2024-2025学年北京市昌平区第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（含答案）

昌平区2024-2025学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷2025.1

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,

将答题卡收回。

第一部分(选择题共40分)

一,选择题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

(1)已知集合4={%|%30},8={彳|_?-2彳_3辽0},则AU3=

(A)(-l,+oo)(B)[-l,+oo)

(C)[0,3](D)[-1,3]

(2)若复数z满足i.z=i-2,则在复平面内，复数z对应的点的坐标是

(A)(1,2)(B)(-1,2)(C)(-1,-2)(D)(1,-2)

Y223

(3)已知双曲线工-v=1的渐近线方程为＞=，则实数m=

4m2

(A)—(B)3(C)6(D)9

9

(4)已知直线x+y=3与圆/+'2一2})一2=0相交于43两点，贝『48|=

(A)1(B)A/2(C)&(D)2

(5)设函数/(x)=的定义域为。，则对D内的任意实数x,有

log2X

(A)/(尤)+马=0(B)/(x)-/(-)=O

XX

(C)/(%)+/(-)=2(D)/(元)_/d)=2

XX

(6)设九”是两条不同的直线,％夕是两个不同的平面，且q口/?="7,则"〃"1_夕"是"的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(7)在RSASC中,AC=3C=4,D为的中点，尸为线段CD上的一个动点，则(丽+方)•玩的最小值为

(A)-6(B)-4(C)-3(D)-2

(8)古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保

持在一定的水平，设为N。.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量NQ)随时间f(单位：年)的变化规律

满足"")=乂b明其中%是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为

原来的g.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为gN°.由此可以推断这个古生物

的死亡时间点距今所经过的时间(单位：年)的大致范围是

（参考数据：ln2«0.69,ln3«1.10）

(A)(8100,8200)(B)(8550,8650)

(C)(9050,9150)(D)(9600,9700)

(9)已知函数/(x)=sin(yx+公cosiyx(0>O)的最小正周期为兀,/(为)+/(%)=°，且函数/(龙)在区间

(七,斗)上具有单调性,贝H%+%I的最小值为

3(C)T

(10)如图1所示，在正六棱柱ABCDE/-ABG2EM中，底面边长为1,侧棱长为2,碣=4瓯，

瓯=2函,电=2底，0<%<1.在正六棱柱ABCDEF-A4CQE；片中，截去三棱锥与一ABC,D2-CDE,

F2-EFA,再分别以AC,CE,£A为轴将△AC4，△CE2,AE皖分别向上翻转180,记与，。2名三点重合的点为P，

围成的曲顶多面体如图2所示.记正六棱柱ABCD£F-A4CQ£；£的表面积与体积分别为岳,匕，当儿=:时，记

所围成的曲顶多面体的表面积与体积分别为昆黑，则下述判断正确的是

(B)51<邑,匕<匕

(D)S1>S2,Vt>V2

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分，共25分.

(11)在。-*)5的展开式中,X的系数为.(用数字作答)

X

(12)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，点M在抛物线C上，且I"F1=4很I］点M的纵坐标为，点O为坐标

原点，△MOF的面积为.

(13)已知数列｛%｝的前〃项和为S“,S„=2%-K〃eN*)，则an=.

Iox—2,x<a,

(14)已知函数/(x)=、若/'(x)无最大值,则实数a的一个取值为_______；若/(功存在最大值，则。的

\3x-x,x^a.

取值范围是.

(15)已知等差数列｛4｝与等比数列｛〃｝是两个无穷数列，且都不是常数列.

给出下列四个结论:

①数列不是等比数列;

②若｛«„｝与｛bn｝都是递增数列，则数列｛。屋b„］是递增数列；

③对任意的〃eN*,b/b„+l,bn+2不是等差数列；

④存在数列｛%｝，对任意的。应,reN*,且Q<q<J使得ap,aq,ar不能构成等比数列.

其中所有正确结论的序号是.

三,解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

(16)(本小题13分)

F

如图，在多面体ABCDE/中，四边形ABCO为正方

形,0£〃仃，3为线段AF的中点,TW=CF=2DE=2.E/\

(I)求证：8。//平面>1£7<\"/V/

(II)若W平面AfiCD,求直线3G与平面但'所花、、\/

成角的正弦值.

(17)(本小题13分)

在^ABC中,。=7,asinB-V3Z?cosA=0.

(I)求NA.

(ID再从条件①,条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.

条件①：b=10.

条件②：c=8.

条件③：cosB=--.

7

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答

计分.

(18)(本小题14分)

某旅游景区为吸引更多游客,计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传,两平台的浏览用户均可通

过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张.为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用

户中各随机抽取了1000人,对其是否购买了该景区门票进行统计,获得数据如下:

未购买景区门票用户

购买景区门票用户(人)

平(人)

官方网站250750

短视频200800

景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%.

