2015-2024年高考数学试题分类汇编：直线与圆小题综合（解析版）

冷泉17支铁易圆小泉除合

十年考情­探规律

考点十年考情(2015-2024)命题趋势

2024•北京卷、2022•全国甲卷、2022•全国乙卷

1.理解、掌握直线的倾斜角与斜

考点1直线方

2018•天津卷、2016•上海卷、2016•浙江卷率及其关系，熟练掌握直线方

程与圆的方程

2016•天津卷、2016•全国卷、2015•全国卷

程的5种形式及其应用，熟练

（10年5考）

2016•北京卷、2015•北京卷掌握距离计算及其参数求解，

考点2直线与2023•全国新H卷、2022•北京卷、2022•天津卷该内容是新高考卷的常考内

圆的位置关系2020•天津卷、2018•全国卷、2016•全国卷容，通常和圆结合在一起考查，

及其应用2016•全国卷、2016•全国卷、2016•山东卷需重点练习

（年考）•湖北卷、•湖北卷、•全国卷

1062015201520152.理解、掌握圆的标准方程和一

2024•全国新H卷、2023•全国新I卷、2023•天津卷般方程，并会基本量的相关计

考点3圆中的

2022•全国甲卷、2021•全国新H卷、2020•全国卷算，能正确处理点与圆、直线

切线问题

2020•全国卷、2020•浙江卷、2019•浙江卷与圆及圆与圆的位置关系求

（10年7考）

2015•山东卷、2015•山东卷、2015•湖北卷解，能利用圆中关系进行相关

考点4直线、2024•天津卷、2023•全国甲卷、2023•全国乙卷参数求解，会解决圆中的最值

圆与其他知识2022•全国新H卷、2022•全国甲卷、2021•全国新II卷问题，该内容是新高考卷的必

点综合2021•全国乙卷、2021•全国甲卷、2020•山东卷2020•北考内容，一般考查直线与圆和

（10年7考）京卷、、2018•全国卷、2015•全国卷圆与圆的几何综合，需强化练

习

2024•全国甲卷、2024•全国甲卷、2023•全国乙卷

3.熟练掌握圆中切线问题的

考点5直线与2022•全国新H卷、2021•北京卷、2021•全国新I卷

快速求解，该内容是新高考卷

圆中的最值及2020•全国卷、2020•北京卷、2020•全国卷

的常考内容，需要大家掌握二

范围问题2020•全国卷、2019•江苏卷、2018•北京卷

级结论来快速解题，需强化练

（10年9考）2018•全国卷、2017•江苏卷、2016•四川卷

习

2016•四川卷、2016•北京卷

4.强化解析几何联动问题

分考点二精准练金

考点01直线方程与圆的方程

1.(2024・北京・高考真题)圆f+y2-2x+6y=0的圆心到直线尤-丁+2=0的距离为()

A.V2B.2C.3D.3亚

【答案】D

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.

【详解】由题意得Y+>2-2x+6y=。，即(无一I)?+(y+3)2=10,

”(-3)+2|

则其圆心坐标为。,-3),则圆心到直线尤-y+2=0的距离为=3母

"+(-1)2

故选：D.

2.(2022•全国甲卷・高考真题)设点M在直线2无+丫-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在上，则M的方程

为.

【答案】(I)?+(y+l>=5

【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

【详解】［方法一］:三点共圆

回点M在直线2x+y-1=0上，

团设点M为5』-2幻，又因为点(3,0)和(0,1)均在，/上，

回点M到两点的距离相等且为半径R,

0-3)2+(1-24=业+(一20)2=R,

a1—6a+9+4a2-4<7+l=5a2,解得。=1,

R=5

M的方程为(x-1)，+(y+=5.

故答案为：。-1尸+(>+1)2=5

［方法二］:圆的几何性质

由题可知，M是以(3,0)和(0,1)为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2x+y-1=。的交点q,-“R=君,

M的方程为0-1)2+(>+1)2=5.

