2024-2025学年黑龙江省佳木斯市高三年级上册第五次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年黑龙江省佳木斯市高三上学期第五次月考数学

检测试题

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.若2z—l=iz,则匕|（）

V5]_

A.^5B.1C,5D,5

【正确答案】C

【分析】先根据条件，结合复数的除法运算，求出复数z,亍，再求闫即可.

12+i2+i-

z—____—____________—_____9乙J..

【详解】由2z-1=匕，得2-1（2-1）（2+1）5,所以zyJ,

所以同=口22+（-1）2=]

所以,〉.

故选：C

22

」______

2.若方程机+3m-1表示椭圆，则实数优的取值范围为（）

A.（T3）B.（T1）

c（-3,-i）U（-i，0D（-co,-3）U（l,+℃）

【正确答案】c

【分析】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即可求参.

x2y21

------1-----二1

【详解】因为方程加+31-阳表示椭圆，

fm+3>0

所以11一爪>0且m+3与1—加不相等，

所以根e(-3,-1)。(-1,1)

故选：C.

3.若点(—2，1)在圆/+/+X—y+a=°的外部，则实数。的取值范围是()

A(-2,+co)B(-co,-2)

—2，；(一叫―2)u[；,+co]

【正确答案】C

【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解.

【详解】由于点(一2，1)在圆V+V+x—y+a=°的外部，故

(-2)2+I2—2—1+a>0.2<。<

,l+(-l)2-4a>0,解得2,

故选：C

f(x)=—x2-3x-41nx\

4.若函数2，则函数,〈J的单调递减区间为()

A.(4，+句B.(°』)C.(°，4)D.OH)

【正确答案】C

【分析】求函数/(“)的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果.

/(%)=—x2-3%-4Inx

【详解】函数2,定义域为卜，+)

2

R(X\-X34_X-3X-4_(X-4)(X+1)

,

/[x)-x-5------/(x)<0&„zHo<x<4

由XXX，令解得U<%<一,

则函数/(x)的单调递减区间为(°，4).

故选:

5.在等比数列｛%｝中，记其前〃项和为星,已知名=-%+2囚，则的值为(

A.2B.17C.2或8D.2或17

【正确答案】D

【分析】根据等比数列通项公式求得q=i或q=-2,再利用等比数的求和公式求解即可.

【详解】由等比数列的通项公式可得"a?=—

整理得d=0,

解得q=i或q=-2.

邑_8%_2

当4=1时，S44q；

a\-i）

区=_izl_=暧T=1+1=17

4

S4ax-1）q-1

当4=_2时，q-l

身

所以S，的值为2或17.

故选：D.

6.设圆°：（x—2）+"T）=36和不过第三象限的直线/:4》+3了一"0,若圆°上恰有

三点到直线/的距离均为2,则实数。=（）

A.—9B.1C.21D.31

【正确答案】D

a八

—〉0

【分析】根据圆心到直线的距离，结合直线在了轴的截距3,即可求解.

【详解】C：（“—+&-1）=36的圆心为（2,1）,半径为「=6

日；3-4

r—2=

22

若圆C上恰有三点到直线/的距离均为2,则圆心到直线的距离为A/4+3

解得。=—9或31,

0>0

由于直线/：4x+3y-a=0不经过第三象限，则直线与歹轴的交点3

故4=31,

故选：D

f(x)=711sinfgx+o

7.如图，将绘有函数河>°°<°〈兀部分图像的纸片沿x轴折成

2兀

则9=(

71兀271571

A.6B.3TD.6

【正确答案】C

【分析】过48分别作X轴的垂线，垂足分别为C0过4。分别作了轴、X轴的垂线相

交于点E，利用周期求NE,利用余弦定理求然后由勾股定理求出根据图象过点

7即可得解.

