高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)第14讲　直线与圆(3大考点+强化训练)(原卷版+解析)

第14讲直线与圆（3大考点+强化训练）[考情分析]1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．知识导图考点分类讲解考点一:直线的方程1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．【例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1】（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（

）A． B． C． D．【变式3】（2023高三·全国·专题练习）过点且与直线平行的直线方程为.考点二:圆的方程1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【例4】（2024·江苏·一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（

）A． B．C． D．【变式1】（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（

）A．3 B．4 C．8 D．6考点三:直线、圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．【例3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）“圆心到直线的距离小于圆的半径”是“直线与圆相交”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（2024·广东佛山·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D． E．均不是【变式3】（2024·福建漳州·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则．考向2圆与圆的位置关系【例3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（

）A． B． C．3 D．6【变式1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·广西来宾·一模）若曲线与的图象有3个交点，则.【变式3】（2023·河北衡水·三模）若圆和有且仅有一条公切线，则；此公切线的方程为【变式4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．内含 D．内切【变式5】（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（

）A． B．C． D．强化训练一、单选题1．（23-24高三上·河南焦作·期末）若圆与轴相切，则（

）A．1 B． C．2 D．42．（2024·四川·模拟预测）已知直线经过点，则的最小值为（

）A．4 B．8 C．9 D．3．（2024·四川南充·二模）已知圆，直线与圆C（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切4．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知点A为曲线上的动点，B为圆上的动点，则的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．5．（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（

）A． B． C． D．6．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（

）A． B． C． D．8．（2023·浙江温州·模拟预测）设，，已知函数，有且只有一个零点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题1．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知直线，圆，且圆过点，直线与圆交于两点，下列结论中正确的是（

）A．圆的半径为2B．直线过定点C．的最小值是D．的最大值是02．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）直线：，圆：，则下列结论正确的是（

）A．直线经过定点且与圆恒有两个公共点B．圆心到直线的最大距离是2C．存在一个值，使直线经过圆心D．不存在使得圆与圆关于直线对称3．（23-24高三上·福建·阶段练习）已知直线l：与圆C：，点P在圆C上，则（

）A．直线l过定点B．圆C的半径是6C．直线l与圆C一定相交D．点P到直线l的距离的最大值是三、填空题1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数在，处分别取得极大值和极小值，记点，，的图象与轴正半轴的交点为.若的外接圆的圆心在以为直径的圆上，则.2．（2024·河南郑州·模拟预测）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为，且，△ABC的垂心在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程.3．（2024·陕西·模拟预测）若直线与曲线有公共点，则实数的范围是.四、解答题1．（2024高三·全国·专题练习）设抛物线，点，，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：．2．（2024高三·全国·专题练习）已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点.求点的轨迹的方程.3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点，(1)当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心.(2)当时，求直线的方程.4．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点.(1)求圆和抛物线的方程；(2)过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别做抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由．5．（23-24高三上·天津·期末）设，两点的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为.(1)求的方程(2)设直线与交于，两点，若的外接圆在处的切线与交于另一点，求的面积.第14讲直线与圆（3大考点+强化训练）[考情分析]1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．知识导图考点分类讲解考点一:直线的方程1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．【例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当时，直线与平行；当直线与平行时，有且，解得，故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C【变式1】（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据直线的垂直关系可得，利用基本不等式即可求得答案.【详解】因为直线与直线垂直，所以，即，所以，当且仅当或时等号成立．即的最小值为4，故选：B【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断与的位置关系，可知两直线交点轨迹为圆，然后挖去点，转化为圆心到直线的距离求解即可.【详解】由两直线垂直的判断条件，可知，所以直线与始终垂直，又由条件可得直线恒过定点，直线恒过定点，所以两直线的交点是在以线段为直径的圆上，所以该圆的圆心坐标为，半径为，圆上点是过定点且斜率不存在的直线与过定点且斜率为0的直线的交点，故挖去点.圆心到直线的距离，所以，与的交点到直线的距离的最大值和最小值分别为和，又到直线的距离为，应舍去，所以取值集合是.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用直线垂直的性质与过定点的知识，判断得两直线的交点是在以线段为直径的圆上，从而得解.【变式3】（2023高三·全国·专题练习）过点且与直线平行的直线方程为.【答案】【分析】根据题意设所求直线为，然后将点的坐标代入可求出，从而可求得直线方程【详解】设所求直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，故所求直线方程为.故答案为：考点二:圆的方程1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【例4】（2024·江苏·一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案.【详解】的外接圆设为，，解得，外接圆方程为，即，易知外接圆在处切线方程为，又，令得，，，在处切线方程为，又，令得，，则三角形的线的方程为，即故选：B.【变式1】（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（