假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立.用频率估计概率.

(I)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率.

(II)从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人,用X表示这3人的购票费用总和,求随机变量X的分布列和期

望.

(III)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右.该景区按浏览用户的人数向

两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支

付.为了获得最大的净利润(净利润=售票利润-广告宣传费用)，试分析该景区应选择在哪个平台继续加大

广告宣传费用投入力度,并说明理由.

(19)(本小题15分)

226

已知椭圆C:三+当=1(〃>6>0)的离心率为—，且经过点4(0,1).

ab2

(I)求椭圆C的方程.

(II)若过点(-1,0),斜率为左的直线与椭圆C交于不同的两点良。,且与直线y=-1交于点E,点。在线段的(不

包括两端点)上,O为坐标原点，直线EO与直线AB,AD分别交于点M,N.

求证：点关于原点O对称.

(20)(本小题15分)

设函数/(x)=olnx-T,曲线y=/(x)在点(1，/⑴)处的切线方程为x+4y-l=0.

X+1

(I)求实数6的值.

(II)求函数/(功的单调区间.

(III)求函数g(x)=(Y-l)lnx-4(尤-1)2的零点的个数.

(21)(本小题15分)

若有穷数列A:1,出，4,…,%,(〃zeN*,机三3)满足如下两个性质，则称数列A具有性质P：

①％eZ.

②&+1-%|=2k(左=1,2,…四一1).

(I)当4=2,兀=3时，写出两个具有性质P的数列A.

(II)给定的正整数加(相23),若数列A：4，。2，。3,…，/具有性质尸，且4=1.将的所有可能取值从小到大排列构

成一个新的数歹！I,记为Bm,数列纥的所有项的和为鼠.

(i)证明：数列纥为等差数列.

(ii)从53,S4,---,52025中佳管取t个数构成集合M,使得对任意的EeM,存在邑eV,满足S,邑能被2>0整除,

求f的最小值.

昌平区2024-2025学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷参考答案及评分标准2025.1

一,选择题（本大题共10小题,每小题4分，共40分）

题号12345678910

答案BADDCABCBC

二,填空题（本大题共5小题,每小题5分，共25分）

(12)土石

(11)40(13)2”T

(14)-1(答案不唯一);[0,2](15)①③④

三,解答题（本大题共6小题,共85分）

（16）（共13分）

解:（I）连结AC,设&。口3。=0.

因为四边形A2CZ）为正方形.

所以。为AC中点.

因为G为人尸的中点.

所以OG//CF,5.OG=-CF.

2

由已知DE//CF,S.DE=-CF.

2

所以DE//OG,DE=OG.

所以四边形DOGE为平行四边形.

所以EG,即80〃EG.

因为8。U平面AEF,EGu平面AEF.

所以BD〃平面AEF.5分

（II）因为£吹，平面ABCD.

所以OE_LDC,DE_LD4.

因为四边形ABCD为正方形，所以

所以DE,DA,DC两两垂直.

如图所示,建立空间直角坐标系。-孙z.

因为至=CF=2£)E=2.

所以Z)(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),BQ,2,0),£(0,0,1),F(0,2,2),G(1,1,1).

所以5s=(-1,-1,1),/=(一2,0,1),XT=(-2,2,2).

设平面AEF的一个法向量为〃=(尤,y,z).

qfn-AE=0,—2x+2=0,即f

由〈_.得

n•AF=0—2x+2y+2z=0.[y=-x.

取x=l,得”=(l,-l,2).

设直线BG与平面AEF所成角为3.

27|

贝Usin0=|cos(BG,n)|===

由x底3

即直线3G与平面的所成角的正弦值为牛.

13分

（17）（共13分）

解：(I)因为asin3-J§Z?cosA=0.

由正弦定理a=b，得sinAsin3-gsinBcosA=0.

sinAsin5

因为在△ABC中,sin5wO,所以sinA-J5cosA=0.

所以tanA=V3.

7T

因为OvNAv兀，所以ZA=—...…6分

(II)选条件②：c=8

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得/—8〃+15=0.

解得5=3或6=5.

当Z7=3时，SAABC=；匕csinA=；x3x8x=673.

当Z?=5时，SAABC=^-Z?csinA=^-x5x8x=1073..•…13分

条件③：cosB=-y

因为cosB=-;，所以NB为钝角.

所以sin3=71-cos2B=.

7

,,abasinB

，得b==7x更x”.

由击Isin5sinA7V3

因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB-x(-J-)+J_x.

272714

所以S^XABC=-^absmC=gx7x8x^^=673.••…13分

(18)(共14分)

解：（I）设“从短视频平台浏览用户中随机选取1人,此人为购买景区门票用户”为事件A,则用频率估计概率,

(II)设“从官方网站浏览平台用户中随机选取1人,此人为购买景区门票用户”为事件从

则用频率估计概率，P(B)=—=~.