【详解】过48分别作无轴的垂线，垂足分别为C。，过4。分别作夕轴、X轴的垂线相

DE=M

BE2=M2+M2-2M2cos—=3M2

由余弦定理得3,

由上可知，x轴垂直于">,£>£,又BD1DE=D,BD,DEU^BDE,

所以x轴垂直于平面又NE〃x轴，所以平面

因为8Eu平面ADE,所以/ELBE,

T2兀,

1-——二6

兀

因为/（X）的周期3,所以4E=C£>=3,

由勾股定理得3河2+9=15,解得

/04、

由图知，/（“）的图象过点〔

）,且在递减区间内,

f(Q)=Osin(p=W~sm(p=^-

所以2、,即

2兀

（P——

因为0<°<兀，点4/在递减区间内，所以3

故选：C

~T+^~=1>°）口p4F[PF]=—

8.设椭圆。b-的焦点为4,4,尸是椭圆上一点，且一3,若

△月0居的外接圆和内切圆的半径分别为尺，r,当R="时，椭圆的离心率为（）

422

——J_—

A.5B.3C.2D,5

【正确答案】B

【分析】利用正弦定理计算尺，根据余弦定理计算加"，根据等面积法列方程得出。，。的

关系，从而可求出椭圆的离心率.

【详解】椭圆的焦点为4—。⑼，月9°）,比入口。，

2R_巾_2c_4®

sinN片尸&$出二3

根据正弦定理可得3

设|尸片上冽，IPg=〃，则加+〃=2a,

4c2=m2+«2

由余弦定理得，

4(a2-c2)

/.mn=-------------

3

1.71A/3(6Z2-C2)

v=—mnsin—=----------

以耳巡233

+c)

S^RPF?=1■(加+〃+2c)•r=6c(a

6

V3(6Z2-c2)_Cc(a+c)

/.36,即2a之—3c?—ac—0,故3/+e—2=0,

t_2

解得：e-§或e=-1(舍).

故选：B.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.下列说法正确的有（）

A.直线依一了+2%=3恒过定点（—2,—3）

B.若两直线°x+2y=°与x+S+l）>+4=°平行，则实数a的值为1

C.若/8>0,BC〉°,则直线”x—8.v—C=°不经过第二象限

D.,点（，），（，）,直线/:加x+y_加—1=0与线段45相交，则实数加的取值

3

-4<m<—

范围是4

【正确答案】AC

【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两直线平行，得到方

程，求出实数4的值，检验后得到答案；C选项，直线变形为斜截式，得到斜率与与了轴截

距，得到C正确；D选项，求出/：冽》+歹一加一1=°过定点E(U),画出图象，数形结合

得到实数〃?的取值范围.

【详解】A选项，"-歹+2左=3-丁+3=左(%+2),

故直线恒过定点(一2,一3),人正确；

B选项，两直线以+2y=。与x+("+l)>+4=°平行，则a(a+l)-2=0,

解得a=l或-2,

当°=1时，两直线x+2j=0与》+2了+4=0满足要求，

当a=—2时，两直线—2x+2y=0与x_y+4=0满足要求，

综上，。=1或一2,B错误；

_AC_

C选项，若AS〉。］。〉。，则直线--为-0=°变形为'BXB,

->0--<0

直线斜率8,与歹轴截距为B

直线经过一，三，四象限，不经过第二象限，C正确；

D选项，直线/皿+>一…1=°=V一=一加(1),直线经过定点£(口),

画出坐标系，如下:

-m>—

则要想直线与线段48相交，则直线斜率-加4-4或4,

加＜---

解得机24或4,D错误.

故选：AC.

10.已知圆G：*+/_2x+4y+l=0与圆Czd+V_2y-8=0,下列说法正确的是

()

A.过点'(3』)作圆G的切线有且只有一条

B.圆。】和圆02共有4条公切线

C.若"，N分别为两圆上的点，则M,N两点间的最大距离为5+而

D.若E,尸为圆02上的两个动点，且忸川=4,则线段£尸的中点的轨迹方程为

x2=5

【正确答案】ACD

【分析】A选项，利用点圆位置关系即可判断；B选项，将两圆的一般方程化为标准方程，

得到圆心和半径，判断两圆位置关系即可判断；C选项，数形结合得到

也N|max=|GG1+2+3=5+ViU；口选项，由垂径定理得到Cf,

从而得到线段

所的中点的轨迹方程.

