北师大版八年级下册数学期末几何压轴题(含答案)

八下数学期末复习专题几何压轴题专练

1.如图1,在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点(不与点BC重合)，以AD

为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,连接CE.设NBAC=a,

ZDCE=p.

(1)求证：△DAB也△EAC.

(2)当点D在线段BC上运动时，

@a=50°,则。=

②猜想a与。之间的数量关系，并对你的结论进行证明.

(3)如图2,当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想a与。之间的数帚关

系，并对你的结论给出证明.

2.如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将ABE沿AE折叠后得到△AFE,

点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G,AB=3,AD=4.

(1)如图1,当＞DAG=30。时,求BE的长;

(2)如图2,当点E是BC的中点时，求线段GC的长；

(3)如图3,点E在运动过程中，当aCFE的周长最小时，直接写出BE的长.

图1图2

(1)如图1,在oABCD中,AE平分/BAD交CD边于点E,已知AB=5cm,AD=3cm,

则EC等于cm3

(2)如图2,在DABCD中，若AE,BE分别是NDAB,NCBA的平分线，点E在

DC边上，且AB=4,则目ABCD的周长为。

(3)如图3,已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,若AF,BE分别是NDAB,

/CBA的平分线。求证：DF=EC

(4)在(3)的条件下，如果AD=3,AB=5,则EF的长为。

4.已知，在^ABCD中，AB1BD,AB=BD,E为射线BC上一点，连接AE交BD

于点F.

(1)如图1,若点E与点C重合，且4F=6，求AB的长；

(2)如图2,当点E在BC边上时，过点。作OG1AE于G，延长DG交BC于

H，连接FH.求证：AF=DH+FH;

(3)如图3,当点E在射线BC上运动时，过点。作0G14E于G,M为AG

的中点，点N在BC边上且BN=1,已知AB=5V2，请直接写出MN的最小值.

5.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=a,BC=b,a>b,点P是边AB上一点,

连接CP,将△ACP沿CP翻折得到△QCP.

(1)若PQ_LAB,由折叠性质可得NBPC=°；

(2)若a=8,b=6,且PQ_LAB,求C到AB的距离及BP的长：

(3)连接BQ,若四辿形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式.

6.如图，在平行四边形ABCD中，AB1AC,对角线AC,BD相交于点O,将直线AC

绕点0顺时针旋转一个角度a(0°<a<90°),分别交线段BC,AD于点E,F,连接

(1)如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；

(2)如图2,当旋转至90。时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；

(3)若AB=1,BC=V5,求当a等于多少度时，BF=DF?

7.在Rt△ABC中，乙ABC=90°,=BC=4,将△ABC绕点C顺时针旋转

得到,其中点A,B的对应点分别为点①，%.连接zb%,BE1交

于点D.

图2

(1)如图1,当点A1落在BC的延长线上时，求线段ABX的长；

(2)如图2,当△4BC旋转到任意位置时，求证：点D为线段力义中点；

(3)若△4/iC从图1的位置绕点C继续顺时针旋转a(0。<1490。)，当

直线AB与直线AB］相交构成的4个角中最小角为30。时，求a的值.

8.如图①，在平行四边形ABCD中，AD=BD=2,BD_LAD,点E为对角线AC上一

动点，连接DE,将DE绕点D逆时针旋转90。得到DF,连接BF.

(1)求证BF=AE；

(2)如图②，若F点恰好落在AC,求OF的长；

(3)如图③，当点F落在AOBC的外部，构成四边形求四边形DEMF

的面积.

9.如图

(1)如图①，在Rt&ABC中，AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重

合)，将线段AD绕点Z逆时针旋转90°得到AE，连接EC,证明线段BC,

DC,EC之间满足的等量关系；

(2)如图②，在Rtx/IBC与中，AB=AC,AD=AE,将△4CE绕

点A旋转，使点。落在BC边上，探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系，

并证明结论；

(3)如图③，在四边形ABCD中，AABC=AACB=^ADC=45°若

8。=12,CD=4,求AD的长.