故答案为：(x-l)2+(y+l)2=5

3.(2022•全国乙卷•高考真题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

【答案】—(52=13或(>2—=5或W或,一|j+(y一1)2=等

【分析】方法一：设圆的方程为/+丫2+m+后丫+尸=0,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可;

【详解】［方法一］:圆的一般方程

依题意设圆的方程为-+V+DX+4+尸=0,

F=QF=0

(1)若过(0,0),(4,0),(-1,1),贝人16+4。+/=。

解得'D=-4,

1+1-D+E+F=0E=-6

所以圆的方程为尤2+y2-4x-6y=0,BP(x-2)2+(y-3)2=13；

F=0[尸=0

(2)若过(0,0),(4,0),(4,2),贝U16+4。+/=0,解得＜。=-4,

16+4+4D+2E+F=Q[E=-2

所以圆的方程为尤2+y2-4x-2y=0,BP(x-2)2+(y-l)2=5；

尸=0

F=Q

(3)若过(0,0),(4,2),(-1,1),贝卜l+l-D+E+F=0,角军得＜

3

16+4+4D+2E+F=0

「14

E=-----

3

所以圆的方程为炉+/一|x-gy=0,QpL-1Y+L

l+l—D+E+F=05

()则

(4)若过(—1,1),(4,0),4,2,116+4D+F=0解得D=~,所以圆的方程为

16+4+4D+2E+F=0

E=-2

一”*3=0,即，.可ip二吗

5-515)'，25

故答案为：(x_2Y+(y_3)2=13或(x_2y+(y_l)2=5或(尤一：+［一［=£或

+(—=等

［方法二］：【最优解】圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)

设点A(0,0),B(4,0),C(-l,l),D(4,2)

(1)若圆过A、B、C三点，圆心在直线尤=2,设圆心坐标为(2,。)，

则4+°2=9+(a—1)~na=3,/=,4+片，所以圆的方程为(x—2)。+(y—3)。=13；

(2)若圆过A、B、D三点、,设圆心坐标为(2,a),则4+片=4+(。-2)2na=l,r="+/=石，所以圆

的方程为(x-2)2+(y-l)2=5；

(3)若圆过4a。三点，则线段AC的中垂线方程为y=x+l,线段AD的中垂线方程为y=-2x+5,

联立得x===,所以圆的方程为(x-g>+(y-gf=募；

(4)若圆过AC、。三点，则线段8。的中垂线方程为y=l,线段BC中垂线方程为y=5x-7,联立得

x=8=1=>r=J2,所以圆的方程为(“当2+(,_1)2=黑.

JJD

故答案为:(x-2)2+(y_3)2=13或(x-2『+(丁一1)2=5或1无一］吟或

x-|।+1)2%

【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁;

方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解.

4.(2018•天津・高考真题)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为

【答案】x2+y2-2x=0

【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.

详解：设圆的方程为Y+y2+Dx+Ey+歹=0,圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),贝!］：

F=0D=-2

<l+1+D+f+F=O,解得：<E=0,则圆的方程为尤2+9-2x=0.

4+0+2D+F=0F=0

点睛：求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在过切点且与切线垂直的直

线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线.

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆心

和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三

个独立等式.

5.(2016•上海•高考真题)已知平行直线；：1=。「二、一一】=0,则4与4的距离是.

【答案】专

【详解】试题分析：

利用两平行线间的距离公式得d==琨』=挛.

^fa2F+b2V22+l25

【考点】两平行线间距离公式

【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即羽丫的系数必须相同，本题较为容易，

主要考查考生的基本运算能力.

6.(2016•浙江・高考真题)已知aeR,方程+(。+2)/+4^+8〉+5。=0表示圆，则圆心坐标是,

半径是.

【答案】(-2T)；5.

