能被11整除，所以N不能被11整除。

例：N=215332.判定N是否被7、11、13整除。

332

第一次登

由于117=13X9,所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此附宜被

13整除，不能被7、11整除。

此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被7或11或13整除时，可用减

法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。

如'=98765432L判定恭昌否被13整除？

987654987

-321-333

笫一步：987333第二步,T5T

而654=50X13+4,所以原数不能被13整除如直接计算，很费力：

987654321=75973409X13+4。

下面研究可否被17、19整除的简易判别法.回顾对比前面，由等式1001=7

X11X13的启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法.对于质数17,我们

有下面一些等式：

17X6=102,17X59=1003,17X588=9996,

17X5882=99994,

我们不妨从17X59=1003出发。

由于N=FEDCBA=丽乂1000+

=FEDX(1003-3)+而五

=FEDX1003+^A-3XFEDO

^^A-3XFED(modl7)。

(亦可在砺-3X函上加上17的适当倍数)。

因此，判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位

数与前面隔出数的3倍的差(大减小)是否被17整除。

例：N=31428576,判定既自否被17整除。

第步

28

一314

A

8

70

步：

第二

3

X

79

-2

）

3X3

（9

429

。

整除

被17

不能

以N

+4,所

X17

9=25

而42

？

17整除

否被

27能

6610

N=2

例：

956

步：

第二

61

26

步：

第一

21

-

3

义

)

(7x3

—

83

79

7

02

-

56

79

X17。

5=55

又93

除。

17整

N可被

所以

。

别法

易判

的简

19整除

导被

来推

下面

7.

3=100

19X5

=988,

19X52

子：

性式

关键

寻找

而天

0)+

100

X(

A=丽

EDCB

N=F

由于

OBA

7)+

07-

(10

DX

=FE

FED

-7X

+^A

007

DX1

=FE

9)。

odl

D(m

XFE

A-7

=CB

)。

倍数

适当