10.把△ABC绕着点A逆时针旋转a,得到△ADE.

(1)如图1,当点B恰好在ED的延长线上时，若。=60。，求/ABC的度数;

(2)如图2,当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分NBCE；

(3)如图3,连接CD,如果DE=DC,连接EC与AB的延长线交于点F,直接写出

NF的度数(用含a的式子表示).

11.如图1,在平面直角坐标系中.直线y=-1x+3与x轴、y轴相交于A、B两

点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D

恰好落在直线AB上时，过点D作DElx轴于点E.

(1)求证：ABOCg△CED；

(2)如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D',当直线经过点D时，

求点D的坐标及△BCD平移的距离；

(3)若点P在y轴上，点Q在直线AB上.是否存在以C、D、P、Q为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐;若不存在，请说明理由.

12.在等边三角形ABC中，AD1BC于D,AB=2,

图①图②图①

(1)如图①，点、E为AD的中点，则点E到AB的距离为

(2)如图②，点M为AD上一动点，求的最小值.

（3）（问题解决）

如图③，A,B两地相距600/cm,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条

铁路，点B到AC的距离为360km.今计划在铁路线AC上修一个中转站M,再

在BM间修一条笔直的公路.如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍,

那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站

M应修在使AM=（千米）处.

13.已知用4A6c中，/6AC=90。，AB=ACf点E为△ABC内一点,连接AE,CE,

CELAE,过点8作交4E的延长线于D.

（fflI）（图2）（图3）

（1）如图1,求证8D=4E；

（2）如图2,点”为8c中点，分别连接E”，DH,求的度数；

（3）如图3,在（2）的条件下，点M为C77上的一点，连接EM,点产为EM的中

点，连接FH,过点。作。从交尸”的延长线于点G,若GH：FH=6：5,△FHM

的面积为30,/EHB/BHG,求线段E”的长.

14.阅读下面材料，并傩决问题；

（1）如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,

5,求NAPB的度数.

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP，处，此时△ACP^AABP,

这样就可以利川旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出

ZAPB=；

（2）基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题:

已知如图②，△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且NEAF=

45°,求证：EF2=BE2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在RSABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,点O为RsABC内

一点，连接AO,BO,CO,fiZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,求OA+OB+OC的值.

15.在△ABC和△ADE中，Z-BAC=/.DAE=90。，且48=AC,AD=AE.

D

图

(1)如图1,如果点D在BC上，且B。=4,CO=3,求DE的长；

(2)如图2,AD与BC相交于点N,点D在BC下方，连接BD,且A。18D,

连接CE并延长与BA的延长线交于点F,点M是CA延长线上一点，且CM=4尸，

求证：CF=AN+MN；

(3)如图3,若40=4B,LADE绕着点A旋转，取DE中点M,连接BM,

取BM中点N,连接AN,点F为BC中点，连接DN,若DN恰好经过点F,请直接写

出DF-.DN-.AN的值.

16.如图1,△ABC是直角三角形，NACB=90。，点D在AC上，DEJ_AB于E,连

接BD,点F是BD的中点，连接EF,CF.

(1)EF和CF的数量关系为；

(2)如图2,若4ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC

和△ADE斜边上的中线CM和EN,再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数

量关系，请写出此时EF和CF的数量关系；

(3)若4AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？

写出你的猜想，并给予记明.

17.我们定义:如图1、组2、图3,在AABC中,把AB绕点A顺时针旋转a(0°<

a<180°)得到ABr,把AC绕点A逆时针旋转£得到AC,连接B'C',当a+

夕=180。时，我们称AAB'C是AABC的“旋补三角形"，AAB'C边B'C上的中线

AD叫做AABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的AAB'C均

是AABC的“旋补三角形

(1)①如图2,当AABC为等边三角形时，“旋补中线”40与BC的数量关系为:

AD=BC：

②如图3,当Z.BAC=90°,BC=8时，贝广旋补中线“4。长为.

