高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理(3大考点+强化训练)(原卷版+解析)

培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．知识导图考点分类讲解考点一：向量极化恒等式极化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.变式：(1)a·b＝eq\f(a＋b2,4)－eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.规律方法利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围是________．【变式】．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点二:平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．【例2】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则O为△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心【变式2】(2023·安阳模拟)如图，已知O是△ABC的垂心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()A．1∶2∶3 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．2∶3∶6考点三:等和(高)线定理等和(高)线平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0；(5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．规律方法要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线．【例3】．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．1【变式3】已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B． C． D．强化训练一、单选题1．如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（

）A．13 B．7 C．5 D．32．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．3．设向量满足，，则=A．1 B．2 C．3 D．54．已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．6．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．17．在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是A． B． C． D．8．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(

)A．2 B．3 C． D．9．如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为A．3 B．2 C． D．211．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（

）A． B． C． D．12．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（

）A． B． C． D．13．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（

）A． B． C． D．14．已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（

）A． B． C． D．二、多选题15．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（

）A．若是的重心，则有B．若成立，则是的内心C．若，则D．若是的外心，，，则16．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（

）A．为的外心B．C．D．17．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（

）A．若，则B．若，，，则C．若O为△ABC的内心，，则D．若O为△ABC的垂心，，则18．在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（

）A．，B．当点为中点时，C．的最大值为D．满足的点有且只有一个三、填空题19．在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是．20．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为.21．如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为，与的夹角为,且，，若,则的值为.22．（22-23高三上·江苏南通·期中）如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=．23．已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为；如果直线与相交于点，则的最小值为.24．在锐角三角形ABC中，已知，则的取值范围是．25．四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为.26．点为内一点，，则的面积之比是.培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．知识导图考点分类讲解考点一：向量极化恒等式极化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.变式：(1)a·b＝eq\f(a＋b2,4)－eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.规律方法利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围是________．【答案】[39,55]【解析】由向量极化恒等式知eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－|eq\o(BE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－9.又△ABC是边长为8的等边三角形，所以当点P位于点A或点C时，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最大值8.当点P位于AC的中点时，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最小值，即|eq\o(PB,\s\up6(→))|min＝8sineq\f(π,3)＝4eq\r(3)，所以|eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围为[4eq\r(3)，8]，所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围为[39,55]．【变式】．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D考点二:平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．【例2】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案.【详解】由得，由得，根据平面向量基本定理可得，，所以，，延长交于，延长交于，则，又，所以，所以为的平分线，同理可得是的平分线，所以为的内心.故选：B【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则O为△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心【答案】B【解析】记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝eq\f(1,2)a·h2，S△OAC＝eq\f(1,2)b·h3，S△OAB＝eq\f(1,2)c·h1，因为S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(1,2)a·h2·eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)b·h3·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)c·h1·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即a·h2·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·h3·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·h1·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又因为a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以h1＝h2＝h3，所以点P是△ABC的内心．【变式2】(2023·安阳模拟)如图，已知O是△ABC的垂心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()A．1∶2∶3 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．2∶3∶6【答案】A【解析】O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，因此，eq\f(S△BOC,S△AOC)＝eq\f(\f(1,2)OC·BP,\f(1,2)OC·AP)＝eq\f(BP,AP)＝eq\f(OPtan∠BOP,OPtan∠AOP)＝eq\f(tan∠BAC,tan∠ABC)，同理eq\f(S△BOC,S△AOB)＝eq\f(tan∠BAC,tan∠ACB)，于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，由“奔驰定理”有S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.考点三:等和(高)线定理等和(高)线平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0；(5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．规律方法要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线．【例3】．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.【变式3】已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．【详解】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题．强化训练一、单选题1．如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（