【详解】试题分析：由题意，知片=々+2,a=T或2,当。=-1时，方程为X?+/+4x+8y-5=0,即

(x+2)2+(y+4『=25,圆心为(-2,T),半径为5,当4=2时，方程为4尤?+4/+4x+8y+10=0,

(x+$)2+(y+l)2=_:不表示圆.

圆的标准方程.

由方程//+(0+2);/+4x+8y+5a=0表示圆可得。的方程，解得。的值，一定要注意检验。的值是否符合

题意，否则很容易出现错误.

7.(2016・天津•高考真题)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,君)在圆C上，且圆心到直线2x-y=。

的距离为逑，则圆C的方程为.

5

【答案】(X-2)2+/=9.

【详解】试题分析：设C(a,0)(a>0),则累=予na=2,r=，22+(追>=3,故圆C的方程为

(x-2)2+y2=9.

【考点】直线与圆位置关系

【名师点睛】求圆的方程有两种方法：

(1)代数法：即用"待定系数法"求圆的方程.①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程,

列出关于a,b,r的方程组求解.②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列

出关于D,E,F的方程组求解.

(2)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程.

8.(2016•全国•高考真题)圆f+/一2x-8y+13=0的圆心到直线“x+y-l=。的距离为1,则。=

C.出D.2

【答案】A

【详解】试题分析：由/+/-2工-h+13=0配方得(x-lf+O-4f=4,所以圆心为(1,4),因为圆

|a+4-l|4

/+k一2了一8、+13=0的圆心到直线ox+y-1=0的距离为1,所以=1解得“=-［，故选A.

/a2+l2

【考点】圆的方程，点到直线的距离公式

【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时，常用几何

法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围.

9.(2015•全国•高考真题)过三点41,3),8(4,2),C(l,-7)的圆交y轴于M,N两点，则|“N卜

A.2痴B.8C.4.D.10

【答案】C

【详解】由已知得左的二三二-彳，kCB==-=-3,所以幻/CB=T，所以M，CB,即AABC为直角三

1-434—1

AC

角形，其外接圆圆心为AC中点(1,-2),半径为长为分=5,所以外接圆方程为(x-l)2+(y+2)2=25,令x=0,

得、=±2后一2,所以|睦V|=4",故选C.

考点：圆的方程.

10.(2016・北京■高考真题)圆(x+l)2+y2=2的圆心到直线y=%+3的距离为()

A.1B.2

C.屈D.20

【答案】C

【详解】试题分析：圆心坐标为(-1,0),由点到直线的距离公式可知”=

【考点】直线与圆的位置关系

,J,-kxr,-b

【名师点睛】点(七.》：)到直线j=H+b(即j-h-b=0)的距离公式d=-{-=记忆容易,

4+F

对于知d求女，b很方便.

11.(2015•北京•高考真题)圆心为。,1)且过原点的圆的方程是

A.(%-iy+(^-i)2=i

B.(x+1)2+(_y+1)2=1

C.(x+l)2+(,+1)2=2

D.(1)2+"1)2=2

【答案】D

【详解】试题分析：设圆的方程为+(y-l)2=皿机>0),且圆过原点，BP(0-l)~+(0-l)~=m(m>0),

得%=2,所以圆的方程为(x—炉+(y-1)?=2.故选D.

考点：圆的一般方程.

考点02直线与圆的位置关系及其应用

1.(2023•全国新H卷•高考真题)已知直线/：尤一根y+l=0与「C:(x—iy+y2=4交于A,8两点，写出满足

O

“ABC面积为:'的根的一个值____.

【答案】2中任意一个皆可以)

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长|山?|,以及点C到直线43的距离，结合面积公式即可解出.

【详解】设点C到直线A3的距离为d,由弦长公式得|AB|=244-筋,

所以S/^c=Jxdx2j4-屋=_|,解得：“=拽或［=述，

2355

由d=11+11=2所以刀J2=竽4亚或”2^=铝2x/5，解得：加=±2或加=±：1.

y/l+mvl+mJl+zn5yjl+m252

故答案为：2中任意一个皆可以）.