(2)在图1中，当AABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”40与BC的数量关

系，并给予证明.

18.在平行四边形A8CO中，乙BAD的角平分线交直线3c于点E,交直线DC于点立

图25-1图25-2

(1)在(图25-1)中证明CE=CF；

(2)若/.ABC=90°,G是石户的中点(如图25-2),求乙BDG的度数;

(3)若Z.ABC=120°,FG//CE,FG=CE,分别连接80、DG(如图25—3),

直接写出乙BDG的度数.

19.在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,将过点A的直线1绕点A旋转，交射线

CD于点E,BFJJ于点F,DGJJ于点G,连接OF,OG.

（1）如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF,OG的数量关系；

（2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请证明你的结

（3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，上述的结论是否仍成立？请说明理

由.

20.如图，在平行四边形ABCD中，AB±AC,对角线AC,BD相交于点O,将亘线

AC绕点O顺时针旋转一个角度a（0。〈心90。），分班交线段BC,AD于点E,F,连接

BF.

（1）如图1,在旋转的过程中，求证：OE=OF；

（2）如图2,当旋转至90。时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

（3）若AB=1,BC=V5,且BF=DF,求旋转角度a的大小.

21.如图1,在RSABC中，ZA=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,

AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

（1）观察猜想：

图1中，线段PM与PN的数量关系是,位置关系是；

（2）探究证明：

把AADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断△PMN

的形状，并说明理由;

（3）拓展延伸：

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出面积

的最大值.

22.如图，已知函数y=-1x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y二x的

图象交于点M,点M的横坐标为2.

（1）求点A的坐标；

（2）在x轴上有一动点P（a,0）（其中a>2）,过点P作x轴的垂线，分别交函数

y=-+b和y=x的图象于点C、D.

①若OB=2CD,求a的值；

②是否存在这样的点P,使以B、0、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，

直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案与解析

1.【答案】(1)证明：VZDAE=ZBAC,

/CAD-ZDAE=ZCAD-ZBAC,

AZCAE=ZBAD,

在^DAB和^EAC中，

1/.BAD=^.CAF

(AD=AE

・•・△DAB^AEAC(SAS)

(2)解：①130；

@a+p=180°,

理由：由(1)知，△DAB^AEAC,

AZABC=ZACE,

在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,

AZABC=ZACB=1(180。-ZBAC)=1(180°-a)=90。-1a,

.,.p=ZACB+ZACE=ZACB+ZABC=90°-1a+90。-1a=180°-a,

.*.a+p=180°

(3)解：p=a；

理由：VZDAE=ZBAC,

ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

・•・ZCAE=ZBAD,

在^DAB和^EAC中，

(AB=AC

4BAO=/.CAB

(AD=AE

・•・△DAB^AEAC(SAS),

AZABD=ZACE,

在△ABC中，AB=AC,NBAC=a,

AZABC=ZACB=1(180°-ZBAC)=1(180°-a)=90°-1a,

AZACE=ZABD=180°-ZABC=180°-(90°-ia)=90。+ia,

Ap=ZACE-ZACB=90°+1a-(90°-1a)=a.

2.【答案】(1)解：•・•匹边形ABCD是矩形，

AZBAD=90°,

VZDAG=30°,

AZBAG=60°

由折叠知，ZBAE=izBAG=30°,

在RSBAE中，ZBAE=30°,AB=3,

ABE=V3

(2)解：如图4,连接GE,

图4

•・・E是BC的中点，

ABE=EC,

△ABE沿AE折叠后得到△AFE,

・・・BE=EF,

AEF=EC,

•・•在矩形ABCD中，

・•・ZC=90°,

ZEFG=9(r,

•・,在RtAGFE和RtAGCE中,

(EG=EG

IFF=EC

ARIAGFE^RtAGCE(HL),

，GF=GC；

设GC=x,则AG=3+x：DG=3-x,

在RsADG中，4。(3-x)?=(3+x)

解得x=g.