）A．3 B．4 C．8 D．6【答案】D【分析】设圆的方程为，代入坐标得的值，即可得圆的方程，再令，即可求得与轴相交弦长.【详解】设圆的方程为，代入点，，，则，解得，可得，整理得符合题意，所以圆的方程为，令，可得，解得，所以．故选：D.考点三:直线、圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．【例3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由圆的定义可知点的轨迹为圆，再由圆的方程即可得到结果.【详解】因为，所以点到圆心的距离恒为，所以点的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆，即，故选：B【变式1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）“圆心到直线的距离小于圆的半径”是“直线与圆相交”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】根据直线与圆的位置关系的判断可知，“圆心到直线的距离小于圆的半径”是“直线与圆相交”的充要条件.故选：C【变式2】（2024·广东佛山·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D． E．均不是【答案】B【分析】得到圆的圆心与半径后，借助切线性质可得，即可得，即可得.【详解】圆可化为，即圆心为，半径为，故圆心到点的距离为，则，由，故，故.故选：B.【变式3】（2024·福建漳州·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则．【答案】81【分析】由题意可知点在以为直径的圆上，结合两圆相交可得直线的方程为，再根据直线与圆相切列式求解.【详解】圆：的圆心为，半径；圆：的圆心为，半径；由题意可知：，可知点在以为直径的圆上，以为直径的圆为，整理得，结合圆：，两圆方程作差，可得直线的方程为，即，若直线与圆：相切，则，整理得.故答案为：81.考向2圆与圆的位置关系【例3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【分析】判断圆与需外切，求出的方程，进而求得圆的公切线方程，再根据弦长的几何求法，即可求得答案.【详解】如图，由已知的圆心为，半径为，设的半径为，由题意知圆与需外切，否则圆无公切线或公切线（倾斜角为钝角）与圆无交点；由题意知，即；，即，故圆，圆，设圆的公切线方程为，则，解得，即，故到的距离为，故，故选：B【变式1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】联立圆与圆的方程，解得两交点坐标，即可求得圆的半径，从而可得答案.【详解】解：联立，解得：或，所以圆的半径为：，所以的面积为.故选：B．【变式2】（2024·广西来宾·一模）若曲线与的图象有3个交点，则.【答案】【分析】根据题意可知曲线过坐标原点，从而建立方程，即可求解.【详解】曲线曲线表示以为圆心，半径为的圆，曲线表示直线或，因为两个曲线的图象由3个交点，如图所示，曲线过坐标原点，故.故答案为：.【变式3】（2023·河北衡水·三模）若圆和有且仅有一条公切线，则；此公切线的方程为【答案】1【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出斜率即可求解.【详解】如图，

由题意得与相内切，又，所以，所以，解得，所以，．联立，解得所以切点的坐标为，故所求公切线的方程为，即．故答案为：1；【变式4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．内含 D．内切【答案】C【分析】首先由圆心到直线距离是列式求出的值，进而可得圆心的坐标以及圆的半径，比较两圆圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系即可求解.【详解】圆即圆的圆心半径分别为，圆的圆心半径分别为，因为，解得或（舍去），从而，所以，因为，所以圆M与圆的位置关系是内含.故选：C.【变式5】（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．【详解】圆，圆心，半径，，圆心，半径，由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，，，的中点，圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，故的方程：，即,故C正确．故选：C．强化训练一、单选题1．（23-24高三上·河南焦作·期末）若圆与轴相切，则（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【分析】求出圆心和半径，数形结合得到且，得到答案.【详解】的圆心为，半径为，因为圆与轴相切，所以且，解得故选：D2．（2024·四川·模拟预测）已知直线经过点，则的最小值为（