2.（2022•北京・高考真题）若直线2x+y-l=。是圆（x-a）2+V=i的一条对称轴，则"=（）

11八

A.~B.----C.1D.—1

22

【答案】A

【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.

【详解】由题可知圆心为（。,0）,因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0-1=0,解得a=；.

故选：A.

3.（2022・天津•高考真题）若直线彳->+根=0（〃。0）与圆（尤-1）2+（、-1）2=3相交所得的弦长为机，则

m=.

【答案】2

【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于优的等式，即可解得机的值.

【详解】圆（x-1），仃-1）2=3的圆心坐标为。,1）,半径为心,

m

圆心到直线根=（加>）的距离为

x-y+00~1T忑'

由勾股定理可得［卷］=3,因为机>0,解得机=2.

故答案为：2.

4.（2020•天津,高考真题）已知直线苫-括、+8=0和圆/+/=，&>0）相交于4,8两点.若|AB|=6,则r

的值为.

【答案】5

【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d,进而利用

弦长公式|4?|=2护彳，即可求得

Q

【详解】因为圆心（0,0）到直线x-6y+8=o的距离"=后1=4,

由|一/可得6=24/一4?，解得r=5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题.

5.(2018•全国•高考真题)直线>=尤+1与圆彳2+/+2〉一3=0交于4，5两点，贝.

【答案】272

【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公

式即可求出.

【详解】［方法一］:【通性通法】【最优解】弦长公式的应用

根据题意，圆的方程可化为Y+(y+iy=4,所以圆的圆心为(0,-1),且半径是2,

|0+1+1|

弦心距d=近,所以|的=2"^=2夜.

/+(-1)2

故答案为：2a.

［方法二］:距离公式的应用

fy=x+lfx=0fx=-2

由22Gd八解得：［或［，不妨设A(0,l)1(-2,-1),

［x+y+2y-3=0=l"=T

所以|二J(0++(1+1)2=2y/2.

故答案为：20.

［方法三］:参数方程的应用

故答案为：20.

【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；

方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算

偏麻烦；

方法三：直线参数方程中弦长公式的应用.

6.(2016•全国•高考真题)已知直线/：x-Gy+6=0与圆/+/=12交于A,8两点，过A,8分别作/的垂

线与x轴交于C,D两点.则|CE>|=.

【答案】4

【详解】试题分析：由x-By+6=0,得x=7^y-6,代入圆的方程，整理得/一3有y+6=0,解得

%=26,%=6，所以％=。，3=-3,所以恒3|=)(占_%)2+(%_%)2=2』.又直线/的倾斜角为30。,

由平面几何知识知在梯形ABDC中，|CZ>|=网=4.

11cos30°

【考点】直线与圆的位置关系

【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代

数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图

形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.

7.（2016•全国•高考真题）已知直线/：〃吠+了+3〃2-百=0与圆V+V=12交于A,B两点，过A,8分别

作/的垂线与x轴交于C,。两点，若|AB|=26,则|CD|=.

【答案】4

【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.

【详解】因为|AB|=2如，且圆的半径为厂=2道，所以圆心（0,0）到直线如+y+36=0的距离为

产一（四］=3,则由曰”闽=3,解得"?=-3，代入直线/的方程，得y=^x+2通，所以直线/的

1I2J7^7133

倾斜角为30。，由平面几何知识知在梯形ABDC中，|CD|=^L=4.

11cos30°

故答案为4

【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化）,

把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并

充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.

8.（2016•全国•高考真题）设直线y=.x+2a与圆c：工2+*2铲2=0相交于A,8两点，若|阴=2百，则圆C

的面积为

【答案】4万

[20—a]同

【详解】因为圆心坐标与半径分别为。（0,4）/=而三，所以圆心到直线的距离〃=则

V2一立

+3="+2,解之得6=2,所以圆的面积S=万产=（2+2）乃=4万，应填答案4万.