(3)解：BE=5

3.【答案】(1)2

(2)12

(3)证明：•..在团ABCD中，CD//AB,

.-.ZDFA=ZFAB.

又，・・AF是NDAB的平分线

.-.ZDAF=ZFAB,

.-.ZDAF=ZDFA,

AAD=DF,同理可彳导EC=BC.

VAD=BC,

.-.DF=EC

(4)I

4.【答案】⑴解:如图1中,

乙ABD=90°,

vAB=BD,

乙BAD=45°,

乙BDA=乙BAD=45°,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

•••E、C重合时BF=\AB，

在RtAABF中，

•••AF2=AB2+BF2,

:.(V5)2=(28尸产+BF2,

BF=1,AB=2,

:.AB=2;

(2)证明：如图2中，在AF上截取AK=HD，连接BK,

•••AB1BDyDG1AE,

.../.ABF=Z-FGD=90°,

•••Z.AFD=Z.ABF+z2=乙FGD+43,乙ABF=Z-FGD=90°,

z2=z3,

[AB=BD

在ABK和ADBH中，z2=z3,

C4K=HD

AABK=ADBH,

...BK=BH,乙6=乙1,

•••四边形ABCD是平行四边形，

:.AD〃BC,

z4=zl,

由(1)知44=45°,

zZ=Z6=45°,

•••45=Z-ABD-Z6=45°,

z5=z.1,

(BF=BF

在AFBK和AFBH+,]Z5=Z1,

\BK=BH

:.AFBK=AFBH,

••・KF=FH,

vAF=AK+KF,

•••AF=DH+FH；

(3)解：MN的最小值为雪二5.

5.【答案】(1)45

(2)解：如图，作CH_AB于H

由翻折的性质可知：ZAPC=ZQPC

VCH1AB,ZBPC=45°

ACH=PH

在RtAABC中，AB=>JAC2+BC2=回+在=10

・・

”BCH=”CBC即SCH=24

ACH=254j

(3)解：如图:连接BQ

由翻折的性质可得：PA=PQ,ZQPC=ZAPC

•・•四边形BCPQ是平行四边形

APQ=BC=PA=b,PQ//BC,

・•・ZQPC+ZPCB=180°

VZBPC+ZAPC=180°

AZPCB=ZBPC

APB=BC=b

AAP=PB=b,AB=2b,

在RtAABC中,则有(2b)2=a2+b2

a2=3b2

Va>0.b>0,

Aa=V3b.

6.【答案】(1)解：AF=CE.理由如下:

•・•四边形ABCD为平行四边形，

AAD//CB,OA=OC.

，ZFAO=ZECO.

在AAOF和ACOE中，

Z.AOF=乙COE,

:0A=0C,

^FAO=乙ECO,

：・2AOF=△COE{ASA).

AAF=CE.

（2）解：当旋转至90。时，四边形ABEF为平行四边形.理由如下：

VZAOF=90°,ZBAC=90°,

AAB〃EF.

又丁四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,即AF//BE.

・•・四边形ABEF为平行四边形

（3）解：当°等丁45度时，BF=DF.理由如下：

VAB=1,BC=V5,AB1AC,

••・AC=y/BC2-AB2=J（V5）2-l2=2-

•・•四边形ABCD为平行四边形，

***OA=*AC=x2=1»BO=DO.

・・・OA;AB=1.点O在线段BD的垂直平分线上.

・•・△ABO为等腰直角三用形.

AZAOB=45°.

当F在线段BD的垂直平分线上时，BF=DF,

・・・FO垂直平分BD.

・•・ZBOF=90°.

：,Z-AOF=乙BOF-^AOB=90°-45°=45°,即a=45°.

・••当a等于45度时，BF-DF.

