中职高考数学二轮复习专项突破讲与测专题二 方程与不等式（解析版）

专题二方程与不等式思维导图1.2一元二次方程1.2.1相关知识点1、定义：一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程。一般形式：依次称为二次项系数、一次项系数、常数项。能使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解；求方程的过程称为解方程。2、一元二次方程的解题思路：（1）配方法：具体步骤如下，（一元二次方程一般形式----二次三项式），（将二次项系数化简为1），（将常数项移动到等号右边），（配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方），（整理结果为方程左边为完全平方式）当时，方程有两个相同或不同的实数解，即：；当时，方程无实数解。公式法一元二次方程的求根公式为：；（由配方法解得）因式分解法（十字相乘法）一元二次方程根的判别式：。无实数根一个实数根（两个相等实数根）两个不相等实数根韦达定理设方程的两个根为，则：。1.2.2基础知识测试1、已知关于有两个相等的实数根，则m的值为（C）A.2B.10C.2或10D.-2或-10〖解析〗一元二次方程有2个相等的实数根，即，；，解得m1=2，m2=10。2、已知关于的解是非负数，那么满足的条件是（C）A.B.C.D.〖解析〗将方程移项化简得，解得。3、把配方成的形式，则m、n的值分别为（B）A.1，-2B.-1,2C.2，-1D.-2,1〖解析〗具体配方过程为，所以m=-1，n=2。若方程的两个根分别是2,4，则的值为（A）A.-2B.-1C.2D.无法确定〖解析〗由韦达定理可知，，所以。解下列方程（1）的解为。（2）的解为。1.2.3职教高考考点直击一元二次方程在职教高考中为常见考点，考频较高，常以选择题出现，其中韦达定理常结合圆锥曲线、不等式等知识点出现在解答题中。本部分考点理解较易，但其延伸意义及综合运用难度较高，高考中失分率相对较高。考生需加强韦达定理的应用学习。1.2.4经典例题剖析例1把二次三项式的形式。〖解析〗，，。〖点评〗对二次三项式配方，二次项和一次项都提取公因式3，并注意保持恒等变形。变式1把二次三项式，请求出各参数的值。〖解析〗本题考查二次三项式配方的方法，需要将二次三项式配方后的代数式去除括号展开，将与二次项系数、一次项系数、常数项依次对应即可。具体步骤如下：所以。〖点评〗注意在二次三项式配方过程中保持代数式的恒等变形。例2〖解析〗原式可配方变形为：解得。所以。〖点评〗二次三项式的配方过程常结合平方和、平方差公式应用于考题中。例3已知方程的一个根是3，则它的另一个根是，实数k的值为（A）A.-2，-1B.1,2C.-1,2D.2,3〖解析〗设为方程的两个根，则，解得；故答案为A。〖点评〗韦达定理应用：。变式2已知方程的一个根是为m,求满足条件的m的值？〖解析〗设方程另一个根为，则根据韦达定理可知：，解得；或。〖点评〗解答此题时，需要注意当m在等于0时，方程依然成立。变式3已知关于x的一元二次方程有两个不相等的负实数根，试求m的取值范围。〖解析〗依据题意可设为方程的两个根，则解得综上所述，m的取值范围为。1.3不等式1.3.1主要性质1、实数大小的基本性质设是两个任意实数，则他们具有如下基本性质：不等式的性质：对称性：传递性：；运算法则：；；；移项法则：。不等式解集与区间定义：一般地，在含有未知数的不等式（组）中，能使不等式（组）成立的未知数值的全体所组成的集合，称为不等式（组）的解集。特别地，如果各个不等式的解集的交集是空集，则此不等式（组）的解集为空集。不等式解法含绝对值不等式：；。一元二次不等式当，形式；当m＞0时，可化简为含绝对值不等式形式，方法如（1）；当m≤0时，其解集可总结如下表所示：表2-1一元二次不等式的解集RRR表2-2一元二次方程根的正负性根的情况两个正根两个负根两根异号一个零根存在条件C=01.3.2基础知识测试1、已知为实数，则下列命题正确的是（D）A.B.C.D.〖解析〗不等式两边同时乘上一个实数或代数式时，需要确定其正负性。当c=0时，选项A不成立；当时，选项A不成立；选项C结论应为；因此答案为D。2、已知A.2B.3C.5D.6〖解析〗原不等式可化简为；与题设中给定的解集（-1,0）等价，即解得，答案为C。3、不等式的解集是（D）B.C.D.〖解析〗原不等式可化简为；即；所以的解集（-1,2）等价，答案为D。4、不等式的解集为（A）B.C.D.〖解析〗原不等式可分解因式为；解得，根据不等式口诀：不等式小于0取两根之间区域，不等式大于0取两个两边区域可知，答案为A。5、方程有实数根，则实数m的取值范围为（B）A.B.C.D.R〖解析〗原方程有实数解可将其等价为成立；即即可满足题设要求，故答案为B。