2023-2024学年苏科版八年级数学上册复习专练：利用轴对称的特性解决问题压轴题四种模型（解析版）

专题05利用轴对称的特性解决问题压轴题四种模型全攻略

『匚【考点导航】

目录

【典型例题】...................................................................................1

【类型一几何图形中的最小值问题】.........................................................1

【类型二实际问题中的最短路径问题】......................................................10

【类型三一次函数中线段和最小值问题】....................................................16

【类型三一次函数中线段差最大值问题】....................................................25

【典型例题】

【类型一几何图形中的最小值问题】

例题：（2023秋•重庆南川•八年级统考期末）如图，AABC是等腰三角形，底边3C的长为6,面积是30,腰

AC的垂直平分线E尸分别交AC、AB于点E、F.若点。为8C边的中点，点M为线段所上一动点，则

VCDM周长的最小值是（）

A.11B.13C.18D.24

【答案】B

【分析】连接AD,AM,由"LBC是等腰三角形，点。是BC边的中点，可得AD13C,再根据三角形的

面积公式求出AD的长，然后根据线段垂直平分线的性质得出AD的长为CN+DM的最小值，由此即可得

出结论.

【详解】解：连接AD,AM,

D

回AABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

0AD7BC,

回

S△/AuRjCc=2-BC-AD^2-x6xAD=30,

解得AD=10,

回EF是线段AC的垂直平分线，

0CM=AM

^CD+CM+DM=CD+AM+DM,

^AM+DM>AD,

EAD的长为CM+DM的最小值，

回VCDM周长的最小值为：AD+CD=AD+-BC=10+3=13,

2

故选：B.

【点睛】本题考查的是轴对称一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

【变式训练】

1.（2022春•七年级单元测试）如图，AABC中，ZACB=90\AC=BC,AB=4,点E在3C上，且3E=2,

点尸在/ABC的平分线8。上运动，则PE+PC的长度最小值为（）

【答案】B

【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可.

【详解】将E关于对称至点E',连接CE',

回EP=PE',

^iPE+PC=PE'+PC,

回（PE+尸0mhi=CE',

0ZACB=90°,AC=BC,AB=4,且3E=2,

回厅是AB中点，

^\CE'=-AB=2.

2

0（PE+PC）.=2

\/min

【点睛】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短.

2.（2023秋•甘肃,八年级统考期末）如图，408=15。，M是边。4上的一个定点，且OM=12cm,N,P分

别是边。4、上的动点，则PM+PN的最小值是

【答案】6cro/6厘米

【分析】作M关于。8的对称点。，过。作QNLOA于N,交0B于P,则此时PM+PN的值最小，连接

OQ,得出NQOB=ZAO8=15。，OQ=QW=12cm,PM=PQ,ZQNO=90°,根据含30度角的直角三角形性质求

出QN即可.

【详解】作M关于。8的对称点。，过。作QNLQ4于N,交0B于P,则此时PM+PN的值最小，连接

OQ,

贝l]NQOB=ZAO5=15°,OQ=OM=12cm,PM=PQ,NQNO=90°,

ZQON=30°,

SQN=^OQ=6,

PM+PN=PQ+PN=QN=6cm,

故答案为：6cm.

【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，轴对称一最短路径问题，垂线段最短的应用，确定点

P、N的位置的解题的关键.

3.（2023春・福建漳州•七年级福建省漳州第一中学校考期末）如图，在等边三角形ABC中，AD1BC,垂

足是D且4）=5,点E,尸分别是线段AD,AC上的动点，则EC+E尸的最小值是.

【分析】根据等边三角形的对称性可得EC=£B,根据垂线段最短即可求EC+£F的最小值.

【详解】解：由等边三角形的对称性可得EC=£B

故EC+EF=EB+EF

过点8作3GLAC,如图所示：

则（匹+EFL=BG

S4ABe=g*BCxAD=gxACxBG,AC=BC

,-.BG=AD=5

故答案为：5

【点睛】本题考查了等边三角形的对称性、"垂线段最短”等知识点.熟记相关结论是解题关键.