7.【答案】（1）解：•••/^△力口。中，^ABC=90°,BA=BC=4,

=45。，AC=7ABz+8c2=742+42=4&.

•・•△ABC绕点C顺时针旋转得到△48停，

A=45°,BiC=BC=4.

=180°-44cB-LAXCBX=90°.

22

••AB,-JAC+BLC-J（4伪2+42-473

（2）证明：过点4作A.E//AB交BBi的延长线于点E,

E

图2

/.ABD=Z.DEA1.

9

：BXC=BC,

:•乙CBB]=乙CB\B.

•・"48C==90。，

：.Z.ABD+乙CBBi=乙CB、B+Z-AXBAE=90°.

乙

Z.A1B1E=ABD=Z.DEA1.

=AXE.

\'AB=A1B1,

*»AB=AXE.

,：/.ADB=^DE,

A△ADB=△A1DE.

••AD=Z.A1D.

，点0为线段44i中点

(3)解：如图3,当直线AB与直线A1B1相交于点A上方，延长BC交于

点E,

*：/-ABC=90°,Z.P=30°,

:,乙PEB=60°.

・.・4。4181=45°,

Az/liCE=Z.PEB-ACA1E=15°.

如图4,当直线AB与直线为当相交于点A下方，延长BC交为81的延长线于点

E,

A

P

,：Z.ABC=90°,zP=30°,

:,乙PEB=60°.

•・241%。=90。，

"BiCE=-乙PEB=30°.

乙

：.LArCE=B\CE+Z.AYCB=75°.

・•・当直线AB与直线AB】相交构成的4个角中最小角为30。时,a的值为15。或

75°.

2.【答案】(1)证明：根据旋转的性质可得，DE=DF,ZEDF=90°

VBD1AD

・•・ZADB=90°

AZADE=ZBDF

VAD=BD

.*.△ADE^ABDF

ABF=AE

(2)过点D作DG_LAC于点G,

VDE=DF,ZEDF=90°

・・・NDEF=NDFE=45。，ZDEA=I35°

根据(1)可得，^ADE咨Z\BDF

AZBFD=ZDEA=I35°,AE=BF

ZBFO=90°

•・•四边形ABCD为平行四边形

AOB=OD

・•・△DGO^ABFO

ADG=BF,OF=OG

ADG=EG=AE=BF

设DG=a(a>0),贝ijAG=2a

在直角三角形ADG中，・；AG2+DG2=AD2

(2a)2+a2=22

解得a=?V5

••・OF=OG*誓叁

/55

(3)过点D作DN_LAC于点N,将^DEN绕点D逆时针旋转90。得到△DFH,

ADH=DN,ZDNE=ZDH=90°,ZDEN=ZDFG

•・•ZDEF=ZFME=90°

.•.ZDEM+ZDFM=180°

・•・ZDFH+ZDFM=180°

，点H，点F,点M三点共线

ZDHF=ZDNM=ZFMN=90°

・•・四边形DNMG为矩形

VDN=DH

二四边形DNMH为正方形

AS四边形DEMF=S四边形DNMH=(竽)2=i

9.【答案】(1)解：•••线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE

-RtLABC^AB=AC

•••乙BAD=Z.CAE

ABD=△ACE(SAS)

•••DB=EC

・•.BC=DC+DB=DC+EC

(2)解：连结CE

vRt△ABC与RtAADE中AB=AC,AD=AE

，4B=^ACE=45°,DE2=AD2+AE2=2AD2,

•.•由(1)同理可得△ABOwaACE

:.DB=EC,LABD=£.ACE=45°

・••乙ECD=90°Rt△ECD中,DE2=EC2+CD2=BD2+CD2

2AD2=BD2+CD2

(3)解：过点A作AE1AD,且4E=40,连结DE,CE

乙ABC=Z.ACB=45°:.AB1AC,AB=AC

AE1AD,AE=AD

・•・由(1)同理可得△ABO三△ACE

DB=EC=12

•••Z.ADC=45°

...乙EDC=4ADC+4ADE=90°

:.DE=y/CE2-CD2=422-42=8&

，等腰直角△ADE中AD=8

10.【答案】(1)解：Va=60°,△ABC^AADE,

AAD=AB,ZABC=ZADE.

