辽宁省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月份联合考试数学试题（原卷版+解析版）

辽宁省名校联盟2025年高一3月份联合考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､推考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.3.若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（）A. B. C. D.4已知平面向量，且，则（）A. B. C. D.35.声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的（）A.20倍 B.倍 C.10倍 D.100倍6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.7.已知函数，且满足，则实数的取值范围为（）A. B.C.或 D.8.设函数且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.现有一组数据，则这组数据的众数为7B.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件C.若样本数据的方差为2，则数据的方差为18D.若事件相互独立，，则10.已知函数，则（）AB.的值域为C.是上的增函数D.函数的图象关于点对称11.已知正实数满足，则（）A. B.C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式的解集为__________.13.如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________.14.若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知幂函数为偶函数.（1）求实数的值，并写出的单调区间（不必证明）；（2）若，求的取值范围.16.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值（保留两位小数）以及估计该地区月均用水量的分位数；（2）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于分位数的概率；（3）现有4位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于分位数，现从该4人中随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数的概率.17.已知函数.（1）求关于的一元二次不等式的解集；（2）若，使得成立，求实数取值范围.18.已知函数.（1）证明：曲线中心对称图形；（2）若，当且仅当时成立.（i）求实数的值；（ii）若是的零点，满足，求的值.19.已知函数满足为的图象上不同的两点.（1）求函数；（2）若函数的图象经过两点，线段的中点落在直线上，求实数的值；（3）若，求的取值范围.

辽宁省名校联盟2025年高一3月份联合考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､推考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用绝对值的意义化简集合，再利用交集的定义求解.【详解】依题意，，而，所以.故选：A2.已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简命题，再利用充分不必要条件的定义判断即可.【详解】由，解得，即命题，对于A，是成立的充要条件，A不是；对于B，是成立的必要不充分条件，B不是；对于C，是成立的充分不必要条件，C是；对于D，是成立的不充分不必要条件，D不是.故选：C3.若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解.【详解】依题意，，所以.故选：B4.已知平面向量，且，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出.详解】向量，则，由，得，所以故选：A5.声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的（）A.20倍 B.倍 C.10倍 D.100倍【答案】D【解析】【分析】根据给定条件求得，再分别求出取7和5时的即可得解.【详解】由，得，当时，，当时，，，所以“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的100倍.故选：D6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时的函数值判断即可.【详解】函数中，，即，解得，函数定义域为，，函数偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足；当时，，选项D不满足，B符合题意.故选：B7.已知函数，且满足，则实数的取值范围为（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的及单调性，再利用此性质求解不等式.【详解】依题意，，函数的定义域为，，函数是奇函数，函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，又函数在上单调递增，于是函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，不等式，则，即，解得或，所以实数的取值范围为或.故选：C8.设函数且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，确定的范围并求出的范围，结合方程的根把目标式表示为的函数，再求出函数值域即可.【详解】依题意，当时，，当时，为方程，即的两个根，则，又当时，，当且仅当时取等号，作出函数图象，观察图象知，当且仅当时，方程恰有3个不同的实根，由，得，，而当或时，，因此，所以的取值范围是.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.现有一组数据，则这组数据的众数为7B.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件C.若样本数据的方差为2，则数据的方差为18D.若事件相互独立，，则【答案】BC【解析】【分析】求出众数判断A；利用对立事件的意义判断B；求出方差判断C；利用相互独立事件概率公式计算判断D.【详解】对于A，数据由小到大排列为：，众数为9，A错误；对于B，连续射击三次，事件“至少两次中靶”包括两次中靶和三次中靶；事件“至多有一次中靶”包括没有中靶和中靶一次，它们不可能同时发生，但必有一个发生，因此事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件，B正确；对于C，数据的方差为2，数据的方差为，C正确；对于D，事件相互独立，，D错误.故选：BC10.已知函数，则（）A.B.的值域为C.是上的增函数D.函数的图象关于点对称【答案】ACD【解析】【分析】求出函数值判断A；求出值域判断B；确定单调性判断C；利用对称性定义判断D.【详解】对于A，，A正确；对于B，，，则，函数的值域为，B错误；对于C，函数在上递增，在上递减，因此是上的增函数，C正确；对于D，，函数的图象关于点对称，D正确.故选：ACD11.已知正实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据对数运算性质得，对于A，直接应用基本不等式即可判断；对于B，由得，有，借助基本不等式判断；对于C，由题意，直接应用基本不等式即可，对于D，将化为，然后利用反比例函数的单调性求解即可.【详解】对于A，因正实数满足，所以，所以，解得，当且仅当，即时，取到最小值4，故A正确；对于B，由得，所以，当且仅当即时，取到最小值，故B错误；对于C，因为，所以，所以，所以，当且仅当即时，取到最小值，故C正确；对于D，，由A选项可知，由函数在上单调递减可知，，所以，故D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解.【详解】不等式化为：，即，则，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：13.如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案.【详解】设，由得，故，由得，故,由于三点共线，故，则，又，故，所以，故答案为：14.若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，判断的奇偶性和单调性，进而判断的单调性，注意到，利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因对任意的，且，都有，则在上单调递减，又为奇函数及，所以，则为偶函数，且，故在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减.又，则，当时，，得，解得；当时，，即，得或，解得或，综上，不等式的解集为.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，且判断其单调性和奇偶性，再结合单调性与奇偶性解不等式即可.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知幂函数为偶函数.（1）求实数的值，并写出的单调区间（不必证明）；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为.（2）【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数，可求出m的值，结合函数的单调性即可确定m的取值，进而求得函数单调区间.（2）结合函数的奇偶性以及单调性，将转化为关于x的不等式，即可求得答案.【小问1详解】因为是幂函数，故，解得或；当时，，定义域为，满足，函数为偶函数，当时，，定义域为，函数非奇非偶函数，不符题意；故，，其单调增区间为，单调减区间为.【小问2详解】由（1）知为偶函数，单调增区间为，单调减区间为.由于，故，即且，解得或，即的取值范围为，16.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值（保留两位小数）以及估计该地区月均用水量的分位数；（2）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于分位数的概率；（3）现有4位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于分位数，现从该4人中随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数的概率.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算分位数.（2）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式计算得解.（3）利用列举法求出古典概率.【小问1详解】由频率分布直方图，得，解得；数据落在区间的频率为，数据落在区间的频率和为，则用水量的分位数，由，解得，所以，估计该地区月均用水量的分位数为.【小问2详解】设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，，事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，，因此，所以所求概率为.【小问3详解】试验的样本空间(甲,乙)，(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)，(丙,丁)，共6个样本点，事件表示所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数，则(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)，共4个样本点，所以.17.已知函数.（1）求关于的一元二次不等式的解集；（2）若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】（1）分类讨论求解含参数的一元二次不等式.（2）根据给定条件，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可.【小问1详解】不等式，，当时，，原不等式无解；当或时，，原不等式解为；当或时，，由，解得，不等式的解为，所以当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为.【小问2详解】当时，，而，当且仅当，即时取等号，由，使得成立，得，所以实数的取值范围是.18.已知函数.（1）证明：曲线是中心对称图形；（2）若，当且仅当时成立.（i）求实数的值；（ii）若是的零点，满足，求的值.【答案】（1）证明