4.（2023春・广东揭阳•七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰41BC中，AB=AC,BC=1,作

A。13c于点O,AD=^AB,点E为AC边上的中点，点尸为8C上一动点，则R4+PE的最小值为.

【答案】|7

【分析】作点A关于8C的对称点A"延长AD至A,使AD=AO,连接AE,交BC于P,此时外+PE的

值最小，就是AE的长，证明AE=CD即可.

【详解】解：作点A关于BC的对称点A,延长AD至A，，使AD=A'O,连接AE,交BC于P,此时必+PE

的值最小，就是AE的长，

AB=AC,BC=1,ADJ.BC,

7

;.BD=CD=~,

2

•1-AD=-AB,

2

.•.4=30。，

:.ZBAD=ZCAD=60°,

AD=AD,

是等边三角形，

•・•点E为AC边上的中点，

.-.AE1AC,

77

:.A'E=CD=-,即上4+PE的最小值为5,

7

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对

称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用.

5.(2023春•全国•七年级专题练习)如图，等边41BC(三边相等,三个内角都是60。的三角形)的边长为10cm,

动点。和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向8和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另

一个也停止运动，设运动时间为f,0<r<10,DC和BE交于点?

AA

D/\/\£

⑴在运动过程中，8与跖始终相等吗？请说明理由；

(2)连接DE,求f为何值时，DE//BC；

(3)若于点M,点尸为BM上的点，且使尸£>+尸石最短.当t=7时，尸£>+尸石的最小值为多少？请

直接写出这个最小值，无需说明理由.

【答案】⑴8与BE始终相等

(2)5

(3)7

【分析】(1)证明AAOC0ACEB(SAS)即可；

(2)根据DE〃3C,得至1」AD=AE,即r=10T,求出『即可；

(3)作。点关于2M的对称点0c交8C于点〃，连接。上，交8M于点P,则DP+PE=DP+PE=DE,

证明ACD'E为等边三角形，即可求ZXE的值.

【详解】(1)解：由己知可得AD=t,EC—t,

团AD=CE,

回AABC是等边三角形

团NA=NACB=60。，BC=AC,

团△ADC电△CE5(SAS),

田BE=CD,

团CD与班始终相等;

解：团AABC是等边三角形

团NABC=NACB=60。，

国DE:〃BC,

:.ZADE=ZABC=ZAED=ZACB=60°f

^\AD=AE,

团AB=AC=10,

团”10T,

酎=5；

(3)0BM1AC,

团8M平分/ABC,

作。点关于5M的对称点。C交5C于点。圾连接。石，交刚/于点尸,

团。尸二。'尸，

当点D,P,E三点共线时，PD+尸石有最小值,

⑦DP+PE=DP+PE=DE,

回/=7,

^AE=BD=BD'=3,AD=CE=1,

EICD'=7,

又NC=60°,

EIACD'E为等边三角形，

0D,E=CD,=7,

回尸口+尸石的最小值为7.

【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段=再由等边三角形的性

质求解。上的长是解题的关键.

6.（2023春•广东佛山•八年级校考期中）如图，已知AABC回ACZM,将AABC沿AC所在的直线折叠至VAB'C

的位置，点8的对应点为"，连结BE.

（备用图1）（备用图2）

⑴直接填空：*5与AC的位置关系是；

⑵点尸、0分别是线段AC、3C上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知△班'C的面积为36,BC=8,

求依+P。的最小值；

⑶试探索：AABC的内角满足什么条件时，AABE是直角三角形？

【答案】（1）23，AC

（2）9

（3）当NACB=45°时，ZAEB'=90°；当NABC=90°时，ZABrE=90°

【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断；

（2）根据对称的性质，在上取点“，使得CQ=CM,结合对称性质推出尸3+尸。=尸2+尸”，确定三

点共线且垂直于9C时，取得最小值，结合面积进行计算即可；

（3）分/AB'E=90。和ZAEB'=90。两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答.