【详解】对于A,对于圆02：*+必一2〉-8=°,有32+F_2xl-8=0,

所以点'G』)在圆C?上，则点'(3/)作圆G的切线有且只有一条，故A正确；

对于B,圆£：/+/—2x+4y+l=0化为标准方程得(x-l)2+(y+2)2=4,

则圆G的圆心为G0'—2),半径为2,

圆。2：—2〉-8=0的方程化为Y+(y_Ip=9,

则圆的圆心为圆心G(°』)，半径为3,

因此CGI=V0-O)2+(-2-I)2=Vw

因为3-2(厢＜3+2,所以

所以两圆相交，则圆G和圆G共有2条公切线，故B错误;

对于C,根据圆的图象可知也以鼠=1°。2|+2+3=5+而，故c正确;

对于D,不妨设所中点为尸，则020,£尸，圆的半径为3,

设点尸的坐标为（“/）,又点G的坐标为（0,1）,

所以尸的轨迹方程为-+（yT>=5,故D正确.

故选：ACD.

11.（多选）如图，四边形NBCD是边长为5的正方形，半圆面/W平面48CD,点P

为半圆弧/。上一动点（点尸与点。不重合），下列说法正确的是（）

A.三棱锥尸-45。的四个面都是直角三角形

125

B.三棱锥尸一/8。的体积最大值为4

C.在点P变化过程中，直线PA与BD始终不垂直

D.当直线尸8与平面所成角最大时，点P不是半圆弧的中点

【正确答案】ACD

【分析】对于A,利用空间中直线、平面垂直的有关定理证明即可；

对于B,三棱锥尸-ZB。底面面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断；

对于C,假设垂直，利用空间中直线、平面垂直的有关定理即可推出矛盾；

对于D,首先利用空间向量解决当直线P8与平面所成角最大时，点P的位置，进而

作出判断即可.

【详解】对于A,因为四边形/BCD是正方形，所以△NAO为直角三角形，

又因为ND为直径，所以为直角三角形，

又因为半圆面4P。，平面N8CD,平面4P平面=,AB1AD,

所以N5J_平面4PQ,因为。Zu平面NPQ,所以所以△上48为直角三角形，

因为48J_平面4PQ,PQu平面4PQ,所以481PZ),

又因为WPN,AB^PA=At45u平面尸4S,04u平面尸45,

所以W平面尸48,因为尸8<=平面尸48,所以PDLPB,所以△%£>为直角三角形,

因此三棱锥尸一/8。的四个面都是直角三角形，故选项A正确；

对于B,

过点P在平面APD内作尸E工于点£,

因为平面/W平面48CD,平面4P°C平面48C£>=4D,PEu平面4P£),

所以W平面/BCD,尸£为三棱锥尸-480的高，所以三棱锥尸-48。的体积

y=%,PE

c1…25

*3AJDF)——x5x5=—

因为△NAD的面积’22为定值，

所以当尸£最大时，三棱锥尸-ZB。的体积最大，此时点尸为半圆弧ND的中点,

PE=LAD=，

22

1255125

—X-----X——--------

所以三棱锥尸一/8。体积的最大值为32212,故B错误；

对于C,若点尸变化过程中，直线尸/与AD垂直，由圆的性质WPZ,

PDcBD=B,

所以尸2,平面PAD,PBu平面PBD,所以尸

又由A知：ABLPA,在同一平面内，一条直线不可能同时垂直于两条相交直线，

所以点P变化过程中，直线产工与2。始终不垂直，故选项C正确；

对于D,由选项B解析可知：尸£,平面N8CD,£8为网在平面内的投影,

所以NPBE直线PB与平面ABCD所成角，当直线PB与平面ABCD所成角最大时，

cosZPBE取最小值，

以力为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

在直角三角形幺尸。内，PE2=AE-ED,即/=a(5_q).

