北师大版 数学九年级上册期末备考训练：菱形及其性质（三）

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。高斯

北师大数学九年级上册期末备考训练:

菱形及其性质（三）

1.如图，菱形仍⑦中，对角线力。与即相交于点。，点6是欧的中点，若力BD

=24cm,则位'的长为cm.

2.在菱形仍切中，/胡P=120°,AB=2,点£在直线比上，CE=3连接力区则线段力月

的长为.

3.已知菱形的两个相邻角度数之比为1：2,较短对角线的长为8cm,则菱形的周长cm.

4.如图，在菱形力砥9中，£是16边上一点，且/力=/即=60°,有下列结论：①力£=

BF,②△功%是等边一:角形；③△颂是等腰三角形；④NADE=/BEF,其中结论正确的

有.

5.如图，在菱形力比力中，尸是对角线力。上一动点，过点尸作/_L用于点£,PFLAB于点

F.若菱形力阳9的周长为20,面积为24,则用/的值为.

6.如图，在菱形池力中，AB=AC=\,点£〃分别为边力反应、上的点，UA£=BF,连接

CE、交于点"连接力/交47于点"则下列结论：Q赳ABF乌XCAE：②/FHC=/B；

③△/1仇△力。7；④s爰形做0=其中正确的结论是.

7.数学课上老师出示了下面一道题，请同学们据此补全结论，每写对一个结论得20分，写

错一个结论倒扣10分.

如图，在菱形力仇力中，N48C=60°,力8=6，点区Z7分别是⑦、月〃的中点，AE,CF

相交于点G,连接BG,交力。于点0.

请补全下列结论：

®ZAGC=,

②BG二,

③S四边形《陷；=,

④腐Q7=,

⑤/做=.

小明补全的结论为：①120°,②6&，③12的，④4的，⑤9加.如果你给小明批卷,

小明可得分.

8.如图，在平面直角坐标系*0，中，已知菱形力比〃的顶点力（3,3）,C（-1,-1）.对

角线劭交力。于点机交）轴于点也箱BN=2ND,则点"的坐标是

9.如图，四边形力吸刀的对角线力c、物互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形,

则这个条件可以是（只填一个即可）.

10.如图，分别以直角△/!阿的斜边月〃,直角边〃'为边向外作等边△相〃和等边

尸为力〃的中点，〃匠与仍交于点G,〃尸与然交于点兄/力）=90°,/的£30°.给

出如下结论:①瓯L/U；②四边形ADFE为菱形®11）=4AG；其中正确结论的为（请

11.已知平行四边形月比以请补充一个条件，使它成为菱形力仇N.你补充的条件是.

12.如图，已知在。。中，是弦，半径纥1月8,垂足为点〃要使四边形的%为菱形,

还需要添加一个条件，这个条件可以是.

13.已知力〃为的角平分线，点£卜'为孙4C的中点，连〃尔〃“使四边形月/:如为

菱形，则添加条件.（只填一个条件）

14.如图，两张等宽的长方形纸条交叉重置在一起，重叠的部分力筋是

15.如图，将两张长为18,宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个形（图形

形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于.

16.如果把两张等宽的纸条交叉叠放在一起，那么重叠部分的四边形是.（填特殊

的四边形）

17.（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面

积是.

18.如图，在比'中，/力5=90°,或为14边上的中线，过点力作4:工切于点区过

点月作平行线，交伤的延长线于点E在延长线上截得&7=切，连结47、DF.若BG

=11,AF=8,则四边形的面积等于

A

19.如图所示，将两条等宽的纸条重叠在一起，若/心=8,//16。=60°,则月4

20.用两块完全重合的等J要三角形纸片能拼出不同形状的图形，试写出一个

参考答案

1.解：•・•菱形力比〃中，.亿—10c勿，BD=24cm,

ACA-BD,OB=^-BD=12cm,OC=士■力C=5cm,

22

；・BC=doc24cB2=13cm,

•・•《是比’的中点，

:.0E=^rBC=6.5cm.

2

故答案为：6.5.