10004

由题意，X的所有可能取值为0,100,200,300,且

尸(X=。)=喝)。守*,P(X=100)=*)穹磊.

]39131

P(X=200)=^(-)2(-)'=—,P(X=300)=C^(-)3(-)°=—.

所以随机变量X的分布列为

X0100200300

272791

P64646464

9777Q1jROn

期望为E(X)=0x—+100x—+200x—+300x—=——=75......11分

6464646464

(III)官方网站平台的净利润为(100x5%)x(150000xt)—^^x5=180000(元).

短视频平台的净利润为(100x2%)x(400000x：)-^^x4=144000(元).

所以该景区应选择官方网站平台继续加大广告宣传费用的投入力度.…14分

(19)(共15分)

V3

解：(I)椭圆C的离心率为方-,且经过点A(0,l).

b=l,

所以£=立，解得片=4,〃=1.

a2

a1=b2+c1,

r2

则椭圆C的方程为一+y2=i...…5分

4

(II)过点(-1,0),斜率为k的直线方程为y=左(x+1)(左w0).

2

由=得2+2+8^2X+4^_4=0.

[x2+4y2-4=0

因为(-1,0)在椭圆内，所以/>0.

—区”24^2—4

设3(X1,%),，为)，则药+尤2=“2,，,■

4k+14左，+1

直线A3的方程为：y=^^x+l,直线AD的方程为：y=五」x+L

在直线方程,=左(％+1)(左wO)中，令y=-1,得了=-1—4，E(1+1),-1).

kk

直线£0的方程为：y=-^—x.

左+1

k

y=----x,

k+1彳目一(k+1)X1—(k+1)X!

y=乃一]II1-A，(^+1)(y1-1)-^1k^x^+k--1

.X]

一(%+1)%2

同理得XN=

k?x?+左2—1

所以丫+rr-小+(/_I)5+/)

X22l222

所以"N-(kxl+k-lA2勺+左2_/一(\k\l+k-lXkX2+k-iy

1nn/2„2、242(442—4)(42—1)(—8左2)

因为Jk+1w0,2kx,Xj+(k-1l)V(x,+X,)---------------1------------

12i24k2+14/+1

8/—842—8/+842

—--------------------二()

4k~+1'

所以+xN=0,即点O为线段MN中点.

所以点M,N关于原点O对称.15分

(20)(共15分)

解：(I)函数/(x)="lnx-=，尤>0,所以尸(x)=4

x+1X(X+1)

依题意，/'(1)=0,/'(1)=—工，解得0=1,6=1..….5分

44

(II)函数f(x)=8一七l,x>0.

4x+1

匚匚ci°/、12X2—6x+1

所以/(%)—2-JZ八2,

4x(x+1)4x(X+1)

令—(幻=0,贝(Jf—6x+i=o.

记两根分别为小〃，且m=3-2&，n=3+2A/2.

列表

X(0,m)m(m,n)n(n,-K»)

r(x)+0—04-

/极大值极小值/

所以，函数/(无)的单调增区间为(0,3-2点)，(3+2瓶,+8).

单调减区间为(3-2点,3+2忘)...…11分

(III)函数g(x)=(x2-l)lnx-4(x-I)2=4(*-1)(---)=4(x2-l)/(x),x>0.

'4x+1

令g(x)=0,得x=1或/(元)=0.所以1是函数g(x)的一个零点.

下面只要研究了(元)零点情况.

由(I)知/(1)=0,且0<3—2后<1<3+2&,即〃?<1

又因为函数/(%)在(3-2点,3+2点)上单调递减,所以f(m)>0,f(n)<0.

即函数/(x)在(3-2&,3+2&)上有且只有一个零点1.

又因为/(e-4)<0,且函数/(X)在(0,3-20)上单调递增.

所以,存在唯一的否e(e^,m),使/(%,)=0.

同理,又因为/(e4)>0,e4>l,且函数/(x)在(3+2电+吟上单调递增.

4

所以,存在唯一的％e(«,e)，使/(x2)=0.

所以函数/(x)存在三个零点1,占，X2.

综上函数g(无)=(/-l)lnx-4(无-Ip存在三个零点1,占，x2...…15分

(21)(共15分)

解：(I)满足条件的数列A为：2,4,8或2,4,0.(答案不唯一)…4分

(II)(i)因为数列A具有性质产，弓=1,且|a+1—%|=2"(左=1,2,…，根―1).

1

设6+1-a,=c;-2,c;.

--

所以a,”=q+(里―/)+(%_见)^---1(%+i_%)+—I(%»~<2,„_[)=1+G2，+c222