【详解】（1）解：回AABC沿AC所在的直线折叠至VAB'C的位置，点B的对应点为3',

SB'BLAC,

故答案为：B'BIAC；

（2）解：如图所示，在"C上取点使得CQ=CM,连接尸”，

根据对称的性质，PQ=PM,

B'

^\PB+PQ=PB+PM,

要求PB+PQ的最小值，求PB+PM的最小值即可，

国当8、P、M三点共线，且时，PB+PM取得最小值,

此时=如图所示，

团取得最小值时，BM±B'C,

即：36=—x8»BM,解得：BM=9,

回尸8+尸。的最小值为9；

(3)解：①当NACB=45。时，NAEB'=90。；

回由翻折变换的性质可知，ZBCA=ZB'CA,

SZBCB'^90°,

SAABC^ACDA,

SZBCA=ZDAC,

HAD//BC,

^ZAEB'=ZBCB'=90°；

②由翻折的性质，当NABC=90。时，ZAB'E=9Q°.

【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟

知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等

是解题关键.

【类型二实际问题中的最短路径问题】

例题：（2023春•广东广州•八年级华南师大附中校考期中）如图，A、2两个村子在笔直河岸的同侧，A、B

两村到河岸的距离分别为AC=2km,BD=5km,CD=6km,现在要在河岸CD上建一水厂E向A、B两

村输送自来水，要求水厂E到A、8两村的距离之和最短.

B

A

clD

⑴在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

⑵求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值.

【答案】⑴见解析

（2）^5km

【分析】（1）延长AC,取A'C=AC,再连接A2,与8交于点E即可；

（2）作出以A3为斜边的直角△ABb,求出直角边，利用勾股定理求出结果.

【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；

(2)如图，作出以A3为斜边的直角

由(1)可知：AE=AE,

由题意可得：AC-2km,BD=5km,CD=6km,

ElAC=AC=2km,BF=5+2=7kni,A尸=CD=6km,

回水厂E到4、B两村的距离之和的最小值为今八后不产二后小.

B

【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于8的对称点是确

定建水厂位置的关键.

【变式训练】

1.（2023春,八年级课时练习）如图，A,8两个村庄在河的同侧，两村庄的距离为。千米，Y=i3,它

们到河8的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河边上修建

一水厂向A，B两村输送水.

⑴在图上作出向A,B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置（只需作图，不需要证明）

⑵经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这

项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.

【答案】⑴见解析；

（2）50万元.

【分析】（1）作点A关于直线CD的对称点A,连接A3,交CD于M点,即M为所求；

（2）连接A'A交于H点，过点8作尸BLAH,根据勾股定理求出BP,AZ=5km即可得出答案.

【详解】（1）解：如图，作点A关于直线8的对称点A，，连接A3,交CD于M点，即M为所求.

（2）解：如图，连接A'A交8于8点，过点2作尸

由题意可知：AH=A'H=]km,PH=3km,AB-^km,

回上4=PH—AH=2km,F4'=PH+AH=4km

团在RSAPB中，BP=ylAB2-P^=713-22=3km>

3

团在RtZWPB中,A3=JA/?+PB?=J42+32=5km,

由对称性质可知：AM=AM,

水管长41/+BN=AM+=A3=5km,

完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5*3+5=50(万元)

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生

的动手操作能力和计算能力.

2.(2021秋•江苏苏州•八年级校考阶段练习)如图，小区A与公路/的距离AC=200米，小区8与公路/的

距离80=400米，已知8=800米，

B

A

---------------------------------°—I

CD

⑴政府准备在公路边建造一座公交站台。，使。到A、8两小区的路程相等，求C。的长；

(2)现要在公路旁建造一利民超市P,使P到48两小区的路程之和最短，求出+PB的最小值，并求CP的

长度.