所以£(凡0,0),尸(见0,h),5(5,5,0)所以BP=(a-5,-5,h)BE=((2-5,-5,0)

BP-BE_________(a-5y+25

cosZPBE=cos<BP,BE>=

d(a-5)2+25+/8—5了+25

(2

7a-5)+25/l—ioa+sollQ_a1Q-

d(a-5)2+25+/z?1-10a+50+a(5-a)\510-a

因为ae(0,5),所以10—a>0,

所以+-(J?丑-2=出6—2

10—a10_

当且仅当510-a,即a=10-5夜时，

COSZPBE取最小值，直线PB与平面ABCD所成角最大，

此时点P不是半圆弧40的中点，故选项D正确，

故选.ACD

II卷非选择题

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12,已知向量"*满足，=0，4）,展3=6,I"—'=7,则忖=

【正确答案】6

【分析】根据模长公式即可求解.

［详解］由"R，4）可得问="+4-=5

\a-b\=sla2+b2-2a-b=7A/25+P-2X6=7\b\=6

,解得"

故答案为：6

13.在V48C中，sin5+sinC=2sinZ,已知点3,0）,。（3,0）,则点A到直线

BC的最大距离为

【正确答案】

【分析】利用正弦定理及椭圆的定义可得动点A的轨迹，运用数形结合即可求得结果.

【详解】由已知（，），（，），贝U।।

6,

因为sinS+sinC=2sirU,

则由正弦定理可知|4C|+\AB\=2\BC\=12>6=\BC\,

所以动点A的轨迹是以B,C为焦点，长轴长为12的椭圆，不含左、右顶点,

所以当且仅当点A在椭圆的上、下顶点时，点A到直线8c的距离最大为,62-3z=3百.

故答案为.36

3

14.在体积为万的三棱锥N—8C。中，ACLAD,BClBDt平面NCZ),平面BCD,

ZACD=-ZBCD=-

6,4,若点A、8、C、0都在球。的表面上，则球。的表面积为

【正确答案】12兀

【分析】过点A在平面"CO内作垂足点为〃，取线段CD的中点°,连接°幺、

0B,分析可知，三棱锥4―8CZ)的外接球的球心。为。C中点，设球0的半径为火，利

用锥体的体积公式可求出R的值，结合球体的表面积公式可求得结果.

【详解】过点A在平面/CO内作作NX^DC,垂足点为X,

取线段C。的中点°,连接°幺、0B,如下图所示：

0A=OB,CD=OC=OD

因为NCJ_N。，BC1BD,则2

所以，三棱锥”―BCD的外接球的球心。为℃中点，

因为平面/CD,平面BCD,平面ZCDPl平面8c£>=CZ),AHVDC

ZHu平面/C。，则平面BCD,

设球。的半径为R,则0c=2R,

兀兀

又NACD-6,/BCD4,所以，DB=CB=6R,AD=R,AC=6R,

ADxACV37?26八

所以，DC2R2,

所以，三棱锥4—BCD的体积为

-x-xDBxCBxAH=-X-XS/2RX42RX—R=—R3=-

3232262,

解得氏=百，因此，球。的表面积为4兀A?=12兀.

故答案为.12兀

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知点幺（-1'2）,8（T°）,点/关于直线f+l=。的对称点为c.

（1）求V48c的外接圆E的标准方程；

（2）若过点"0'3）的直线/被圆£截得的弦长为2,求直线/的方程.

［正确答案］（1）/+（了_1）2=2

⑵x=l或以一W+9=0

【分析】（1）先利用点关于直线对称求得点0的坐标，再利用待定系数法求得圆的一般方程,

从而配方得解；

（2）利用圆的弦长公式求得圆心E到直线/的距离，再分类讨论直线/斜率存在与否，利用

点线距离公式列式即可得解.