9.（2016•山东•高考真题）已知圆2冲=。（°>0）截直线x+y=0所得线段的长度是2a，则圆M

与圆N:（X-以+（y-I）?=1的位置关系是

A.内切B.相交C.外切D.相离

【答案】B

【详解】化简圆/：/+（丫-。）2="=>"（0,4）百=a=>M到直线无+y=。的距离d=&=>

2

+2=a2=a=2=M（0,2）,zj=2,

又弓=1。初V卜也n。-引卜+引=＞两圆相交.选B

10.（2015•湖北・高考真题）如图，已知圆C与X轴相切于点7（1.0）,与y轴正半轴交于两点A,B（B在A

的上方），且|明=2.

但）圆C的标准方程为；

但）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.

【答案】（0）（x-l）2+（y-V2）2=2；（Gl）-1-V2.

【详解】设点C的坐标为（％,%）,则由圆C与x轴相切于点7（1、0）知，点C的横坐标为1,即%=1,半

径/=%.又因为|AB|=2,所以F+12=y：,即%=夜」，所以圆C的标准方程为（彳-1）2+0-拒）2=2,

令x=0得：8（0,夜+1）.设圆C在点B处的切线方程为y-（应+1）=丘，则圆心C到其距离为：

a」"拒+0+1］应,解之得％=1.即圆C在点8处的切线方程为y=x+（0+l）,于是令y=。可得

VF+1

X=f即圆C在点3处的切线在X轴上的截距为-1-&,故应填（无-l）2+（y-0y=2和一1一忘.

考点：本题考查圆的标准方程和圆的切线问题，属中高档题.

11.（2015•湖北・高考真题）如图，圆C与X轴相切于点7（1,0）,与y轴正半轴交于两点A,8（3在d的上

方），且|明=2.

（回）圆C的标准方程为；

（回）过点A任作一条直线与圆O:/+y2=i相交于两点，下列三个结论:

网也NB\NBMA

①；②=2亚.

NB\~\MBNAIMAMB

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

【详解】(回)依题意，设C(l,r)(r为圆的半径)，因为|AB|=2,所以「=炉方=0,

所以圆心C(l,虚)，故圆的标准方程为(x-l)2+(y-0『=2.

(回)因为M,N在圆O：/+y2=]上，所以可设"90$。冈!1。)4900/7,5诂0,

所以|=7(cos-0)2+[sin-(>/2-1)]2=回近-1)陋-sin仍,|A®|=J(cos-0)2+[sin/5-(A/2+1)]2

=、2(应+1)(应-sin产),

NAlMA

所以访=忘-1，同理可得说=也r-1,

NAMAWBM4T-—"1)=2,NAa=2后,

所以--+-

NBMB\NA\\MB\质-1NBMB\

故①②③都正确.

12.(2015•全国•高考真题)过三点A(l,3),B(4,2),C(L-7)的圆交y轴于M,N两点，贝lj|跖V|=

A.2瓜B.8C.476D.10

【答案】C

【详解】由已知得38=匕=-3，kCB==-=-3,所以3/CB=-1，所以M，CB,即AABC为直角三

1—434—1

角形，其外接圆圆心为AC中点(1,-2),半径为长为亨=5,所以外接圆方程为。-1)2+(>2)2=25,令％=0,

得y=±2娓-2,所以|ACV|=4A/^,故选C.

考点：圆的方程.

考点03圆中的切线问题

1.(2024•全国新H卷•高考真题)(多选)抛物线C：V=4x的准线为/,尸为C上的动点，过P作

OA:Y+(y-4)2=l的一条切线，。为切点，过尸作/的垂线，垂足为B,贝U()

A./与；A相切

B.当P,A,8三点共线时，|PQ|=JI?