・•・ZABD=ZDAB=60°.

・•・ZABC=ZADE=ZDAB+ZABD=120°.

(2)解：VAC=AE,ZEAC=a,

:.ZE=ZACE.

•・,△ABC^AADE,

，ZACB=ZE.

・•・ZACB=ZACE.

CA平分NBCE.

(3)解：ZF=90°-a.

如下图：延长AD交EF于点G,则根据图形旋转的性质得，ZGAF=a,

VAABC^AADE

AC=AE,

・•・△AEC为等腰三角形，

在△AED和△ACD中，

(AE=AC

\DE=CD,

U。=AD

：.△AEDg△ACD(SSS),

・•・NDAE=NDAC,

・•・AD平分NEAC,

•••△AEC为等腰三角形，

AAG±EF,即NAGF=90°,

：-£.EAF=3Z.CAF=ya,

・•・乙F=180°-Z.GAF-LAGF=90°-a.

11.【答案】(1)证明：•：(BOC=^BCD=Z.CED=90°,

・•.LOCB+乙DCE=90°,乙DCE+Z-CDE=90°,

AZ.BCO=Z-CDE,

---BC-CD，

△BOCg△CED.

(2)解：BOCgACE。，

OC=DE=m,BO=CE=3,

:.0(m+3,m),

把D(?n+3,TTL)代入y=—«x+3得到，m=—^(m+3)+3，

•*.2m=—m-3+6»

•••m=1,

•••8(0,3),C(l,0),

・••直线BC的解析式为y=-3x+3,

设直线夕C'的解析式为y=—3x+b,把0(4,1)代入得到b=13,

・••直线B'C'的解析式为y=-3x+13,

二。得，0)

10

CC=T

BCD平移的距离是竽个单位.

(3)点Q的坐标为(3,1)或(5,1)或(一3秘).

12.【答案】(1)字

1

-

(2)解：如图，作CN1AB,垂足为N,此时2最小值等于CN,

A

•・•在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2,乙ANC=90°,

•••AN=1,

由勾股定理得，CN=W

由(1)知，MN=^AM

MN+CM=,M+MC=CN=8，即+MC的最小值为V3

(3)(480-120V3)

13.【答案】(1)证明：VCE1AE,BD1AE,

.,.ZAEC=ZADB=90°,

VZBAC=90°,

・•・ZACE+CAE=ZCAE+ZBAD=90°,

AZACE=ZBAD,

在^CAE-t/AABD中

Z.ACE=^BAD

AAEC=乙ADB

AC=AB

.*.△CAE^AABD(AAS),

•*.AE=BD；

即

(2)解：连接AH

VAB=AC,BH=CH,

AZBAH=1z^C=1x90o=45o，NAHB=90。，

AZABH=ZBAH=45°,

AAH=BH,

VZEAH=ZBAH-ZBAD=45°-ZBAD,

ZDBH=180°-ZADB-ZBAD-ZABH=45°-ZBAD,

，NEAH=NDBH,

在△AEH与4BDH中

AE=BD

/-EAH=Z.DBH

AH=BH

・•・△AEH^ABDH(SAS),

AEH=DH,NAHE=/BHD,

ZAHE+ZEHB=ZBHD+ZEHB=90°

即/EHD=90。，

180<90

AZEDH=ZDEH=J°=450；

乙

(3)解：过点M作MS_LFH于点S,过点E作ER_LFH,交HF的延长线于点R，过

点E作ET〃BC,交HR的延长线于点T.

