2024-2025学年北京市高二年级上册期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年北京市高二上学期期中考试数学检测试卷

一、单选题

1.已知直线办+2尸2=0与3x7-2=0平行，则系数。=（）

32

A.一3B.16C.2D.3

2.经过圆（x+l）-+V=l的圆心，且与直线x+V=°垂直的直线的方程是（）

Ax—y+l=0B.xel=0

Cx+y+l=0Dx+y-l=0

3.在三棱锥。-48。中，方+方-而等于（）

A.OAB.刀C.OCD.4c

4.若过点“（-2，加），"（私4）的直线的斜率等于1,则〃?的值为（）

A.1B.4C.1或3D.1或4

22

工+匕=1

5.已知椭圆3〃？m的一个焦点的坐标是（-2,0）,则实数〃?的值为（）

A.1B.^2C.2D.4

6.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三

角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，ACLBC,AC=BC=A4=2,则直线

4c与平面所成角的大小为（）

C.660°D.90。

7.已知半径为1的圆经过点G，4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）.

A.4B.5C.6D.7

8.“a=0，，是“直线x-即+2°一1=°（aeR）与圆/+/=1相切,，的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.在平面直角坐标系X0V中，若点尸3'）在直线"+勿+%+3=°上，则当a,6变化时,

直线8的斜率的取值范围是（）

一oo,_叵U——,+00叵

-3J3

A.B."T

_4£「石、工叵

—00,——,+00

2222

C.LyD.

10.某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角

形组成.若/8=60而，AE=CD=30km,现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五

边形各顶点距离的平方和最小，图中用心弓舄是NC的五等分点，则转播台应建在（）

c.鸟处D.无处

二、填空题

11.直线百X7+4=0与圆'+（y_1）2=1的位置关系是.

12.已知圆G：（x-a）2+）2=36与圆。2：/+3-2）2=4内切，则0=_

13.已知圆C：x2+y2+2x+ay—3=0（a为实数）上任意一点关于直线1：x—y+2=0的对称

点都在圆C上，则a=.

14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BQ1D1中，E为BC的中点，点P在线段D】E上,

点P到直线CC1的距离的最小值为

15.定义：若对平面点集A中的任意一点Go，%),总存在正实数『，使得集合

22

-｝x,y)J(x-x0)+(j-y0)<rkA

I厂，则称A为一个“开集”.给出下列集合:

①"/)尸+/=1｝；②｛(x,y)|x+y+2>0｝；

③/姗k+小6｝；④［冲</+G-⑸<i

其中为“开集”的是.

三、解答题

16.已知直线/：(2〃'+l)x+("+l)y-5加-4=0

(1)当俏=0时，一条光线从点尸(2,°)射出，经直线/反射后过原点，求反射光线所在直线的方

程；

(2)求证：直线/恒过定点；

(3)当原点到直线/的距离最大时，写出此时直线/的方程(直接写出结果).

17.已知椭圆4x；/=l及直线y=x+7〃.

(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)当机=1时，求直线与椭圆相交所得的弦长；

(3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.

18.如图，在四棱锥尸-43。中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O,

/区40=60。，PB=PD.点E是棱PA的中点，连接OE,OP.

p

B

⑴求证：〃平面PCD；

V15

(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为5,再从条件①，条件②这两个条件中选

择一个作为已知，求线段0P的长.

条件①：平面依OJL平面/BCD；

条件②：PB1AC,

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.已知圆G：x2+/=2和圆c*直线/与圆G相切于点'(I/)，圆G的圆心在射线

2x-〉=0(xN0)上，圆G过原点0,且被直线/截得的弦长为4G.

(1)求直线/的方程；

(2)求圆G的方程.

20.椭圆ab2的左顶点为外一2叼，离心率为2.

⑴求椭圆〃的方程；

(2)已知经过点【)的直线/交椭圆M于氏°两点，。是直线x=-4上一点.若四边形

/BCD为平行四边形，求直线/的方程.

21.己知有限集X,Y,定义集合X"={x|xeX,且xeY},卢|表示集合*中的元素个数.

⑴若X={123,4},丫={3,4,5},求集合和lX,以及—丫"("入)的值；

(2)给定正整数n,集合S=02…，吗，对于实数集的非空有限子集A,B,定义集合

C={x\x=a+b,aEA,bGB)

①求证：M/+忸一S|+|S-C|NI；

②求I("-S)D(S-")I+KB-S)U(S-B)|+KC-S)U(S—C)|的最小值.