6、不等式组的解集为。〖解析〗对于不等式组解集为各不等式解集的交集，原式可化简为，即不等式组解集为。7、已知，则m,n的大小关系为m＞n。〖解析〗对于比较两实数大小的比较，可以采用作差法解答，，，所以m＞n。8、解不等式。〖解析〗将原式移项通分得，可等价为，因为方程的两根为-1,3（右图），所以原不等式解集为（-1,3）。1.3.3职教高考考点直击不等式部分在职教高考中为常以选择题形式考查，在解答题中也常有涉及，主要考查不等式性质，其中一元二次不等式、韦达定理经常与函数部分结合出现，难度中等，掌握其主要解题方法，可在考试中得分率较高。1.3.4高考经典例题剖析例1、（2017年山东春季高考）若均为实数，且，则下列不等式成立的是（A）A.B.C.D.〖解析〗故答案A正确；c为实数，当c=0或c＜0时，B选项均错误；，相当于在原不等式两边同时乘了两个负数，所以运算后的两数的大小不确定，对于本题来讲；，故C错误；选项D运算方法同选项C，结果为，D错误；故答案为D。〖点评〗考查不等式运算性质及法则，另可通过带数法进行解答。变式4均为实数，，则下列不等式成立的是（A）A.B.C.D.〖解析〗故答案A正确；c为实数，当c=0或c＜0时，B选项均错误；当两实数为异号时，的大小无法判断，故选项C错误；当时，运算无意义，D错误。例2、（2019年山东春季高考）下列选项正确的是（A）A.B.C.D.〖解析〗即为；故答案为A。〖点评〗考查两个实数的求和及乘积的运算性质，其中乘积遵从“同号为正，异号为负”。变式5比较代数式的大小〖解析〗两代数作差得所以。〖点评〗考查两个实数大小的比较，其中作差法为常用方法，过程中变形常用配方、因式分解、有理化等方法将代数式化成为乘积或完全平方式形式。例3、（2018年山东春季高考）函数的定义域是（D）A.B.C.D.〖解析〗由题意可知，使函数有意义，则，解得，故答案为D。〖点评〗求函数定义域与解不等式密切相关，解题关键为列出满足条件的不等式组，并取各不等式的解集的交集。变式6已知集合A.B.C.D.〖解析〗集合A是关于不等式的解集，即不等式可等价为；注：此处需要将3-x转化为-(x-3)形式；解得方程的两根为-2,3，根据不等式性质得出，化简得x的取值范围为[-1,3),故答案为C。变式7解不等式。〖解析〗不等式有解则需根式有意义，原式可等价为，即不等式组解集为。〖点评〗解无理不等式组主要是将其变形为有理不等式组。例4已知二次函数的图形经过原点，求使的x的取值范围。〖解析〗由题意知，将原点（0,0）代入二次函数中，解得m=1；即二次函数可化简为，其图像为开口向上的抛物线，与x轴两交点为（0，0）、（-2,0），使即，所以不等式解集为。变式8已知关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围。〖解析〗讨论：当二次项系数时，即，原不等式变为恒成立，所以符合要求；当二次项系数时，，解得，故此题解集为。（注：当时，二次函数代表的抛物线开口向上，其取值集合不可能为R）1.2.5考点巩固练习1、（）4B.2C.-2D.-4〖解析〗A。由题意变形为，将两代数式相加得出：，所以在此区间内的数为2，故答案为B。下列结论正确的是（）A.B.C.D.〖解析〗D。运用代数法，，A错误；，B项错误；，C项错误；故答案为D。3、不等式的解集为（）A.B.C.D.〖解析〗A。不等式两边同时乘以或除以一个负数时，需要改变不等号的方向。4、不等式的解集为（）A.B.C.D.〖解析〗C。原不等式因式分解为，解得两根为-3,2，根据不等式小于0取值范围为两根之间的其解集为，故答案为C。5、下列不等式中解集为空集的是（）A.B.C.D.〖解析〗C。，A项错误；选项B其解集为，故B正确；，即，C项错误；D项，故答案为C。6、已知关于x的一元二次方程的两个根分别为-1,3，则不等式的解集为（）A.B.C.D.〖解析〗B。由题意知一元二次方程为开口向下的抛物线，且与x轴交点为-1,3，即在两根之间为不等式大于0（y轴正半轴）部分，所以原不等式解集为；答案为B。7、已知关于x的不等式的解集为实数R，则的取值范围为（）A.B.C.D.〖解析〗A。由题意知方程为开口向上的抛物线，所以原不等式解集为，所以的取值范围为，故答案为A。8、不等式的解集是（）。A.B.C.D.〖解析〗C。原不等式可等价为且，即，故原不等式解集为，答案为C。9、已知是一元二次方程的两实数根，则代数式的值为（）。A.7B.1C.5D.-6〖解析〗A。根据韦达定理得出：，故答案为A。若关于x的一元二次不等式。〖解析〗5。原一元二次不等式只有一个解集2，说明原一元二次方程与X轴只有一个交点，即。若不等式。〖解析〗5。由题意知，不等式解集的取值范围与原不等式相反，则说明不等式中的一个因式中未知数系数为