【答案】⑴475米

(2)1000米，竿米

【分析】(1)根据勾股定理歹！I出方程2002+/=40。2+(800—尤)2,解方程即可；

(2)如图，作点A关于直线/的对称点A,连接AB,交直线/于点P.则AP=AP,AP+BP^A'P+BP,

以+PB的最小值为AB.

(1)

解：如图1,

B

CQD

图1

此时AQ=BQ.

设CQ=x,贝1」。。=800-尤，

02002+x2=4002+(800-%)2,

解得尤=475,

即CQ的长为475米；

⑵

解：如图2,

作点A关于直线/的对称点A,连接A8,交直线/于点P.

则AP=A'P,

AP+BP=A'P+BP,

PA+PB的最小值为18002+(400+200)2=1000米.

^AA!//BD,

CPA'C2001

PD~BD400-2'

CP1

团=—,

CD3

0CP=-CD=-x8OO=—（米），

333

即CP的长度为竿米.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q、尸的

位置是本题的关键.

3.(2023春•全国•七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线/同旁有两个定点A,B,

在直线/上是否存在点尸，使得R4+PB的值最小？

小明的解法如下：如图，作点A关于直线/的对称点A,连接A3,则与直线/的交点即为P,5.PA+PB

A'

问题提出:

⑴如图，等腰的直角边长为4,E是斜边的中点，P是AC边上的一动点，求PB+PE的最小

问题解决:

⑵如图，为了解决A,8两村的村民饮用水问题，A,2两村计划在一水渠上建造一个蓄水池从蓄水池

M处向A,B两村引水，A,B两村到河边的距离分别为AC=3千米，3。=9千米，CD=9千米.若蓄水

池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的

费用最少，并求出最少的铺设水管的费用.

8村

4村

水渠

D

【答案】(1)2710

(2)最少的铺设水管的费用是225000元

【分析】(1)作点B关于AC的对称点玄，连接BE交AC于P,此时PB+尸"的值最小，连接A3先根据

勾股定理求出A3的长，再判断出NW90。，根据勾股定理即可得出结论;

⑵根据轴对称的性质确定水厂位置，作AELBD交8。的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出DE、A，E,

根据勾股定理求出43,得到9+P3,结合题意计算即可.

【详解】（1）解：如图，作点8关于AC的对称点连接2Z交AC于尸，此时尸B+PE的值最小，连接AB.

因为等腰Rt^ABC的直角边长为4,E是斜边A3的中点，

所以AB，=AB=jAC2+3c2="2+42=4近，

AE=-AB=2y/2,

2

因为NB'AC=N54C=45。，所以N3'AB=90。，

所以PB+PE=fB，+PE=B'E=y/B'^+AE2=44何+（20=2M.

（2）如图，延长AC到点A"使C4'=AC,连接RY交8于点点M即为所选择的位置，过点A，作

A'E_L3D交3。的延长线于点E.

切/村

/

/

4村/

\/

\/

渠

---C---1--/-\ML_________方______7小k木

z__________J

ArE

在石中，5£=9+3=12千米，AE=9千米，

所以43=4BE，+N笆=b+12?=15（千米），

所以最短路线A"+3M=A8=15（千米），

最少的铺设水管的费用为15x15000=225000（元）.

答：最少的铺设水管的费用是225000元.

【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、

两点之间，线段最短的性质是解题的关键.

【类型三一次函数中线段和最小值问题】

例题：(2023春•山东德州•八年级校考阶段练习)如图，一次函数y=：x+2的图象分别与无轴、y轴交于点

A、B,以线段A3为边在第二象限内作等腰RtA4SC,ZBAC=90°.(可能用到的公式：若

21

/(叼%),B(X2,%)，①AB中点坐标为(七三，产)；②加

XAO\X

⑴求线段AB的长；

⑵过8、C两点的直线对应的函数表达式.

(3)点。是BC中点，在直线AB上是否存在一点P,使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若

不存在，则说明理由.