）A．13 B．7 C．5 D．3【答案】C【分析】根据向量的加法和减法法则表示、，再根据向量数量积运算公式计算，即可求出结果．【详解】连结，则，，，所以.故选：C.【点睛】该题考查向量运算及向量的数量积公式的应用，两个向量加减法及其几何意义，属于中档题目．2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．3．设向量满足，，则=A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【详解】因为，，两式相加得：，所以，故选A.考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键．4．已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点为，利用表达，利用向量数量积运算公式计算，得到，从而得到与反向共线时取得最小值，当与同向共线时，取得最大值，从而得到取值范围.【详解】，设的中点为，在半径为的圆中，，得，，，即，当与反向共线时，取得最小值；当与同向共线时，取得最大值；即的取值范围是；故选：D5．在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设,且，结合向量数乘、加法的几何意义可得，再由已知条件即可得的值.【详解】由题意，，且，而，所以，即，由已知，则，选项D正确.故选：D6．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据给定条件探求出，结合转化为二次函数并求函数的最小值即可.【详解】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，于是得，而，且与不共线，则，即有，因此，，当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，所以的最小值为.故选：C7．在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出图形，利用、表示出，再利用表示出，求出λ与μ，然后利用对勾函数的单调性求的取值范围．【详解】如图所示，△ABC中，，∴（），又点E在线段AD（不含端点）上移动，设k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上单调递减，∴λ的取值范围为（，+∞），故选C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，是中档题．8．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(

)A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】用和表示，根据E、O、F三点共线可得，利用和基本不等式可求的最小值，再根据的最小值为3即可求出t的值．【详解】，∵E、O、F三点共线，∴，∵m>0，n>0，t>0，∴，当且仅当时取等号，∴．故选：B．9．如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐标系，将由点坐标转化后数形结合求解【详解】以点为坐标原点，方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则，，设，则，解得，故，即，数形结合可得当时，取最小值2，当直线与圆相切时，，取得最大值.故选：B10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为A．3 B．2 C． D．2【答案】A【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设,易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.11．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论．【详解】解：为三角形内一点，且满足，，．，故选：D．12．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答.【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则，，因此，，同理，于是得，又，即，由“奔驰定理”有，则，而与不共线，有，，即，所以.故选：A13．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过作，根据平面向量基本定理求得，即可求得与的面积之比.【详解】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：由，故，所以与的面积之比为，故选：D．14．已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比【详解】解：，，如图：

，，、、三点共线，且，为三角形的中位线而，，的面积之比等于故选：．【点睛】本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键二、多选题15．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（

）A．若是的重心，则有B．若成立，则是的内心C．若，则D．若是的外心，，，则【答案】AB【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可；对于B：利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等.对于C：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，所以，，同理可得、，所以，又因为，所以.正确；对于B：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心，正确；对于C：因为，所以，所以，所以，所以，化简得：，又因为不共线，所以，所以，所以，错误；对于D：因为是的外心，，所以,，所以，因为，则，化简得：，由题意知同时为负，记，，则，因为，所以，所以，所以，错误.故答案为：AB.16．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（

）A．为的外心B．C．D．【答案】BCD【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项．【详解】解：因为，同理，，故为的垂心，故A错误；，所以，又，所以，又，所以，故B正确；故，同理，延长交与点，则，同理可得，所以，故C正确；，同理可得，所以，又，所以，故D正确．故选：BCD．17．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（

）A．若，则B．若，，，则C．若O为△ABC的内心，，则D．若O为△ABC的垂心，，则【答案】ACD【分析】对A，由奔驰定理即可判断；对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求；对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得；对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得，结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得，如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对；对B，，由得，故，B错；对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对；对D，若O为△ABC的垂心，则，，又，同理，∴，∵，则，且如图，分别为垂足，设，，则，又，故，由，解得，由，故，D对故选：ACD18．在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（

）A．，B．当点为中点时，C．的最大值为D．满足的点有且只有一个【答案】ABC【分析】建立坐标系，将四边形的四个点的坐标求出来，利用坐标逐一判断即可.【详解】解：如图，建立直角坐标系，其中设点，则，由，，故A正确，对于，当点为中点时，，，B正确；对于，(此时，即P与C重合时取最大值1)，C正确对于，由令，满足条件的点不只有一个，如和，D错误．故选：ABC.三、填空题19．在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是．【答案】【分析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出的取值范围.【详解】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.

则.不妨设.因为，所以，解得：，所以.因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.所以当时最大；当时最小.所以的取值范围是.故答案为：.20．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为.【答案】【分析】先利用向量的线性运算得到关于与的