6类解三角形公式定理解题技巧（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）-高考数学必考模型归纳

题型136类解三角形公式定理解题技巧

（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）

技法01海伦公式的应用及解题技巧

技法02射影定理的应用及解题技巧

技法03角平分线定理的应用及解题技巧

技法04张角定理的应用及解题技巧

技法05倍角定理的应用及解题技巧

技法0610类恒等式的应用及解题技巧

技法01海伦公式的应用及解题技巧

喟3•常见题型解读

海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为

材料题在高考及模考中出现，需加以练习.

知识迁移海伦-秦九韶公式

三角形的三边分别是。、b、c,则三角形的面积为S=，？（P—a）（p—/?）（〃一c）

Z7—I—b-4-「

其中p=z,这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。

我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式：

S—abL-

4、2J

02

跟我学•解题思维剖析

例1.（2022•浙江•统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把

这种方法称为"三斜求积"，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

s=lj,其中q,6,c是三角形的三边，s是三角形的面积.设某三角形的三边

a=A/2,b=V3,c=2,则该三角形的面积S二

技巧点拨o

【详解】因为S=*一『+丁］，所以s=：4乂2-［七『)=孚.故答案为：亭.

睛条练•知识迁移强化

1.(2022•全国•校联考模拟预测)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用

三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边分别为a,b,c,则其面积5=Jp(p_a)(p_b)(p_c),

〃+/?+6

这里P=.已知在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=6,b+c=10,则AABC

的面积最大值为().

A.6A/3B.8A/2C.10D.12

2.(2023上•河北石家庄•高三校考阶段练习)海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角

形面积S的公式，表达式为：S〈p(p-a)(p-b)(p-c)(其中°=a+；+c)；它的特点是形式漂亮，便

于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了"三斜求积术"，但它与海伦公式完全等价，因此海

伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为10+2/7的AABC满足sinA:sinB:sinC=2:3：V7,则用以上

给出的公式求得"RC的面积为()

A.8A/7B.4A/7C.6石D.12

3.(2023・海南•校联考模拟预测)(多选)古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了"海伦

公式"：S=Qp(p-a)(p-b)(p-c),其中pJ+'c,a,b,c分别为AABC的三个内角A,B,C所对的

边，该公式具有轮换对称的特点.已知在AABC中，sinA:sinB:sinC=8:7:3,且AABC的面积为126，

则()

A.角A,B,C构成等差数列B.dBC的周长为36

C.AABC的内切圆面积为与D.8C边上的中线长度为回

技法02射影定理的应用及解题技巧

喟1•常见题型解读

三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答

题不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三

角形射影定理能够快速得到答案，需强化练习

知识迁移射影定理a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA

02

跟我学•解题思维剖析

例2.（全国•高考真题）AABC的内角A,8,C的对边分别为a,"c,若2bcosB=acosC+ccosA，则3=

解题

技巧点拨o

在0A3C中，acosC+ccosA=b,团条件等式变为2bcosB=b,团cos3=J.

n

又0<B<R,[?]B=—.

唁磊福•知识迁移强化

1.（2023•上海浦东新•统考二模）在团ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b>c,5acosA=bcosC+ccosB,

贝Isin2A=.

2.（全国•高考真题）AABC的内角4B,C的对边分别为o,b,仁已知285。（々355+尻054）=。.

⑴求角c；⑵若C="S"当,求A^C的周长.

Z.22_2

3.（2023•全国•统考高考真题）记“WC的内角A氏C的对边分别为6,c,已知巴士V=2.

cosA

⑴求be；

,…acosB—bcosAbq

⑵若——不一r一一二1，求AABC面积•

acos6+匕ocsAc

rA3

4.（上海虹口•高三上外附中校考期中）在AABC中，acos2—+ccos2-=-b,贝|（）

222

A.a,b,c依次成等差数列

B.b,a,c依次成等差数列

C.a,c,b依次成等差数列

D.a,b,c既成等差数列，也成等比数列

5.（2023•全国•高三专题练习）在AABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,若“LBC的

r,/acosB+bcosA八八…

面积S»BC=26，a+b=6,------------------=2cosC,贝i]c=.

技法03角平分线定理的应用及解题技巧

•常见题型解读

在解三角形中，应用角平分线定理及其变形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点,

需重点学习.

知识迁移

角平分线定理

4R

（1）在A45C中，AD为NA4c的角平分线，则有一

BD

ciZBAC

2bxexcos------

(2)AD=-------------2_

b+c

AD*2^ABxAC-BDxCD(库斯顿定理)

ABSARn

(4)

ACS^ACD

02

跟我学•解题思维剖析

例3.（2023•全国•统考高考真题）在AABC中，ABAC=60°,AB=2,BC=y/6,/SAC的角平分线交8c于

D,则AD=.