2.解：当点夕在菱形边配上时，如图1,

•••四边形4比方是菱形，

:,AIf=BC=2,N4%'=60°,

・•・△/唐。是等边三角形，

：,AC=AB=BC=2,/月比三90°,ZEAC=30°,

,:CE=3AC=2,

AE=虫;

当点£在6c延长线上时，如图2,

过点力作"_19于点片

■:CE=3

在Rt△力绪中，AF=^EF=CE+CF=2,

根据勾股定理，得

^=7AF2+EF2=VT-

则力〃的长为：73^77-

3.解：如图，:四边形/I比力是菱形,

：.AB=BC=CD=AD,AD//BC,

・・・N4*N物4180°,

VAABC,ZBAD=1：2,

・•・/力80=60°,/以Q120°,

是等边三角形，

：,AIf=HC=AC=^cnh

・•・菱形的周长=4X8=32（的）；

故答案为：32.

4.解：连接切，•・•四边形力灰。是菱形，

：.AD=AB,/ADB=kADC,AB//CD,

VZ/f=60°,

AZ//Zr=120°,NADB=60°,△力协是等边三角形,

:・AD=BD,

同理：/颂=60°,

即/力=/〃8我，

•・•/力砥N8然=60°,/BDE+4BDF=/EDF=6N,

:.4ADE=4BDF,

•・•在△/庞和△历方中，

'NADE=NBDF

<AD=BD，

ZA=ZDBF

:.AAD恒ABDF〈ASA、,

:・DE=DF,AE=BF,故①正确；

'：/EDF=60°,

・•・△以产是等边三角形,

・••②正确；

・•・/〃旗=60°,

：・4AED^/BEF=120°,

*：ZAE/^ZADE=180°-N力=120°,

:.NADE=4BEF；

故④正确.

■:丛ADI泾/\BDF,

:"E=BF,

同理：BE=CF,

怛BE不一定等于BF.

故③错误.

综上所述，结论正确的是①②④.

故答案为：①②④.

5.解：连结即如图，

•・•四边形ABCD为菱形,菱形力比刀的周长为20,

出1=BC=5»S^ABC=/S签形j/o=l2,

•s色处二s＞黑卡s△憎,

...《X5X/^^X5X^=12,

22

・•・小房=告24，

5

故答案为：警94.

0

AD

6.解：•・•四边形力比力是菱形，

：,AB=BQ

'：AB=AC,

：,AB=BC=AC,

即△力比'是等边三角形，

・•・/胡C=N6=60°,

同理：△4T是等边三角形

；・NQb9=60°,

rBF=AE

在△力所和中，，ZB=ZEAC

AB=CA

:.△ABM4CAE（SAS、）：

：./BAF=4ACE,EC=AF,

•：4FHC=4ACE+4FAC=4BAR/FAC=/BAC=6G,

：2FHC=/B,

故①正确，②正确；

•・・N6Wg600=4EAC^4HAC,

故③△力众陷△47/不正确：

•••△抽。是等边三角形，AB=AC=L

，△4%’的面积=退送=1

44

Vs

・•・菱形4比〃的面积=2Z\4T的面积=U,

2

故④不正确；

故答案为：①②.

7.解:7菱形力及中,

：.AB=BC=CD=DA=^,

•・・/椒7=60°,

/.zjzr=6o°,

•••△/厉。和△/!〃。是等边三角形，

/.AABC=ZBAC=ZCAD=60°,AC=AB=6,

•・•点£、尸分别是⑦、4。的中点，

・・・/。£=/%£=30。,/力内。=90°,

AZAGC=ZDAE+ZAFC=120°,

・••①正确；

VZC4^=3O,Z^46^60°,

・•・/劭6=90°,

同理/及%=90°,

在RtZ\/l仇;和Rt△的中，

fAB=CB

lBG=BG，

；・Rt△力8侬Rt△.（血）,

:.NABG=ZCBG=3G°,

：.AG=±BG,

2

由勾股定理得：陟=2«,

・••力G=4的,

・••②错误；

S四边形2邑.=2X%8・%=2X£X6X273=12加，

乙乙

・••③正确；

•・・Rt△力花丝Rt△曲

:・AG=CG,

，：BA=BC,

：.AO=CO=3tOGIAC,

在Rt△力例中，NO1G=30°,49=3,

AG=2OG,由勾股定理得：AG=2低,

:.CG=2近,

:・A5CG=4近,

正确;

在Rt△46。中，47=3,力夕=6,

由勾股定理得：/矽=3的，

：,玩4=之心B0=^X6X3G9的，

乙乙

・••⑤正确；

・•・小明得分为:20X4-10X1=70#,

故答案为：70.