VDG1FH,ER±FH,

AZDGH=ZERH=90°,

.,.ZHDG+ZDHG=90°

VZDHE=90°,

/.ZEHR+ZDHG=90°,

AZHDG=ZHER

在aDHG与AHER中

(Z.HDG=乙HER

乙OGH=乙ERH

(DH=EH

・•・△DHG^AHER(AAS),

.*.HG=ER,

,・，ET〃BC,

AZETF=ZBHG,ZEHB=ZHET,

ZETF=ZFHM,

VZEHB=ZBHG,

AZHET=ZETF,

，HE=HT,

在4七尸丁与^MFH中

乙ETF=Z.FHM

Z.EFT=Z.MFH，

EF=FM

・•・△EFT^AMFH(AAS),

・・・HF=FT,

,HAMS_FTER

—~=~T~'

AER=MS,

AHG=ER=MS,

设GH=6k,FH=5k,贝JHG=ER=MS=6k,

HF-MS5k・6k

^-=^-=30'

k=V2,

・・・FH=5V2,

AHE=HT=2HF=10V2.

14.【答案】(1)150°

(2)解：如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90。得到△ACE，，

由旋转的性质得，AEf=AE,CEZ=BE,NCAE，=NBAE,ZACEr=ZB,NEAE，=90。,

ZEAF=45°,

，ZErAF=NEAENEAF=45。，

AZEAF=ZE,AF,

/E=

Z_EAF=Z.EAF

(AF=AF

.*.△EAF^AE'AF(SAS),

AET=EF,

VZCAB=90°,AB=AC,

AZB=ZACB=45°,

・•・ZE,CF=45°+45o=90°,

由勾股定理得，ET2=CE，2+FC2,

B|JEF2=BE2+FC2.

C

BE图2

(3)解：如图3,将△AOB绕点B顺时针旋转60。至△AXXB处，连接OCT,

•・•在RsABC中，ZACB=90°,AC=1,ZABC=30°,

・・.AB=2,

••・BC=^AB2-AC2=>/3，

A△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,ZABC=30°,

・•・NA'BC=ZABC+600=30°+60°=90°,

VZC=9U0,AC=1,ZABC=30°,

・・・AB=2AC=2,

VAAOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△AOB,

・・・A'B=AB=2,BO=BO\AV=A0,

・•・△BOO,是等边三角形，

.,.BO=OO\ZBOOx=ZBOfO=60°,

•・•ZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

.•・ZCOB+ZBOO^NBO'A'+NBO'O=120o+60°=180°,

・・・C、O、A\CT四点共线，

在R"ABC中,A，C=JBC?+了解=J(63+22=6，

・・・OA+OB+OC=AO+O0'+OC=A'C=夕.

又AS=AC,AD=AE,

BD=CE=4,z-ACE=Z.ABC，

•・•乙ABC+Z-ACB=90°

•••/-ACE+^ACB=90°

ACE是直角三角形，

DE=VCD2+CE2=V324-42=5:

(2)解：

•••Z.BAD+Z.DAC=90°.LEAC+^DAC=90°

•••乙BAD=Z.EAC

AB=AC

•••乙BAD=Z.EAC

AD=AE

.*.△BAD=△CAE(SAS)

Z.ABD=Z-ACE

••TO1BD

...LBAD=90°-Z-ABD

•••乙BAC=90。

..."AC=90°-乙BAD

•••Z.DAC=乙ABD

:.Z.ACF=Z.DAC

•••AD//CF

过点A作AP//BC交FC于点P,

••・四边形ANCP是平行四边形

AAN=CP,NC=AP

,:AP“BC

4FAP=乙ABC=45°

(PA=NC

\^PAF=乙NCM

(AF=CN

PAF=△NUM(SAS)

MN=PF

:.AN+MN=CP+FP=CF；

(3)DF-.DN-.AN=1:2:2

16.【答案】(1)EF=CF

(2)EF=CF

(3)解：猜想，EF=CF,

理由：如图3中，取AB的中点M,AD的中点N,连接MC,MF,EN,FN.