技巧点拨o

由余弦定理可得，2?+/-2x2xZ?xcos6CT=6,因为b＞。，解得：b=1+A/3,

”2b/BAC

An_计算即可，故答案为：2.

b+c

睛条练•知识迁移强化

1.（2023・全国•高三专题练习）△ABC中，边5c内上有一点。，证明：A。是NA的角平分线的充要条件

日

口_A___B_____B__D

AC-DC

2.（2023春咛夏银川•高三校考阶段练习）在“IBC中，角A的角平分线交3C于点。，且AB=4,AC=2,

则而等于（）

1►2^5—►2—►

A.-AC+-ABB.-AB——AC

3333

2—>1—、2—-1—.

C.-AC——ABD.-AC+-AB

3333

3.（2023春•湖北・高一赤壁一中校联考阶段练习）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,

若4=手，a=7,b=3,则角A的角平分线AD=.

4.（2023春•安徽滁州,高一统考期末）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

asinA-bsmB-csinC—bsinC=O.

⑴求角A的大小；

⑵若AB=5,AC=3,是0ABe的角平分线，求的长.

技法04张角定理的应用及解题技巧

需高・常见题型解读

在解三角形中，应用张角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习.

知识迁移

张角定理期2+随4=迦空0

ABACAD

02

跟我学•解题思维剖析

例4-1.(内蒙古呼和浩特•统考一模)如图，已知AD是AABC中一胡C的角平分线，交8C边于点£>.

AB_BD

(1)用正弦定理证明:

~\C~~DC

(2)若NB4c=120。，AB=2,AC=1,求AD的长.

技巧点拨o

9

先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD的长为冷.

例42在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知点。在边上,

AD1AC,sinABAC=^^,AB=3&,AD=3,则CD=

3------------

解题

技巧点拨o

解：如图

sin"AC='一

3

cosABAC=Vl-sin2ZBAC=-

3

sinZBACsinZBADsinZDAC

由张角定理得:---------1---------

ADACAB

272

sin〔ZBAC—；sm.——7C

即三+—春

AC372

2yfl-cosABAC1

9AC372

_1

2」「3।1

9~AC372

AC=36

.-.CD=y/AD2+AC2=3石

唱篇j•知识迁移强化

1.在4ABe中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=4,ABAC=120°,ABAC的角平分线交边

BC于点D,贝IAD=

2.在“ABC中，角A、AC所对的边分别为a、Ac,AD是ZBAC的角平分线，若

ZBAC=女.I1=2百，则2Z?+c的最小值为

3

3.（2023上•河南信阳•高二河南宋基信阳实验中学校考期末）AABC中，角48,C所对的边分别为。，瓦c,

ZABC=120°,8D_L8C交AC于点。，且BD=1,2a+c的最小值为（）

8R8百

A.-D.----------C.8D.8A/3

33

技法05倍角定理的应用及解题技巧

•常见题型解读

在解三角形中，应用倍角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习.

知识迁移

倍角定理

在AABC中，三个内角4B、C的对边分别为a、b、c,

(1)如果4=25,则有:/=/+Z?c,(2)如果C=2A,则有:。2=储+"，⑶如果3=2。则有仍2=。2+近

倍角定理的逆运用

在AABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,

(1)如果/=〃+次,则有：A=2§,(2)如果°?=储+出7,则有：。=24/3)如果/72=02+4<:,则有：5=2。。

02

跟我学•解题思维剖析

例5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若B=2A,a=l,b=V3,则c=

技巧点拨

B=24由倍角定理得：庐=。2+ac

2

即（⑹=I2+1XC

c=2

你来练•知识迁移强化

1.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知8b=5c,C=2B,则cosC=

2.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若A=2B,则声信)的最小值为

3.△力BC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,若a?-6?=儿,且sirM=V5sinB,则角A=

4.(2023・重庆•统考模拟预测)在锐角0ABe中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足。2=c(c+a).

(1)证明：B=2C；

(2)求」不一——+3sinB的取值范围.

tanCtanB

技法0610类恒等式的应用及解题技巧

喟3・常见题型解读

在解三角形中，应用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习.

知识迁移

三角恒等式

在AABC中，

©sinA+sinB+sinC=4cos—cos—cos—；

222

ABC

®cosA+cosB+cosC=l+4sin-sin一sin一；

222

③sin?A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

④cos2A+cos2B+cos2C=l-2cosAcosBcosC；

行「A.,B.,C.A.B.C

（5）sin-——l-sin-——l-sin--=l-2sin-sin-sin一；

222222

角2A2B2cA.B.C

@cos——Feos——Feos一=2+2sin—sin—sin一；

222222

⑦tanA+tan5+tanC=tanA-tanB•tanC；

⑧cotA-cotB+cotA-cotC+cotBcotC=l；

小ABCABC

（9JCOt——I-COt——FCOt一=COt-COt-COt一;

222222

ABBC