8.解：作/!ELx轴于6既Lx轴于凡J仍_1_轴于R如图所示:

则加〃必；

•・•四边形力仇》是菱形，

:,MA=J心HB=MD,ACLBI),

•・•点力(3,3),-1,-1),

1),

：.OP=MP=1,△0W是等腰直角三角形，

：・4M0P=45°,

FACIBD,

•••△〃蛆，是等腰直角三角形，

:.MN=机),

:・NP=OP=3

,:BN=2ND,

:,BM=3MN,BN=AMN,

•里=迎=理J

••丽一丽―丽―I

:・NF=4NP=4,BF=4MP=4,

：.OF=NF-〃V=2,

・••点8(-2,4),

故答案为：(-2,4).

9.解：:在四边形/切⑺中，对角线4G劭互相平分,

・•・四边形力仇力是平行四边形，

・••当时，四边形月时是菱形.

故答案为：AC1.BD

10.解：:△/I。'是等边三角形，

：.ZEAC=^O°,AE=AC,

•・•/胡仁30“，

ZFAE=ZACB=90°,AB=2BC,

•“为"的中点，

；・AB=2AF,

:・BC=AF,

；・△/跳也△的，

：.FE=AB,

:・/AEF=/BAC=3G：

:・EFLAC,故①正确，

，：AD=BD,BF=AF,

・・・//ra=90°,尸=30°,

VZFAE=CAE=90°,

:.乙DFB=/EAF,

•：EFLAC,

・•・/力丹・30°,

:.4BDF=NAEF,

・•・△掰厘4(AAS'),

:・AE=DF,

'：FE=AH,

・•・四边形力〃也为平行四边形,

YAE二EF,

・•・四边形力灰石不是菱形；

故②说法不正确：

:.AG=\AF,

2

：.AG=^-AB,

4

•:AD=AB,

则力0=44£故③说法正确,

故答案为①③.

11.解：在平行四边形月瓦刀的基础上

①•・•菱形/1比〃是一组邻边相等的平行四边形，

・•・平行四边形/仍切中，只需添一个条件：邻边/1B=AD或/1D=CD；

②•・•菱形/切⑦的对角线互相垂直平分，

・••平行四边形力以力中，只需添一个条件：ACLBD.

故答案是：AC1BD或AB=BC等.

12.解：D0=CD.理由如下：

•・•在。。中，仍是弦，半径弦1/18,

：,AD=DB,

•:D0=CD,

：,AD=BD,D0=CD,ABA.CO,

・••四边形。忆、〃为菱形.

13.解：需加条件/出=力，，这样可根据三线合一的性质，得出〃是a'的中点，

根据中位线定理可得，应'平行且等于力用则力面为平行四边形，又可得力则四

边形力麻为菱形.

则添加条件：AB=AC.

14.解：过点力作力£L比于eAF人CD于F,如图，

•・•两条纸条宽度相同，

：.AE=AF.

'：AB//CD,AD//BC,

・•・四边形/切切是平行四边形.

■:Sa&bBGAE=O>AF.

又YAE=AF.

:.BC=CD,

・•・四边形/I成刀是菱形；

故答案为：菱形.

15.解：重叠部分是一个菱形，

当两张纸条如图1所示放置时，菱形周长最大,

设这时菱形的边长为xcm,

由勾股定理：（18-B2+62,

解得：x=10,

・・・4x=40,

即菱形的最大周长为

当两张纸条如图所2示放置时，即是正方形时取得最小值为：4X6=24.

6

图2

・•・菱形周长的最大值与最小值的和是40-24=16,

故答案为：16.

16.解：过点力作力£1%于其AFLCD千F,

•・•两条纸条宽度相同，

：.AE=AF.

'：AB//CD,AD//BC,

・•.四边形力8⑦是平行四边形.

.：S、、AkBOAE=C%AF.

又*：AE=AF.

:.BC=CD,

・•・四边形/I/加9是菱形.

故答案为：菱形.

17.解：如图：根据题意得：AD〃BC,BF"DE,