VBM=MA,BF=FD,

・・・MF〃AD,MF-iAD,

VAN=ND,

AMF=AN,MF〃AN,

.•・四边形MFNA是平行四边形，

，NF=AM,ZFMA=ZANF,

在RlAADE中，VAN=ND,NAED=900,

AEN=:AD=AN=ND,同理CM=1AB=AM=MB,

在仆AEN和^ACM中，

NAEN=NEAN,NMCA=NMAC,

VZMAC=ZEAN,

AZAMC=ZANE,

又.・・NFMA=NANF,

AZENF=ZFMC,

VAM=FN,AM=CM,

ACM=NF,

MF=EN

在^MFC和^NEF中，Z,FMC=Z.ENF，

MC=NF

・•・△MFC^ANEF(SAS),

AFE=FC.

17.【答案】(1)1；4

(2)解：结论：AD=^BC.

理由：如图1中，延长AD到M,使得AD=DM,连接B'M,CM,

图1

°：B'D=DC',AD=DM,

・•・四边形A。MB，是平行四边形，

：.ACB'M=AC,

•：^BAC+匕B'AC'=180°,乙B'AC'+Z.AB'M=180°,

：.^BAC=乙MB'A,9：AB=AB',

：.ABAC=AAB'M,

：.BC=AM,

：-AD=^BC.

18.【答案】(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB〃CD,AD〃BC

AZBAF=ZF,ZDAF=ZCEF

又TAE平分/BAD

AZBAF=ZDAF

AZF=ZCEF

.\CE=CF

(2)如图，连接CG、BG.

:ABCD是平行四边形，ZABC=90°

・•・平行四边形ABCD是矩形

.\AB=DC,AB>7DC,AD〃BC,ZBAD=ZADC=ZBCD=ZECF=90°

AZF=ZBAE,ZDBC=ZADB

VZBAD=90°,ZBAE=|ZBAD=45O

AAB=BE,ZF=ZBAE=45°

ACE=CF

・•・BC=BE+EC=AB+CF=CD+CF=DF

又TG是EF的中点，ZECF=90°,CE=CF

:.CG=FG=1EF,ZECG=iZECF=45°

ZECG=ZF

.*.△DFG^ABCG

AZFDG=ZCBG,DG=BG

AZDBG=ZBDG

•・,ZDBC=ZADB,ZFDG=ZCBG

・•・ZDBC+ZCBG=ZADB+ZFDG

即ZDBG=ZADB+ZFDG

ZBDG=ZADB+ZFDG

XVZBDG+(ZADB+ZFDG)=90°

AZBDG=1ZADC=45°

(3)如图，连接GB、GE、GCo

VAB//DC,ZABC=I2O°

AZECF=ZABC=120°

VFG//CE,FG=CE

・•・四边形CEGF是平行四边形

由(1)得CE=CF

・•・四边形CEGF是菱形，

.\EG=EC,ZGCF=ZGCE=ZECF=60°

・•・△ECG是等边三角形

AEG=CG,ZGEC=ZEGC=60°

AZGEC=ZGCF

AZBEG=ZDCG

VAD//BC

AZDAE=ZAEB

又•:ZDAE=ZBAE=1ZDAB

AZBAE=ZAEB

AAB=BE

在izABCD中，AB=DC

ABE=DC

.*.△BEG^ADCG,

・・・BG=DG,ZBGE=ZDGC

/./RGD=/RGF.+/AGD=/DGC+/AGD=/F.GC=60°

VBG=DG

AZBDG=ZDBG=(I80°-ZBGD)=60°。

19.【答案】(1)解：OF=OG,理由如下：

•・•四边形ABCD是平行四边形，

，OB=OD,

・・・BFJJ于点F,DGJJ于点G,

.,.ZBFO=ZDGO=90°,

(Z.BFO=Z.DGO

在4OBF和^ODG中，z_BOF=乙DOG，

OB=OD

.*.△OBF^AODG(AAS),

AOF=OG

(2