答案:

题号12345678910

答案BACACAAABA

1.B

【分析】

。22

——=—w—

由直线的平行关系可得3-1-2,解之可得.

【详解】

解：：直线°x+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，

all

—=—w—

3-1-2,解得a=-6.

故选：B.

2.A

【分析】根据垂直关系确定斜率，结合圆心坐标并应用点斜式写出直线方程.

【详解】由直线与直线x+>=°垂直，故所求直线斜率为1,

又经过圆（x+i）~+V=i的圆心（T,。），故所求直线为>=x+i,

所以所求直线方程为x-y+i=°.

故选：A

3.C

【分析】应用向量加减法法则化简.

【详解】由况+方_瓦=砺+数=双.

故选：C

4.A

【分析】根据斜率公式即可得到方程，解出即可.

4—m1

---=I1

【详解】由题意得加+2,解得加=L

故选：A.

5.C

【分析】根据椭圆的标准方程，结合即可求解.

【详解】由条件可知，/=3，〃，b2=m,c=2,

所以/一/=02加=4,得加=2,

故选：C

6.A

【分析】根据线面角定义找到直线4c与平面所成角的平面角，结合已知求其大小.

【详解】由题设知，直三棱柱底面为等腰直角三角形，且/C=2C=2,AC1BC,

若。是N8中点，连接则。1/2,且8=及，

由面面/8C,CDu面N8C,面PI面2台。=/台,

ABB

所以C。上面^,则直线4c与平面ABBA,所成角为锐角ZCAtD

且4。u面4BB4,则CD14。,

CD1

sinNC/Q=—

由题意，在口1^。4。中4°=2正，则4c2,故/。0=30。

故选：A

7.A

【分析】求出圆心°的轨迹方程后，根据圆心"到原点。的距离减去半径1可得答案.

【详解】设圆心c(x/),则J(x-3y+(y_4)=1,

化简得(xf+G-4)2=1,

所以圆心C的轨迹是以河(3,4)为圆心，1为半径的圆,

所以|0。+1臼。蛆=乒不=5,所以|。。25-1=4,

当且仅当C在线段OM上时取得等号，

故选：A.

本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

8.A

【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义解

出.

【详解】由题知，圆的圆心为（°刀），半径为1,

设圆心到直线x一町+2。-1=0（。eR）的距离为d

1

<7=-L_=1_3

则，1+（一。）2

，解得：…或

3

CI———

由此可知,=0”是°或4”的充分不必要条件,

故选：A.

9.B

【分析】将点尸代入直线方程中得出点。为圆上的动点,

结合图像分析即可求出直线8的斜率的取值范围.

［详解］因为点尸（"S）在直线办+如+4a+3=0上,

所以a・a+b・b+4a+3=0,

日口〃+廿+4。+3—0（a+2）+/=1

则尸3'）表示圆心为（一2，°）,半径为1的圆上的点,

如图:

由图可知当直线。尸与圆相切时，直线0P的斜率得到最值,

设联：y=kx,

由圆与直线相切，故有圆心（一2，°）到直线险的距离为半径1,

即V1+F,

由图分析得：直线。尸的斜率的取值范围是L33

故选：B.

10.A

【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设转播台建在尸（X/）处，可将归"「+卢砰+

附旧哂+|时表示为2的形式，即5（74）2+5-247+5040,由此可确定当

x=24且，=24时距离平方和最小，由此可确定转播台位置.

【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则勺(6,6),6(12,12),6(18,18),小24,24)

设转播台建在尸(X/)处，

贝1J\p^+|ra|2+|PC|2+|PD|2+\PE^=X2+J2+(X-60)2+J2+(X-30)2+(y-30)2

+(x-30)2+(y-60)2+尤2+(y-30)2=5/-(]20+60+60卜+5/一(60+120+60%

2222

+2X60+4X30=5(X-24)+5(J.-24)+5040)

.•.当x=24且y=24时，冈2+M+1尸C「+阀「+隹「最小,

，转播台应建在4处.

故选：A.

11.相离

【分析】确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心与直线距离，并与半径比大小，即可得

答案.

【详解】由、2+&-以=1的圆心为(°，1),半径为1,

33

厂d=-r==->\

圆心至U13x-y+4=°的距离V3+12,

所以直线与圆相离.