C.当|P3|=2时，PA^AB

D.满足l%l=IP3|的点尸有且仅有2个

【答案】ABD

【分析】A选项，抛物线准线为尸-1,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,48三点共线时，先求

出尸的坐标，进而得出切线长；C选项，根据|国|=2先算出产的坐标，然后验证七A«=-l是否成立；D选

项，根据抛物线的定义，|PB|=|PF|,于是问题转化成|网=|依|的尸点的存在性问题，此时考察"的中垂

线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设尸点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线产=4尤的准线为了=-1,

A的圆心(。,4)到直线尸-1的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和：A相切，A选项正确；

B选项，尸,48三点共线时，即B4，/,则尸的纵坐标为=4,

由蟾=44，得到琴=4,故尸(4,4),

此时切线长|P0|=J|PA/一户=’42-12=屈,B选项正确；

C选项，当|尸理=2时，xp=1,此时y；=4琴=4,故尸(1,2)或尸(1,-2),

4—24—2

当尸(1,2)时，A(0,4),B(-l,2),kpA=--=-2,月:=7r丁1=2,

(J—l0—(—1)

不满足勺/AB=T；

4(2)

当户(1,一2)时，AQ4),3(-1,2),^a=~~=-6,篙8==3=6,

不满足kPAkAB=-1；

于是上4,AB不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，|冏=|尸尸|,这里尸(L0),

于是|必=|尸到时尸点的存在性问题转化成|斜=|尸石时P点的存在性问题，

A(0,4),F(l,0),AF中点反中垂线的斜率为一，一=；,

于是AF的中垂线方程为：y=个亘，与抛物线>2=4x联立可得y2-16y+30=0,

8

A=162-4X30=136>0,即■的中垂线和抛物线有两个交点,

即存在两个尸点，使得|网=归同，D选项正确.

方法二：(设点直接求解)

设尸，由尸3，/可得3(-M),又A(0,4),又|网=|冏，

根据两点间的距离公式，、匚+(-4)2==+1,整理得a-6+30=0,

V164

A=162-4x30=136>0,则关于t的方程有两个解，

即存在两个这样的P点，D选项正确.

故选:ABD

2.(2023・全国新1卷,高考真题)过点(0,-2)与圆/+尸-以-1=0相切的两条直线的夹角为。，则5m&=()

A.1B.姮C.巫D.迈

444

【答案】B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，

结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得/+8左+1=0,利用韦达定理结合

夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为炉+、2_以-1=0,BP(X-2)2+/=5,可得圆心C(2,0),半径r=6，

过点尸(0,-2)作圆C的切线，切点为A8,

因为|PC|=代+(-2)=2四,贝111PAi='尸行_产=6,

可得sinZAPC=磊=粤,cosZAPC=金=争

贝（IsinNAPB=sin2ZAPC=2sinNA尸CcosZAPC=2x巫x逅=姮，

444

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

即NAP3为钝角,

所以sina=sin（兀一ZAPB）=sinZAPB=—

4

法二：圆%2+y2一4%-1=0的圆心C（2,。）,半径/=百,

过点尸（0,-2）作圆。的切线，切点为A,5,连接AB,

可得IPC|={2?+（-2丫=2应，则|PA|=|PB|=y/\PC\2-r2=,

22

因为闸2+网2_21叫|即cosZAPB=|C4|+|CB|-2|C4|-|CB|COSZACB

且ZACB=Ti-ZAPB,贝ij3+3-6COSZAPB=5+5-10COS（7C-ZAPB）,

BP3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cosNAPB=--<0,

4

即NAPB为钝角，则cosa=cos（K-ZAPB）=-cosZAPB=-^,

且a为锐角，所以sina=Jl-cos。a=；

4

方法三：圆―=0的圆心C（2,0）,半径「=石,

若切线斜率不存在，则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为了=履-2,即依-、-2=0,

则匕3=底整理得左2+8%+1=0,且A=64-4=60>。

y/k2+l

设两切线斜率分别为匕,匕，则勺+&=-8,匕&=1,

可得上_q={（左+.）~-4、（=2A/15,

所以tana=}=岳,即2吧■=而，可得cosa=包修，

1cosaA/15

ryiii.22-2sina1

贝1Jsina+cosa=sma+--------=1,

15

且£€（0,兀），则sin（z>0,解得sina=1^.