【小问1详解】

依题意，设点C（x/）,

因为点'（T'2）与点C（x/）关于直线x->+1=°对称,

匕=一1

x+1

‘旦山+1=0X=1

，解得h=°,故"，°）,

所以〔22

设V4BC的外接圆E的一般方程为/+V+mE=°(加+炉-4Q°),

(-l)2+22-D+2^+F=0

<(-1)2+02-£>+7?=0

l2+02+Z)+F=0

则〔

则圆E的一般方程为/+/_2y_l=0,

所以圆£的标准方程为-+3TA=2

【小问2详解】

由⑴知，圆E的圆心为“（°」），半径为「=行,

因为直线1被圆E截得的弦长为2,

所以圆心£到直线/的距离为d=万=万斤=1,

当直线/斜率不存在时，直线/方程为x=l,易知满足题意；

当直线/斜率存在时，设直线/的方程为了一3=无（》一1）,即丘一、一4+3=0,

d上k=>

则，解得4,

3

y-3=—（X-1）

此时/的方程为4,即3x—4y+9=0

综上，所求直线/的方程为》=1或3x-4y+9=0.

sin4—sin3_sinC

16.记V/BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b+ca+b.

(1)求A；

——s=@

⑵若BD=4CD,AC=52,求5c.

.2兀

A——

【正确答案】(1)3

(2)5C=V21

【分析】(1)由已知，利用正弦定理可得利用余弦定理可求得2

即可求得A；

A△ABC=35△.ADCc__

(2)由Bond。。，可得2,利用三角形的面积公式可求得

AB=2出,再利用余弦定理即可求得.

【小问1详解】

sin/一sin5sinCa-bc

由b+ca+b及正弦定理得b+ca+b

22

整理得=b+c+bef

b1^-c2-a2-be1

cosA=

又由余弦定理的推论得,2bc2bc2

【小问2详解】

由丽=4函,2,得

-AC-AB-smZBAC=-x^xABx—=^-

即2222,可得/

由余弦定理可得，BC2—AB2+AC2—2AB-AC-cosABAC

=12+3-2x2V3xV3x

,即8C=收

17.已知等差数列｛“〃｝的公差且为",%,%,生成等比数列.

(1)求数列｛“"｝的通项公式；

⑵设"。；+4〃一2求数列｛〃｝前〃项和为S“；

(3)设%=3"an求数列｛'"｝的前项和北.

【正确答案】(1)%=2〃—1

S=-^—

(2)"2»+1

⑶73+("1>3用

【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式;

（2）变形得到"212〃-12〃+1人裂项相消法求和;

（3）利用错位相减法求和即可.

【小问1详解】

根据题意，因为的=5,%,电，生成等比数列,

%+2d=5

所以［（。1+.）2=%（q+4"）,又dwO,

解得4=1,4=2,

a=1+2(«-1)=2«-1

故n

【小问2详解】

D—-------=-----------

+4孔一2(2n-l)2+4/7-2

为v7

1二1J]1______

4722-1(2n-l)(2n+l)2(2〃-12n+lJ

1

所以2/2+1

=Ui1)二〃

2(2/z+1J2〃+l.

【小问3详解】

.0”=%,3"=(2"一1>3"

2n1n

A7；i=C1+C2+--+C„_1+C„=l-3+3-3+--+（2«-3）-3-+（2«-l）-3CD；

37；,=1-32+3-33+---+（2M-3）-3H+（2W-1）-3,,+*

•••①-②得

23H+1

-2Tn=3+2（3+3+---+3）-（2«-1）-3"

9（1-3"-'）

x

=3+2—~3~（2«-1）-3"M

=2（l-/7）-3,,+1-6

.7；=3+（〃-1）3向

,•.

18.已知矩形/BCD中，AB=4,BC=2,E是CD的中点，如图所示，沿5E将

△BCE翻折至ABFE,使得平面ABFE1平面ABCD

（1）证明：BFLAE.