【答案】(1)A3=26

(2)y=-；x+2

⑶存在，最小值是50

【分析】(1)求出点A、8的坐标，再根据勾股定理求解即可；

(2)先证明AACF名ABAO,得出点C坐标，再根据待定系数法求解即可；

(3)作点C关于A3的对称点连接交直线A2于点P,则此时尸C+尸已有最小值，即为V。的长,

根据中点坐标公式分别求出点。、M的坐标，再根据两点距离公式求解.

【详解】(1)对于y=gx+2,令尤=0,则y=2,

令y=0,则;x+2=0,解得x=4

回A(yo),B(o,2),

0AB=A/22+42=2A/5；

(2)作CF_Lx轴于点E如图，则NCE4=NAOB=90。,

团等腰RtAABC,ZBAC=90°,

团AC=AB,ZACF=900-ZCAF=ZBAO.

团△ACF/ABAO,

^\CF=OA=4,AF=BO=2,

团C(-6,4),

设直线BC的解析式为y=mx+n,

1

-f)m+n=4m=——

则,解得3,

n=2

n=2

(3)回。是3C中点,

回点。的坐标是(—3,3),

作点C关于AB的对称点M,连接交直线A2于点P,则此时PC+PD有最小值，且

PC+PD=PD+PM=MD,BPPC+PD的最小值是MD的长，

BZCAB=90°,

0C,A、M三点共线，且A是CM中点，

设M(p，4),则段"=一4,岁=0,

解得0=-2应=-4,

EM(-2,-4),

^\MD=J(-2+3)2+(-4-3)2=50,

故PC+PD存在最小值，是5VL

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、利用轴对称的性质求线

段和的最小值以及两点间的距离公式等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、明确求解的方法是

解题关键.

【变式训练】

1.（2023春・河北石家庄•八年级石家庄市第四十一中学校考期中）一次函数好质+。的图像经过两点A（4,0）,

5（0,8）.点。（根,4）在这个函数图像上

⑴求这个一次函数表达式；

（2）求机的值；

⑶点C为。4的中点，点P为上一动点，求尸C+尸。的最小值.

【答案】⑴y=2+8

（2）2

（3）4出

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）将。（加,4）代入一次函数解析式求解即可；

（3）作C与。关于直径y轴对称，连接CQ交y轴于P,则PC+尸。的最小值就是线C\D的长度，再求出

最小值即可.

【详解】(1)将4(4,0),3(0,8)代入尸丘+b得,

4左+Z?=0k=-2

。，，解得

6=bb=8

回y=-2%+8；

(2)将。(机,4)代入y=-2尤+8得，4=-2»?+8

解得m=2；

(3)解：如图,

由平面坐标系中的对称性可知，C与C，关于直径y轴对称，连接C'D交y轴于P,则尸C+PD的最小值就是

线C'D的长度，

团A(4,0),6(0,8),

0C(2,O),0(2,4),

回C与C'关于直径y轴对称,

回。'(-2,0),

^C'D=^42+42=4A/2，

0PC+PD的最小值为472，

故答案为：4A/2.

【点睛】此题是一次函数函数综合题，主要考查了轴对称性，一次函数的性质，勾股定理，解本题的关键

是找到使距离之和最小时的点尸位置.

2.(2023春・湖南长沙•八年级校联考期中)如图，直线4经过点A(4,0),与直线“：交于点

⑴求。的值和直线乙的解析式；

⑵直线1与y轴交于点c,求ABOC的面积；

⑶在y轴上是否存在点P,使得PB+丛的值最小，若存在，请求出尸3+上4的最小值，若不存在，请说明

理由.

41

【答案】⑴。=§,直线乙的解析式为y=-5工+2

⑶存在，M+PA的最小值为半

【分析】(1)由直线4：y=x经过点即可求得〃=g，然后利用待定系数法即可求得直线4的解析

式;

(2)由直线4的解析式求得点。的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可；

(3)作点8关于y轴的对称点-连接AB,交y轴于点尸，则此时尸3+R4的值最小，P3+R4的

最小值为A8',利用两点之间的距离公式求解即可得.