）A．4 B．8 C．9 D．【答案】B【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为直线经过点，所以，所以，当且仅当，即、时取等号.故选：B3．（2024·四川南充·二模）已知圆，直线与圆C（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】D【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线过定点，结合圆的方程分析可得在圆上，据此由直线与圆的位置关系分析可得直线与圆一定相交或相切，即可得答案．【详解】根据题意，直线的方程为，恒过定点，设为，又由圆，即，其圆心为，半径，由，则在圆上，则直线与圆相交或相切.故选：D．4．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知点A为曲线上的动点，B为圆上的动点，则的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】数形结合分析可得，当时能够取得的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为1，由对勾函数的性质,可知，当且仅当时取等号，结合图象可知当A点运动到时能使点A到圆心的距离最小，最小值为4，从而的最小值为.故选：A5．（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线垂直确定轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求解.【详解】由可得，即过定点，由可得，即过定点，又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点），其中圆心为，半径为，所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1，只需圆心到直线的距离等于1，即，解得，此时到直线的距离不为1，故符合.故选：B6．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过O作于C，过N作于D，根据等面积求出，运用在直角三角形等知识求出结果.【详解】设直线与y轴的交点为B，过O作于C，过N作于D，因为N在直线上且在第二象限内，设，则，又，即，所以，在中，由三角形的面积公式得：，所以，在中，，所以，即，在中，，即，解得：，因为N在第二象限内，所以，所，所以，故选：A.7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由、可得，且过定点，过定点，则可得点在以为直径的圆上，则的最大值为.【详解】由、，有，故，对有，故过定点，对有，故过定点，则中点为，即，，则，故点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为，又在原，该圆圆心为，半径为，又，则.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、的方程得到，且过定点，过定点，从而确定点的轨迹为以为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.8．（2023·浙江温州·模拟预测）设，，已知函数，有且只有一个零点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设函数的零点为，可得，由此可得点在直线上，由此可得，再利用导数求其最小值.【详解】函数的零点为，则，且，即，所以点在直线上，又表示点到原点的距离的平方，故，所以，设，则，故，设，则，因为，所以，所以函数在上单调递减，所以当时，，故当时，，函数在上单调递增，所以.所以当，时，取最小值，最小值为.所以当时，的最小值为.故选：B.【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点之间的距离，利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想.二、多选题1．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知直线，圆，且圆过点，直线与圆交于两点，下列结论中正确的是（

）A．圆的半径为2B．直线过定点C．的最小值是D．的最大值是0【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出圆的方程，结合圆的性质及数量积定义依次判断各选项即可.【详解】由圆过点，得，圆的圆心，半径，A正确；直线，由，得，即直线过定点，B正确；显然点在圆内，，当时，，C错误；当弦长最小时，圆心角最小，此时，则，因此，当且仅当时取等号，D正确.

故选：ABD2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）直线：，圆：，则下列结论正确的是（

）A．直线经过定点且与圆恒有两个公共点B．圆心到直线的最大距离是2C．存在一个值，使直线经过圆心D．不存在使得圆与圆关于直线对称【答案】AC【分析】利用直线过定点的求法，结合点圆位置关系判断A；利用圆心到直线的最大距离判断B；将圆心直接代入直线判断C；利用点关于直线对称的性质判断D.【详解】对于A，因为直线：，可化为，令，解得，故直线过定点，而，所以点在圆内，所以直线经过定点且与圆恒有两个公共点，故A正确；对于B，因为圆：的圆心为，半径为，所以圆心到定点的距离为，所以圆心到直线的最大距离是，故B错误；对于C，将圆心代入直线，得，解得，所以存在，使直线经过圆心，故C正确；对于D，因为圆的圆心为，所以两圆圆心所成线段的中点坐标为，恰为直线所过定点，同时两圆圆心所在直线的斜率为，要使两圆关于直线对称，则只需直线的斜率为，又直线：，所以，其斜率为，解得，显然存在满足题意，故D错误.故选：AC.3．（23-24高三上·福建·阶段练习）已知直线l：与圆C：，点P在圆C上，则（

