等比数列的概念（原卷版）

专题4.3.1等差数列的概念【题型一：根据“定义”求等比数列的通项公式..................................................】【题型二：等比数列通项公式的基本量计算..........................................................】【题型三：由递推关系证明数列是等比数列..........................................................】【题型四：等比中项及其应用..................................................................................】【题型五：等比数列的下标性质..............................................................................】【题型六：等比数列的单调性与最值......................................................................】1．等比数列的概念文字语言一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符号语言在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比递推关系或2．等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.3．等比数列的通项公式若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是.4．证明数列是等比数列的主要方法：(1)定义法：eq\f(an＋1,an)＝q（常数）{an}为等比数列；(2)中项法：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2{an}为等比数列；(3)通项公式法：an＝k·qn（k，q为常数）{an}为等比数列；5.等比数列的下标性质：若m,n,p,q∈6．等比数列的单调性已知等比数列{an}的首项为，公比为q，则(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；(2)当或时，等比数列{an}为递减数列；(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；(4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号).【题型一：根据“定义”求等比数列的通项公式（这里只体现构造法中常考的两个）】【思路总结】类型一：a方法过程：设an+1+x=p(对比an+1=pan+q与所以数列an+所以an+qp−1类型二：an+1=p方法过程：等式两边同时除以q设bn=a类型三：S【例题】1.（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，则．2.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，且，则通项公式．3.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，，则通项公式．【相似练习】1.（2425高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为．2.（2425高三上·重庆长寿·期末）已知数列满足，则．3.（2425高二·江苏·假期作业）已知等比数列的前项和为，且.求的通项公式；【题型二：等比数列通项公式的基本量计算】【例题】1．（浙江省金华十校20242025学年高二上学期期末联考数学试题）在等比数列中，，则公比（

）A． B． C．3 D．132．（2425高二上·黑龙江绥化·期末）在等比数列中，，，则等于（

）A．或 B． C． D．或3．（2425高二上·福建福州·期末）在等比数列中，若，，则（

）A．6 B．8 C． D．16【相似练习】4．（2024·陕西西安·模拟预测）设正项等比数列的公比为，若，，成等差数列，则．5．（2425高二上·吉林·期末）在等比数列中，若，，则.6．（2425高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式．【名师点睛】：等比数列的通项公式an=a1∙qn−1【题型三：由递推关系证明数列是等比数列】【例题】1．（2223高二上·江苏徐州·期中）数列的前项和为，且，数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列是等比数列；(3)求数列的通项公式.2．（2425高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）．(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；3．（2425高二上·河北保定·期末）已知数列满足，且.数列的前和为，.(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；4．（2425高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前n项和为，，，数列满足．(1)求证：数列为等比数列；【相似练习】5．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项6．（2425高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列满足，，设.(1)写出，，并证明是一个等比数列：(2)求数列的通项公式；公式；【名师点睛】：核心定义的深度理解与应用，等比数列的核心定义是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数q（q≠0）,即an+1a【题型四：等比中项及其应用】【例题】1．（2425高二上·重庆·期末）已知等比数列中，，，则等于（

）A． B． C．6 D．不确定2．（2425高三下·山东·开学考试）设等差数列的公差为，，若，，成等比数列，则（

）A．3 B．2 C． D．3．（2425高三上·四川成都·期中）已知等比数列中，，则的值为（

）A．6 B． C． D．【相似练习】4．（2425高二上·湖北武汉·期末）在各项均为正数的等比数列中，，，则．5．（2425高三上·山东泰安·期末）已知递增等差数列的前项和为是和的等比中项．(1)求数列的通项公式；6．（2425高二下·河北张家口·开学考试）已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列．(1)求的通项公式；【名师点睛】：等比中项的定义为：若三个数A，B，C满足B2=A∙C,则称B是A与C的等比中项，等比数列中任意三项都符合an−1∙an+1=【题型五：等比数列的下标性质】【例题】1．（2025届山东省齐鲁名校大联考模拟预测数学试题）已知正项等比数列满足，则（

）A． B． C． D．2．（2425高二下·河北张家口·开学考试）在正项等比数列中，若，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．3．（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（

）A． B． C． D．或【相似练习】4．（2425高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（

）A． B． C．14 D．155．（2425高二上·福建漳州·期末）已知数列满足且，则的值为（

）A．32 B．16 C． D．6．（2425高二上·河南漯河·期末）在正项等比数列中，若，，则．【题型六：等比数列的单调性与最值】【例题】1．（2425高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2425高二上·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于40463．（2425高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【相似练习】4．【多选】（2425高二上·浙江杭州·期末）各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列说法正确的是（

）A．若，则必有B．若，则必有C．若，则必有D．若，则必有5．【多选】（2425高二上·浙江嘉兴·期末）等比数列的公比为，且满足，，，记，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．使成立的最小自然数等于6．【多选】（2425高二上·湖南·期末）记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则（

）A． B．C．的最大值为 D．【名师点睛】等比数列单调性的判断方法比值判断法：对于等比数列，eq\f(an＋1,an)＝q，当q>1且a1>0,或者0<q<1且a1<0时，数列单调递增；当q<1且a1>0，或者q>【课后作业】一、单选题1．（2425高二上·云南·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（

）A．211 B．210 C．11 D．92．（2425高二上·重庆北碚·期末）已知等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．3．（2425高二上·云南丽江·阶段练习）在数列中，，对任意，都有，则（

）A． B． C． D．4．（江苏省南通市20242025学年高二上学期1月期末数学试题）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（

）条件A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．不充分不必要5．（2425高三上·云南昆明·期中）设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件二、多选题6．（2425高二上·江苏·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．7．（安徽省鼎尖名校20242025学年高二上学期1月期末联考数学试题）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．数列为等比数列三、解答题8．（2425高二上·陕西西安·期末）设数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.9．（2425高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知数列中，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)