故相离

12.±2百

【分析】利用两圆内切的定义表达式即可求得.

【详解】由圆G：J一4+'=36知圆心为G(。,0),半径为/=6,由圆G:f+(y_2)2=4知圆

心为G(。，2)泮径为2=2,

因两圆内切，故/GH八一々1,即J/+4=4,解得：a=±2A/3.

故土26.

13.-2

(-1,--)

【详解】经分析知，直线/经过圆C的圆心，而圆C的圆心坐标为2,所以有

-l-(-^)+2=0,a=-2

2V|

14.5

【详解】点P到直线CCi的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在

平面ABCD上的射影为P，，显然点P到直线CCi的距离的最小值为PC的长度的最小值，当

2x12」

P'CIDE时，P9的长度最小，此时p，C=@+1=5.

15.②④

【分析】根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案.

【详解】①,2+/=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆,

则在该圆上任意取点G。'打）,以任意正实数，•为半径的圆面，

也力及^丫+^一％?<rhA

均不满足I厂故①不是开集;

②{（x,加+y+2>0},在平面点集A中的任取-点（”。）,

设该点到直线的距离为d,取「=",

6）J（尤-/7+（/-%丫<r

则满足I厂，故该集合是开集；

③卜+小6},在曲线卜+止6任意取点（后,%）,以任意正实数『为半径的圆面,

J（尤-J+G一%）2<r24

均不满足I厂，故该集合不是开集；

”）。4+0-⑸。表示以点（°，⑸为圆心,

④1为半径除去圆心和圆周的圆面,

在该平面点集A中的任一点，则该点到圆周上的点的最短距离为"，取『=4,

J(x-Xo)2+(>-%)2<r

则满足,广，故该集合是开集.

故②④.

本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的

定义是解决本题的关键.

16.（1严2”0；

（2）证明见解析；

(3)/：x+3)-10=0

【分析】（1）令/（。/）是P（Z°）关于/的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而

写出直线方程；

⑵将直线写成加（2尤+y-5）+x+y-4=0,可求定点8（1,3）,即可证；

（3）由题设易知08,/,利用垂直及点斜式写出直线方程.

【详解】（1）由题设/：x+y-4=0,令是尸0，。）关于/的对称点，

一

<a-2

'a+2bAn卜=4

则122,可得仅=2,故/（4,2）,

由题意，反射光线过“（4,2）和原点，

所以反射光线所在直线方程为x-2y=0.

（2x+y—5=0（x=1

（2）由直线可改写为皿2x+y-5）+x+y-4=0,联立［x+y-4=0,可得［片3,

将点8（1,3）代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点8（1,3）,得证.

（3）当原点到直线/的距离最大，即点°（°，°）到点2（1，3）的距离1=丽，此时08'/,

由3=3,则3,故3,整理得/：x+3y-10=0

亚//亚

------<m<—

17.（1）22.

272

⑵5.

一旦x2

⑶4x+y=0且io10.

【分析】（1）联立椭圆与直线得一元二次方程，利用A?。求参数范围；

（2）根据题设条件求交点坐标，利用两点式求弦长；

（3）应用韦达定理求中点坐标，即可得轨迹方程.

【详解】（1）联立直线>=x+7〃与椭圆4*+/=1,可得4X2+（X+%）2=I,

整理得5'2+2mx+疗_1=o,

由直线与椭圆有公共点，故A=4疗-20(%2-1纭0,可得加

JQ-2..

(2)由题设及(1),联立直线与椭圆得5乂+2%=0,则1=0或5,

23

,1x——y——

而直线为N=x+1,当x=0有》=1,当5有5,

L2.3.272

j(o+-y2+(i——y2=—

所以弦长为V§55.

(3)由⑴有5/+2蛆+加2T=0,令直线与椭圆交点为次占，%),Rz，%),

2m,8m,m4m.

Xi+XQ=--------y,+y—x+x,+2加=—(---,---)

所以5,贝『9’I25,故中点坐标为55

由22,则10510,

------SXS-----

所以弦的中点的轨迹方程为V=-4x,即4x+y=°且10"-"10

18.(1)证明见解析

⑵6

【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；

(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解.

【详解】(1)因为底面/BCD是菱形，所以。是NC中点，

因为E是棱PA的中点，所以OE//PC,

又因为PCu平面PCD,OEN平面PCD,

所以〃平面PCD.