）A．直线l过定点B．圆C的半径是6C．直线l与圆C一定相交D．点P到直线l的距离的最大值是【答案】BC【分析】求解直线经过的定点，圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可．【详解】直线l：，即由，解得，则直线l过定点，故A错误；圆C：，即，则圆C的圆心坐标为，半径为6，故B正确；因为点与的距离为，则点在圆C的内部，所以直线l与圆C一定相交，故C正确；点P到直线l的距离的最大值是，故D错误．故选：BC．三、填空题1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数在，处分别取得极大值和极小值，记点，，的图象与轴正半轴的交点为.若的外接圆的圆心在以为直径的圆上，则.【答案】/【分析】方法一：由题意求得点的坐标，利用待定系数法求得圆的方程，结合向量的运算，建立方程，可得答案；方法二：由题意求得点的坐标，利用几何法求得圆的方程，结合向量的运算，建立方程，可得答案.【详解】方法一：，或；，或.的图象与轴正半轴交点为，则，.在和单调递增，单调递减，且，，外接圆：，，∴，圆心，在以为直径的圆上.∴，∴，∴，∴.方法二：∵的图象与轴正半轴交于，∴，大致图象如下图：∴，，令，解得或，∴，，∴，，故中垂线方程：，中垂线方程，∴，则，，∴，∴.故答案为：.2．（2024·河南郑州·模拟预测）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为，且，△ABC的垂心在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程.【答案】【分析】首先根据塞尔瓦定理以及圆的几何性质，求解和，并求直线的方程，求解点的坐标，即可求解圆的方程.【详解】由△ABC的垂心到直线BC距离，设圆E半径为r，由塞尔瓦定理可得，由圆的几何性质可得，联立解得，，因为直线BC方程为，,且，所以直线EG方程为，设，则E到直线BC距离，解得（舍去）或，所以圆E的标准方程为．故答案为：3．（2024·陕西·模拟预测）若直线与曲线有公共点，则实数的范围是.【答案】【分析】当时，可求得直线与曲线的公共点；当时，直线恒过定点，斜率为，曲线为圆心为，半径为的上半圆，画图观察可得，进而可求得结果.【详解】①当，即时，直线为（即轴），，即直线与曲线的公共点为，故符合题意；②当，即时，直线为恒过定点，斜率为，又因为曲线：，所以曲线为圆心为，半径为的上半圆.如图所示，当直线经过半圆的右端点时恰好有公共点，逆时针旋转至轴都满足题意，又因为，所以，解得，综述，实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题1．（2024高三·全国·专题练习）设抛物线，点，，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：．【答案】(1)或.(2)证明见解析【分析】（1）先写出轴时直线l的方程；再将直线l的方程和抛物线方程联立，求出点的坐标，最后利用斜率公式和点斜式方程即可求解.（2）根据直线l斜率是否存在分两类讨论；当直线l斜率不存在时，利用抛物线的对称性即可证明；当直线l斜率存在时，设出直线l方程，联立直线l的方程和抛物线方程，利用韦达定理和斜率公式可得出，进而可证明.【详解】（1）当轴时，直线.联立方程组，整理得：，则点或.因为，所以或.所以直线的方程为：或，即直线的方程为：或．（2）【基本解法1】当直线l斜率不存在时，由抛物线的对称性可得：点关于轴对称，此时．当直线l斜率存在时，可设直线方程为.联立方程组，整理得：.易得，设点，则，所以，即，所以.【基本解法2】依题意，直线l斜率不为0，设直线方程为，联立方程组，整理得：.易得，设点，则，所以，即，所以.【基本解法3】当直线l斜率不存在时，由抛物线的对称性可得：点关于轴对称，此时．当不与轴垂直时，设.因为点都在直线上，故有，即，解得，所以，即，所以.2．（2024高三·全国·专题练习）已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点.求点的轨迹的方程.【答案】【分析】根据题意得，从而判断点的轨迹为以为焦点的双曲线，根据双曲线定义求解即可.【详解】由得，其半径为4，因为线段的垂直平分线与直线交于点，故，则，而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线，则，故点的轨迹的方程为.【点睛】本题关键在于，从而判断轨迹为双曲线，再根据定义即可求解.3．（23-24高三上·广东深