故选：B.

3.（2023•天津・高考真题）已知过原点。的一条直线/与圆C:（x+2y+y2=3相切，且/与抛物线

^=2°*5>0）交于点0,/3两点，若|0日=8,则。=.

【答案】6

【分析】根据圆（*+2）2+/=3和曲线/=2px关于x轴对称，不妨设切线方程为y=依，k>0,即可根据

直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出.

【详解】易知圆（x+2y+;/=3和曲线V=2px关于x轴对称，不妨设切线方程为y=履，k>0,

2P

X=

所以^^=如，解得：k=后,由x=03

解得:或4

y/1+k2y=026P

y

3

_4p

=8,解得：P=6.

I33

7

当左=-若时，同理可得.

故答案为：6.

4.（2022•全国甲卷•高考真题）若双曲线V—_=1（m>0）的渐近线与圆V+产——+3=。相切，贝|J

m

m=.

【答案】昱

3

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆

心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.

【详解】解：双曲线丁一一=1（机>0）的渐近线为y=±\,即X土阳=0,

不妨取尤+/町=0,圆尤2+y2-4y+3=0,BPx2+（y-2）2=1,所以圆心为（0,2）,半径r=l,

依题意圆心（0,2）到渐近线1+机y=。的距离d=-j=d==1,

Vl+m

解得〃1=或〃Z=一^'（舍去）.

33

故答案为：显.

3

5.（2021•全国新n卷•高考真题）（多选）已知直线"+力--=0与圆C:尤2+丫2=/，点A（a,6）,则下列

说法正确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

【答案】ABD

【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为产的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位

置关系即可得解.

【详解】圆心C（0,0）到直线/的距离d

7a2+b2

若点A（〃,b）在圆C上，贝!）片+/=/所以公忑市第‘

则直线/与圆C相切，故A正确;

若点4（“力）在圆C内，则所以4=M，

^la1+b2

则直线/与圆C相离，故B正确;

若点A（a㈤在圆C外,则所以d=,,<M，

yla2+b2

则直线/与圆C相交，故C错误;

若点A{a,b）在直线/上，贝。2+人2一/=。即/+b2=r2,

所以d==|r|,直线/与圆C相切，故D正确.

Va2+b2

故选：ABD.

6.（2020•全国•高考真题）若直线/与曲线片&和*2+必=!都相切，贝IJ/的方程为（）

A.y=2x+lB.片2x+；C.y=1-x+lD-.y=­1x+1—

722

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】设直线/在曲线y=6上的切点为（修，6）,则%>0,

函数y=4的导数为y=5力71

，则直线/的斜率％=不厂

设直线/的方程为>一后

_%）,BPx-2yjx^y+xo=0,

cc1%A1

由于直线/与圆X+y=y相切，则亦二百

两边平方并整理得5年-4尤。-1=0,解得%=1,%-1（舍）,

则直线/的方程为x-2y+l=0,即>=

故选：D.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.

7.（2020・全国•高考真题）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（）

.45275「3行n4非

A.-RD.---C.----U.-----

5555

【答案】B

【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为（a,a）M＞0,可得圆的半径为。，写出圆的标准方程,

利用点（2,1）在圆上，求得实数。的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x-y-3=0的距离.

【详解】由于圆上的点（2,1）在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为（a,a）,则圆的半径为a,

圆的标准方程为（x-a）2+（y-a）2=〃.

由题意可得（2—a）?+（1—=a2,

可得储一6a+5=0,解得a=l或。=5,

所以圆心的坐标为。,1）或（5,5）,

|2X1-1-3|_2A/5

圆心（）到直线的距离均为

1.12x-F-3=04=-忑_一。

|2x5-5-3|_2V5

圆心（5.5）到直线2.1v