(2)选择条件①：

因为PB=PD,。是8。的中点，所以尸。,30,

因为平面PBD1平面ABCD，平面PBDH平面ABCD=BD,

POu平面尸8。，

所以尸。，平面/BCD,因为/Cu平面/BCD,所以尸。，/C,

又/C18O,所以08,℃,°P两两垂直，

以°为原点建立空间直角坐标系°一中z,

因为菱形的边长为2,48/0=60。

所以BD=2,AC=2^/3

所以C(0,6,0),£>(-1,0,0),设尸(0,0,0(?>0),

所以皮=(1,6,0),赤=(1,0,f),

设”=(x,%z)为平面PCD的一个法向量,

nLDC,n-DC^O,'x+s/3y=0,

由i叱丽，得［万•。尸=0,所以.

x+tz=O,

取x=5,y=T,z=一6,所以〃=(疯,

因为平面尸/C,所以平面尸/C的一个法向量为々=a°，°)

平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为5,

lx"_岳

=,

1,所以~T

所以I5

所以5〃=4/+3,所以『=3,因为"0,所以"0,所以"6.

所以线段OP的长为百.

选择条件②:

因为尸2,NC,在菱形/BCD中，BDLAC,

因为3。u平面PBD,PBu平面PBD,PBCBD=B,

所以NCL平面P8D,

因为POu平面P2。，所以/C_LP。，因为尸

所以°民℃,°尸两两垂直，

以0为原点建立空间直角坐标系°-工尸，

因为菱形的边长为2,乙8/。=60°

所以3。=2,比？=26，

所以C(0,百,0),£>(-1,0,0),设P(0,0,t)(/>0),

所以诙=(1,百,0),丽=(1,0,。，

设"=。，gZ)为平面PCD的一个法向量，

«-LDC,n-DC=0,卜+岛=0,

由［近赤，得［亢•丽=0,所以1x+tz=0,

取苫=4^>t,y=-t,z=-V3,所以“=(A/3Z,-?,->/3),

因为3°/平面尸NC,所以平面尸NC的一个法向量为4=(I，。，。)，

V15

平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为5,

,__后_________"_________|=史

所以gs<〃,白>卜可，所以J(百，)2+(-厅+(-6)葭1|5，

所以5r=4〃+3,所以『=3,因为f>0,所以f>0,所以t=

所以线段OP的长为

19.⑴x+y-2=0；⑵(x-2)~+(/-4)2=20.

【分析】(1)由题可求得切线的斜率，利用点斜式求直线方程即可；

(2)设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，结合勾股定理求得圆心坐标，进而求得半径，得

出圆的方程.

【详解】(1)由题意知：直线/过点/(I/)，且斜率为-1,

故直线/的方程为x+P-2=°

(2)根据题意设：C2的圆心”坐标为C，2/)C»0)

.「卜+2-2||3-2|

圆°?的半径〃=6乙圆心到直线/的距离为"T了1V2

户=dM;也瓜）

解得：'=T4（舍）或"2.

圆G的半径厂=2石圆心河（2,4）

圆g的方程为G-2）2+（y-4”20.

X22,

——+y=1

20.（1）4；

工上行V3

（2）22或2

【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；

（2）设。（-4,7）,由右。=心。表示出直线/的斜率，进而写出直线’的方程，联立椭圆求出弦

长忸Q,由忸。=以力求出f,即可求得直线/的方程.

2

a=2—=——+y=1

【详解】（1）由题意知：%2,贝故椭圆"的方程为4-；

（2）

k=_L=ko,--

设D(-4,/),3(XQ)C(X2，%),又/(-2,0),故328。,又直线/经过点I2J,故

tV3

y=——x-\-----

/的方程为22,

联立椭圆方程14」可得(1+/”_2&_1=0,显然A>0,

J（4+7）+,2+i）

1+?

J（4+Z2）（4/2+l）.——-

又|/。|=而，由忸cR/必，可得W=5+〃

解得/=±0或f=0,

土文+",V3

V

故直线/的方程为22或,

21.(1)X-Y={1,2},Y-X={5},|(X-Y)U(YUX)|=3；(2)①见解析；②"+L

【分析】(1)直接根据定义求解即可；

(2)①分若AUB中含有一个不在S中的元素和/=且BUS,两种情况讨论即可，当

且3=S时，可通过lec得证；

②结合①知K"一S