第11章解三角形章末题型归纳总结（能力篇）（8大题型）（原卷版）

第11章解三角形章末题型归纳总结（能力篇）【题型归纳目录】题型一：应用正弦、余弦定理解三角形题型二：判断三角形的形状题型三：正弦、余弦定理在实际中的应用题型四：三角形多解问题题型五：三角形范围与最值问题题型六：图形类问题题型七：角平分线问题、中线问题、高问题题型八：三角形中的面积与周长问题

【思维导图】

【知识点梳理】知识点1：基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式；；．常见变形（1），，；（2），，；；；．（2）面积公式：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）知识点2：相关应用（1）正弦定理的应用=1\*GB3①边化角，角化边=2\*GB3②大边对大角大角对大边=3\*GB3③合分比：（2）内角和定理：=1\*GB3①同理有：，．=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，内角成等差数列．知识点3：实际应用1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．2、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．3、方向角：相对于某一正方向的水平角．（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．（3）南偏西等其他方向角类似．4、坡角与坡度（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．解题方法总结1、方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．【典型例题】题型一：应用正弦、余弦定理解三角形【典例11】已知的面积为，则（

）A．13 B．14 C．17 D．15【典例12】的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（

）A． B． C． D．【变式11】在中内角所对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．【变式12】在中，，则的长为（

）A． B．4 C． D．5【变式13】在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（

）A． B． C． D．题型二：判断三角形的形状【典例21】在中，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【典例22】在中，（分别为角的对边），则的形状为（

）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形【变式21】已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【变式22】中，角的对边分别为，且，则的形状是（

）A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形【变式23】在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（

）A．为直角三角形 B．为锐角三角形C．为钝角三角形 D．的形状无法确定题型三：正弦、余弦定理在实际中的应用【典例31】圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为．【典例32】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高m．【变式31】某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，则此山的高度约为.【变式32】如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域，两个凉亭分别座落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了3分钟，从点沿走到凉亭用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径的长为米（精确到1米）．【变式33】如图，点是海上的一个钻井平台，甲船､乙船､丙船分别位于点三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且海里，海里，若海里，则丙船到钻井平台的距离为海里．

题型四：三角形多解问题【典例41】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：①，，；②，，.则（

）A．①只有一个解，②有两个解 B．①有两个解，②只有一个解C．①②都只有一个解 D．①②都有两个解【典例42】在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式41】已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式42】在中，，，分别为角，，所对的边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式43】在中，三个内角对应的边为，且．若仅有唯一解，则下列关于的取值不一定成立的是（

）A．或 B．C． D．题型五：三角形范围与最值问题【典例51】锐角面积为，角的对边分别为，且.(1)求证：；(2)求的取值范围．【典例52】在锐角中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.【变式51】如图，在中，点在边上，．(1)若，，，求；(2)若是锐角三角形，，求的取值范围．【变式52】在中，内角、、的对边分别为、、，且.(1)求的值；(2)若是锐角三角形，，求的取值范围.【变式53】在中，角，，的对边分别为，，，.(1)求角；(2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围.题型六：图形类问题【典例61】如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，．(1)证明：；(2)若，求．【典例62】如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，．(1)求角；(2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积．【变式61】在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.(1)求的大小；(2)求的值.【变式62】如图，在梯形ABCD中，，，(1)求；(2)求BC的长．【变式63】在中，.(1)求角B的大小；(2)若E为的中点，F是边上的点，且满足，，求的值.题型七：角平分线问题、中线问题、高问题【典例71】在中，.(1)求；(2)若的边上的高等于，求.【典例72】设三角形的内角的对边分别为且.(1)求角的大小；(2)若边上的高为，求三角形的周长.【变式71】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．(1)求A；(2)若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c．条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【变式72】在中，内角所对的边分别是，且，.(1)求角；(2)若，求边上的角平分线长；(3)求边上的中线的取值范围.【变式73】的内角所对的边分别为，且(1)若，求在上的投影向量；（用向量表示）(2)若，，为的平分线，为中线，求的值.题型八：三角形中的面积与周长问题【典例81】在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，且的面积为，求的周长.【典例82】①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求(1)；(2)的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式81】已知的内角的对边分别为，且．(1)求角A的大小；(2)若的面积为，求