北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.已知全集且，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，故，，故，故选：D.2.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】原不等式即为即，故，故，故选：D.3.某科研院所共有科员人员800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的240人，无职称的80人，欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定采取分层抽样的方法抽取样本，其中含无职称的8人，则共抽取（）A.20人 B.40人 C.60人 D.80人【答案】D【解析】无职称的占比为：，所以共抽取人，故选：D4.以下茎叶图中甲组数据的75%分位数和乙组数据的方差分别是（）A.168.5，65.7 B.168.5，41.7 C.170，41.7 D.170，65.7【答案】C【解析】甲组数据从小到大排列为：，因为，所以甲组数据的75%分位数是第五个数据，为；乙组数据为：，其平均数为：，其方差为：故选：C.5.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A，的定义域为R，是偶函数，且在上单调递减，A是；对于B，当时，在上单调递增，B不是；对于C，函数的定义域为R，图象关于不对称，不是偶函数，C不是；对于D，当时，在上单调递增，D不是.故选：A6.已知幂函数，则“”是“在其定义域上是增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，，定义域为，但在定义域上不是增函数；若幂函数在其定义域上是增函数，由其性质可以推出，故“”是“在其定义域上是增函数”的必要不充分条件，故选：B.7.已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】，故，，，故，故选：B.8.人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为），另一种是隐性基因（记为）；基因总是成对出现（如），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮；有一对夫妻，父亲的基因为，母亲的基因是，不考虑基因突变，则他们的孩子是单眼皮的概率为（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因.则所有的基本事件有：，共4个基本事件，孩子要是单眼皮，成对的基因只能是，因此所求概率为.故选：C9.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在同一坐标系内作出函数的图象，如图，观察图象知，当且仅当时，函数的图象不在直线的下方，所以不等式的解集是.故选：A10.方程的实数解个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】原方程等价于即，设，因为均为上的减函数，所以为上的减函数，而，，所以为上仅有一个零点即原方程只有一个实数解.故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知，，则的最大值为______，最小值为______.【答案】62【解析】设的夹角为，则，因为，，所以，因为，所以，所以，即，所以的最大值为6，最小值为2.故答案为：6；2.12.已知在平行四边形ABCD中，E是BD边上中点，，，用，分别表示向量______，______.【答案】【解析】，而为的中点，故，即，所以，故答案为：；.13.已知，则的值为______.【答案】【解析】因为，所以，所以，故.故答案为：.14.已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立.【答案】【解析】，当且仅当即时等号成立，故的最大值为，此时，故答案为：；.15.人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论：①等级为0dB的声音的强度为；②函数在定义域上是增函数；③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10；④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②③【解析】对于①，由即，可得，因此等级为0dB的声音强度为，故①正确；对于②，令，则，易知和在上单调递增，由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故②正确；对于③，设，则，解得．设，同理可得．因此所求两种等级声音的强度之比为，故③正确；对于④，设，则，解得．设，同理可得．因此所求两种等级声音的强度之比为，故④错误.故答案为：①②③.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.（1）求方程的解集；（2）求不等式的解集；（3）求方程组的解集；（4）已知一元二次方程的两根为与，利用一元二次方程根与系数关系求的值.解：（1）即为，所以即，故方程的解集为；（2）即为，故不等式的解集为，（3）由可得，整理得到，所以或，故方程组的解为或，故方程组的解集为.（4）由韦达定理可得，故.17.计算下列各式的值或简化下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）.（2）.（3）.（4）.18.已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下：A组11121314151617B组131416171815a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；（2）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（3）写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明）解：（1）设事件为＂甲是组的第i个人＂，事件为＂乙是B组的第i个人＂，.由题意，得由题意可知，事件＂甲的康复时间不少于14天＂等价于＂甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人＂，所以甲的康复时间不少于14天的概率是．（2）设事件C为＂甲的康复时间比乙的康复时间长＂，由题意，得因此．（3）A组病人康复时间平均数为：，其方差为：.B两组病人康复时间平均数为：其方差为：依题意：，解得或19.（1）比较下列各题中两个值的大小，并说明理由：①与；②与；③与0；④已知实数a，b满足，与的大小.（2）设，其中且，比较与的大小，并证明.解：（1）①函数在R上单调递减，，所以；②函数在上单调递减，，所以；③函数在上单调递增，，所以；④函数在上单调递增，由，得，函数在上单调递减，所以.（2）函数，，，由，得，当时，，因此；当时，，因此.20.已知函数.（1）求函数的定义域、值域；（2）判断的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，求出反函数的解析式；（3）如果，求m的取值范围；（4）令，已知是偶函数，求a的值.解：（1）函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，值域为.（2）函数存在反函数，函数在上单调递增，对每个函数值，都有唯一自变量与之对应，因此存在反函数，由，得，，所以的反函数为.（3）函数在上单调递增，由，得，解得，所以m的取值范围是.（4）依题意，，其定义域为R，由是偶函数，得，则，整理得，而不恒为0，所以，即.21.设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有3个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”.（1）当时，判断6和4是否为集合的“相关数”，说明理由；（2）若m为集合的“相关数”，判断是否为集合的“相关数”，请说明理由，并证明.解：（1）当时，，.的含有个元素的子集为，其中，，，满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10，所以是集合的“相关数”.的含有个元素的子集，其中任意个元素的和都不等于10，不满足对于的含有个元素的子