（2）已知在线段8。上存在点尸（点尸与点B,0均不重合），使得P厂与平面DM所成

V6

的角的正弦值是3.

DP

①求DB的值；

②求点尸到平面DEE的距离.

【正确答案】（1）证明见解析

3

（2）①4；②2

【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直;

（2）①先建立空间直角坐标系由线面角的正弦值即可求出比值；

②由空间向量法计算点到平面距离公式计算即可.

【小问1详解】

因为Z3CQ矩形，4B=4,BC=2,E是CD中点，所以幺£=8£=2/,

又48=4,所以幺炉+台6=&g2,所以ZE，

因为平面8石尸_L平面48C。，平面REFI平面45cz)=8£,/石匚平面幺白”，

所以平面8E7"又8/u平面HER,

所以BF~L4E.

【小问2详解】

(1)以°为原点，CD所在直线为x轴，C5所在直线为7轴，建立如图所示空间直角坐标

画C（0,0,0）£＞（4,0,0）5（0,2,0）£（2,0,0）D5=（-4,2,0）DE=（-2,0,0）

火（JJ9,9,

设N是的中点，因为FE=FB,所以FNLBE,

又平面班尸_L平面45CD,平面BEFI平面45c。=BE,EVu平面43cZ),

所以句V,平面/BCD,R(U女)所以叱=(-3/，O,

设丽则。尸=几。5(0<4<1),

所以则加=(-4卬，0),

则方=Y砺+砺=3—3,1一24行)

设平面DEF的一个法向量为〃=(%Nz),

n-DE=-2x=0

n-DF=—3x+y+V2z=0

则

令丫=历，可得x=0,z=-l,

n=（0,V2,-l）

即\z'为平面DER的一个法向量,

设PF与平面DEF所成的角为<,

|V2（l-22）-V2|

PF-n

sin6）=cos（PF,5V6

PFiiV

所以

解Ji

（4=1舍去）,

DP3

所以08的值为4.

।一I

，阿臼2

d~--------------'------V-6--

所以点尸到平面DE尸的距离同62.

1C口上门将/（x）=e*"n"—sinxxe（0,+oo）

19.已知函数,v7,v7.

（1）当a=e时，求卜=/（》）在（°，/（°））处的切线方程；

（2）若（/（"））一（/（"））+'（1+/&）»0恒成立，求°的范围；

兀

（3）若/（X）在（°，兀）内有两个不同零点七，%,求证.5

【正确答案］（1）y=（eT-l）x+eT

_Tt

（2）0<a<V2e^

（3）证明见解析

【分析】（1）求导，即可求解斜率，根据点斜式求解切线方程,

⑵构造函数g（'）='j+ln（l+。，求导，根据单调性可得/（"）=""Tin%20

进而卜罢,构造函数笠”sinx

e,求导判断单调性，即可求解最值得解.

丸(X)在

(3)根据单调递减.证明即可求证％+%＜兀，构造函

tanx

71左G)=-"5——2tanx

2

数e以及cosx,利用导数求解单调性，即可求证.

【小问1详解】

a=e,f(x)=ex-1-sinx,f\x)=ex-1-cosx

贝J，(07」，/(0)=e-'

故切线方程为V_eT=(e-1—l)x,即y=(e^-l)x+eT,

【小问2详解】

(/«-(/(x))2+ln(l+/(%))>

令y(x)=Z,/_/+in(l+/)20

一+/一。

g«)二-一/+ln(l+'),g'，)=3/-2/+—^—=322/+13+("1)2

令t+1t+1

当摩o,g'Oo,g。)在(o,+°0)单调递增,且g(o)=o,

当-1</<0时，g(O=^3-^2+in(i+^)=r2(r-i)+ln(i+r)<o

6v7解集为11J,

e*、•1siru

故"x)=°i-sin^0,(x>0),进而丁石眸即二

ex

V2s:mx+型

I4

令"》)=学〃'(x)=cosx-sinx

e*ex

,715兀

xe[0,^-j,/z(x)>0,h(x)xe