【详解】(1)解：点代入得：a=g,

设直线乙的解析式为，=履+方，

「44、悭+6=。L_1

将点A(4,0),代入得：i4k+b=4,解得2,

'「忖左+-3,=2

则直线乙的解析式为y=-；x+2.

(2)解：对于直线4：y=-;x+2,

当％=0时，＞=2,即C（0,2）,OC=2,

144

则^BOC的面积二—x2x—=—.

(3)解：存在，求解过程如下：

如图，作点8关于y轴的对称点连接AB,交y轴于点P,则此时P3+P4的值最小，PB+PA

的最小值为A9,

Q4(4,0),

.•.PB+F4的最小值为丈7.

3

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握

待定系数法是解题的关键.

3.(2023春•重庆万州•九年级重庆市万州第一中学校联考期中)如图1,直线4：y=-；x+l与无轴，y轴分

别交于A,8两点，直线4与无轴，，轴分别交于C,。两点，两直线相交于点P,已知点C的坐标为(-2,0),

⑴直接写出点A、P的坐标，并求出直线4的函数表达式;

(2)如图2,过点A作x轴的垂线，交直线4于点〃，点。是线段A"上的一动点，连接8,QC,当AQOC

的周长最小时，求点。的坐标和周长的最小值.

(3)在第(2)间的条件下，若点N是直线A〃上的一个动点，以D,Q,N三点为顶点的三角形是等腰三角

形，请直接写出此时点N的坐标.

【答案】⑴A(4,0),尸1一$|］；>=》+2

⑵点。的坐标为周长的最小值20+4而，

⑶园或四小手)小手)

【分析】⑴对于仆=-%+1,令"。‘求出』可得点A的坐标，再把点P的横坐标代入1-%+1,

求出尤的值即可得到点P的坐标，再运用待定系数法求出直线乙的解析式即可；

(2)先求出点D的坐标,再运用勾股定理求出CD=2母,过点D作AM的对称点〃，得。'(8,2),连接。C,

交AM于占由两点之间，线段最短可知OQ+C。的最小值为DC的长，从而可得ACDQ周长的最小值，

再运用待定系数法求出直线。'。的解析式，进一步可得出点。的坐标；

(3)设N(4j),分别求出£>N、QN、。。的长，再分DN=QN,DN=DQ,QN=三种情况讨论求解即

可.

【详解】⑴对于-%+1,当『时，-*1=。,

解得，x=4,

A(4,0),

4

团点尸的横坐标为-M，

14

/.y=——x+1=

41

46]

:.P5,5J；

设直线4的解析式为丫=履+6,

46

把C(-2,0),P代入y=履+上得,

555

-2k+b=0

I55

k=l

解得:

6=2'

回直线4的解析式为y=x+2；

(2)对于直线y=x+2,当x=0时，y=2,

0W,2),

过点D作点D关于AM的对称点D0,连接D'C交AM于点

根据"两点之间，线段最短"可知，。。+。。的最小值为。，。的长,

00(0,2),

回。'(8,2)

又C（-2,0）

回CD'=J[8—（-2）『+（2—0『=4后，C£）=V22+22=272

EUCD。的周长最小值为：CD+CD'=2y/2+4yf26,

设。C的解析式为：y=mx+n,

把C（_2,0）,。（8,2）代入丫=〃/+”,得，

[—2m+n=0

[8m+n=2'

f1

m=—

解得，2

n=—

[5

团直线DC的解析式为y=（%+丁

、“—126

当x=4时，y=-x44+-=~,

,，I]；

（3）设N（4/）,

回2卜野，C(-2,0),

0D?/2=(0-4)2+(2-r)2=(2-r)2+16,

。。'①-心口々=空

当DN=QN时，^DN2=QN2,

回（2一。2+16=［一1）,

CQ

解得，f=］,

当。N=£>Q时，有DN?=DQ。,

回（2-力2+16=及，

解得，%=］14，%=£6（不符合题意，舍去）

回«4,与

当QV=DQ时，有QN=DQ。,

解得，”31=且1,

525

回中手卜中得斗

综上，点N的坐标为：HgJ或或卜,”叵，或卜，空警

【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、等腰三角形的性质和判定、最短问题等知识，解题的

关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用对称解决最值问题.

