上海市闵行六校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

第1页/共1页2024学年第一学期期末考试高二数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，满分150分．2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若点直线，且直线平面，则________.（填合适的符号）【答案】【解析】【分析】由点线面的位置关系判断即可.【详解】点直线，且直线平面，则，故答案为：2.直线的一个法向量为______．【答案】【解析】【分析】先求得直线的斜率，由此求出与其垂直的直线的斜率，进而求得直线的一个法向量.【详解】直线的斜率为，故与其垂直的直线的斜率为，故直线的一个法向量为.故答案为：.3.如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为_________.【答案】【解析】【分析】利用原图和直观图的对应关系将直观图还原，即可得到原三角形的面积.【详解】如图，将直观图还原，则，的面积为.故答案：2.4.已知向量平行于向量，则________．【答案】【解析】【分析】根据共线向量定理可求的值，故可求的值.【详解】因为，故存在实数，使得，故，故，故，故，故答案为：.5.直线与直线的夹角的大小是_____.【答案】##【解析】【分析】利用两直线夹角公式去求解即可.【详解】线与直线的斜率分别为，由直线的夹角公式可得，又，所以.故答案为：.6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则________．【答案】【解析】【详解】试题分析：，．考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．7.如图所示，在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，周长的最小值为________．【答案】【解析】【分析】将三棱锥沿着剪开，将侧面、、延展至同一平面，计算出的长，即为周长的最小值.【详解】如图，将三棱锥沿侧棱剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段的长即为所求的周长的最小值．取的中点，连接，则，.在中，，则，即周长的最小值为.故答案为：.【点睛】研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．8.某圆锥的底面半径为1，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形.则该圆锥的侧面积为_____.【答案】【解析】【分析】根据题意可得圆锥的母线长为，即可得求侧面积.【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，所以该圆锥的侧面积为.故答案为：.9.在如图所示的圆柱中，是底面圆的直径，是圆柱的母线，且，点是底面圆周上的一点，且，则直线与平面所成的角的正切值为_____．【答案】##【解析】【分析】根据线面垂直可得为直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】由于点是底面圆周上的一点，故,又平面，平面，故平面，故平面，故为直线与平面所成的角，由于，，故,故,故答案为：.10.有下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②侧棱垂直于底面棱柱是直棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中，正确的命题是________．(填序号)【答案】②③④【解析】【详解】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确；③正确，如图，正方体中的三棱锥C1ABC四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．【考查意图】空间几何体的结构特征．11.台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为_____．【答案】1【解析】【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论．【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中；当是图一时，如图：关于的对称点为，关于的对称点为；

如图；根据直线的对称性可得：；当是图2时，如图：关于的对称点为，关于的对称点为，

如图：根据直线的对称性可得：；因为，则，故只有.故答案为：1．12.如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面上的动点，若存在唯一的点P满足，则________.【答案】4【解析】【分析】由球面的性质结合已知可得线段为直径的球与平面相切，取线段中点，在直角梯形中计算求解.【详解】直四棱柱的底面是边长为4的正方形，以线段为直径构造球，则点与球上任意一点（除外）均能构成直角，因此该球与平面相切时存在唯一P点，使得，取线段中点，连接，则平面，而平面，于是，则，，在直角梯形中，,，，则，所以.故答案为：4.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知直线平面，则“直线”是“”的（）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】若直线平面，，则直线平面或；若直线平面，直线，则，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．14.若直线与直线平行，则它们之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据两直线平行求出，再利用两平行线间距离公式求解即可.【详解】依题意可得，解得，则直线方程为，而方程，即，所以两条平行线间的距离为.故选：B.15.正方体中，为线段，上的一个动点，则下列错误的是（）A. B.平面C.三棱锥的体积为定值 D.直线直线.【答案】D【解析】【分析】结合正方体的性质，利用线面平行和垂直的性质定理和判定定理分别进行判断证明．【详解】解：．在正方体中，，，，面，面，，正确．．平面，平面成立．即正确．．三棱锥的底面ΔABC为定值，锥体的高为定值，锥体体积为定值，即正确．．，直线错误．故选．【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．16.在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（）A.6个 B.4个 C.3个 D.2个【答案】C【解析】【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果.【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类显然与所成角的正切值为，故大于，与所成角的为，大于，与所成角的余弦值为，角大于，与所成角的正切值为，小于，当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足；依此类推，当点在上运动时，都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个.故选：【点睛】方法点睛：利用类似于函数的零点存在性定理的方式，通过确定角度的变化规律，找到变化过程中的临界点，通过一上一下两点的角度变化特点得到是否存在满足要求的点.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点．（1）证明：；（2）求二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可利用线面垂直的性质求解，（2）根据线面垂直的性质可得，，故可得为所求的平面角，即可利用三角形的三边关系求解.【小问1详解】由于三棱柱为直三棱柱，且、分别是、的中点，故平面，故平面，故，又，故,平面，故平面，又平面，故【小问2详解】由于，，故，即，取中点为，连接,由（1）知平面，故平面，故，又故，平面，故平面，平面，故，因此为二面角的平面角，由于,故，结合为锐角，故,18.已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.（1）求直线的方程；（2）直线恒过定点，求点到直线的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程；（2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案.【小问1详解】由题可得，，则，，∴直线的斜率，且直线过点，∴由直线的点斜式方程得，即；【小问2详解】∵直线化简得：，令，解得，∴定点，则点到直线的距离，∴到直线的距离为.19.如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，又设，，；（1）用向量，，的线性组合表示向量，；（2）求两条异面直线，所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解，（2）根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】；【小问2详解】由四面体各棱长均为2，可知四面体为正四面体，所以，，两两夹角为，因此，，，由于两条异面直线，所成角，所以两条异面直线，所成角为.20.如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．（1）求直线的倾斜角的取值范围．（2）是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？（3）设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围．【答案】（1）（2）不存在，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）观察点运动时，直线与线段（不包括端点）有无公共点，数形结合可得出直线的倾斜角的取值范围；（2）假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，求出直线的斜率，由题意可知，求出直线的斜率，结合（1）中的结论判断即可；（3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论.【小问1详解】解：由图可知，点在第一象限，设点，因为，，则，所以，，解得，即点，由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大，当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点，当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点，且直线的斜率为，直线的倾斜角为，综上所述，直线倾斜角的取值范围是.【小问2详解】解：由（1）可知，、，则直线的斜率为，假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，此时，，则，此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意，因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上.【小问3详解】解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线，此时，；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中，直线的方程为，即，联立可得，即点，联立可得，即点，所以，，所以，，因为，则，所以，，综上所述，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题第（3）问在求解三角形面积的取值范围时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在设出直线的方程后，关键要求出点、的坐标，再利用三角形的面积公式以及函数思想求范围.21.在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，，（1）若平面与平面互相垂直，求实数的值；（2）根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并用利用法向量和投影向量的相关知识证明．（3）若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，利用（2）的结论求该四面体的体积．【答案】（1）（2），证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据两平面垂直法向量关系运算得解；（2）根据空间点到平面距离向量公式运算得证；（3）联立可求得顶点，同理可求得其它顶点坐标，设外接球球心为，根据接球半径，求得球