【类型三一次函数中线段差最大值问题】

例题：(2023秋•四川成都•八年级统考期末)如图所示，直线4：y=x-l与y轴交于点A,直线4：y=-2x-4

与X轴交于点6,直线4与4交于点c.

⑴求点AC的坐标；

(2)点尸在直线4上运动，求出满足条件S&BC=SBC且异于点A的点P的坐标；

(3)点0(2,0)为x轴上一定点，当点。在直线乙上运动时，请直接写出的最大值.

【答案】⑴点A的坐标为(0,-1),点C的坐标为(--2)

⑵(-2,-3)

(3)710

【分析】(1)根据直线与坐标轴交点的特点即可求解，联立两条直线的解析式，解二元一次方程组即可求

解；

(2)根据直线与坐标轴的交点，求出AABC的面积，设P(PM-1),用含〃的式子表示APBC的面积，根据

SAPBC=S"BC即可求解；

(3)如图，作点B关于直线乙的对称点B',连接B'D并延长交直线乙于Q,求口。-怕勺最大值转换为求B'D,

根据勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：团直线4：y=xT与＞轴交于点A,

回令尤=0,贝!|y=-i,

回点A的坐标为(0,-1),

[y—x—\fx=—1

联立直线4：y=x-i与直线4：y=-2x-4得，」解得，

[y=-2x-41y=-2

回点C的坐标为(T-2).

(2)解：如图，直线乙与x轴交于点M,

直线4：y=%-i,令y=。，则无=1,

团点M的坐标(1,。)，

直线4：》=-2%-4,令y=0,则％=-2,

回点B的坐标(-2,0),且点C(-l,-2),

团BM=3,

®^AABC=S^MBC-^AABM=-x3x2--x3xl=-,

222

团SMBC=^AABC，

团点尸在直线乙上运动,且点尸只能在点C的左下方,

...设尸（0,pT）,

•,^APBC=^AMPB-S/\CBMx3x|p-l|--x3x2=—,

2平।22

0|p-l|=3,

Ep-1=±3,解得p=-2或p=4（舍去）,

3

当尸（-2,-3）时,SAPBC=SAABC=-；

团满足条件S^BC=Sfc且异于点A的点P的坐标为(-2,-3).

(3)解：如图，作点B关于直线4的对称点？，连接B7)并延长交直线6于。,

0BQ=B'Q,BE=B'E,

设直线k交x轴于E,由(2)知EQS)),

'：OE=OA=1,

：.NOE4=45。，

0Z^£B=9O°,

回点8的坐标(一2,0),

@BE=B'E=3,

回点B'的坐标(L-3),

回的最大值为|92—矶2|=3'。，

回点。(2,0),

回［(2-1)2+32=&5,

回的最大值为亚.

【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，掌握一次函数图像的性质，几何图形的变换，解二元一次

方程组的方法，勾股定理等知识是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022秋•重庆沙坪坝•八年级重庆八中校考期中)如图1所示，在平面直角坐标系中，点4(0,2),点B

在彳轴负半轴上，OB=2OA.

（2）点C（-百,，"）是第三象限内一点，AABC的面积为6-6，若点尸是x轴上一动点，求-P。的最大值；

（3）如图2,在第（2）问的条件下，过点C作直线CD〃x轴，点Q为直线CD上一动点，是否存在以A,B,

。为顶点的三角形是以A8为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=；x+2

(2)2

(3)存在；