课时1一元线性回归模型参数的最小二乘估计课件-高二下学期数学人教A版选择性

8.2.2课时1一元线性回归模型参数的最小二乘估计邯郸市荀子中学郭素霞

1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义；2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．学习目标

我们称

为Y关于x的____________模型，其中，Y称为_______或_________，x称为_______或_________；a和b为模型的未知参数，a称为_____参数，b称为_____参数；e是Y与bx＋a之间的随机_____.一元线性回归因变量响应变量自变量解释变量截距斜率误差1.一元线性回归模型：2.若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过A.9亿元

亿元C.10亿元

亿元√新知引入思考

由上节课所学，我们知道儿子身高

y

与父亲身高

x

线性相关.在知道

y与

x线性相关的前提下，你能找出近似描述

y与

x之间关系的一次函数表达式吗？根据所得到的关系式，你能估计父亲身高为176cm时，儿子身高约是多少？编号1234567891011121314父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182关键是如何确定

b

和

a的值？

思路点拨

由模型的建立过程可知，参数

a

和

b

刻画了变量

Y

与变量

x

的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近．新知引入思考

从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？思路1：先画出一条直线，测量出各点到直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就得到一条直线．160165170175180185图8.2-2儿子身高/cm父亲身高/cm190185180175170165160可行？新知学习思考

从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？思路2：可以在散点图中选两点画一条直线，使得直线两侧点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线．160165170175180185儿子身高/cm父亲身高/cm190185180175170165160可行？新知学习思考

从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？思路3：在散点图中多取几对点，确定出几条直线，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数作为所求直线的斜率和截距．160165170175180185儿子身高/cm父亲身高/cm190185180175170165160可行？新知学习思考

从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？

思路点拨

利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.160165170175180185儿子身高/cm父亲身高/cm190185180175170165160设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,

(xn,yn)．

设

di表示点(xi，yi)到直线y=bx+a的距离，hi

表示点

(xi，yi)到直线

y=bx+a

的竖直距离，θ表示直线

y=bx+a的倾斜角，则di=hi×|cosθ|，所以思路1中的距离可以用竖直距离替换.

新知学习

竖直距离思考

从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？160165170175180185儿子身高/cm父亲身高/cm190185180175170165160

显然|ei|越小，表示点(xi，yi)与点(xi，bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.由

yi=bxi+a+ei(i=1,2,3...n)，得|yi-(bxi+a)|=|ei|.

特别地，当|ei|＝０时，表示点(xi，yi)在这条直线上．

因此可以用这

n个竖直距离之和

来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”.

新知学习方便计算刻画“整体接近程度”随机误差平方和

在上式中

xi，yi(i=1，2，3，…，n)是已知的成对样本数据，所以

Q由

a和

b所决定，即它是

a和

b的函数.

所以我们取使

Q达到最小的

a和

b的值，作为截距和斜率的估计值。关键是如何确定

b

和

a的值？新知学习思考

如何求a，b的值，使

最小？记新知学习注意到所以所以当

取最小值时，

取最小值0，即

.此时

各项均为非负数，且前

n项与

a无关新知学习上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为综上，当a,b的取值为

时，Q达到最小.新知学习知识归纳1.经验回归方程：2.最小二乘估计:新知学习知识归纳3.经验回归方程的性质:新知学习思考

利用上节课的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式，求出儿子身高

Y关于父亲身高

x的经验回归方程.160165170175180185儿子身高/cm父亲身高/cm190185180175170165160当x=170时，当x=185时，当x=176时，新知学习问题1.如果一位父亲身高为176cm，他儿子长大后身高一定能长到177cm吗？为什么？问题2.根据模型，父亲身高为多少时，儿子的平均身高与父亲的一样？问题3.斜率0.839有什么含义？儿子的身高不一定会是177cm，这是因为还有其他影响儿子身高的因素，回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响，父亲的身高不能完全决定儿子的身高，不过，我们可以作出推测，当父亲的身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右.

新知学习问题4.根据经验回归方程

，高个子的父亲一定生高个子的儿子吗？

同样，矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗？

分析模型还可以发现，

英国著名统计学家高尔顿把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”.后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析.新知学习练一练

6810122356解：（1）作出散点图如图所示.

新知学习方法点拨（1）作出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；

（4）写出经验回归方程并对实际问题作出估计.求经验回归方程的基本步骤新知学习刻画回归效果的方式——残差图法

通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.①

计算残差例如，对于数据表中的第６个观测，父亲身高为172ｃｍ，其儿子身高的观测值为y6=176（ｃｍ），

残差为176-173.265=2.735（ｃｍ）．新知学习编号父亲身高/cm儿子身高观测值/cm儿子身高预测值/cm残差/cm1174176174.9431.0572170176171.5874.4133173170174.104－4.1044169170170.748－0.7485182185181.6553.3456172176173.2652.7357180178179.977－1.9778172174173.2650.7359168170169.9090.09110166168168.231－0.23111182178181.655－3.65512173172174.104－2.1041316416566.553－1.55314180182179.9772.023观察残差表可以看到，残差有正有负，残差的绝对值最大是4.413．②列残差表：③画残差图：残差图：作图时纵坐标

为残差,横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．

好的回归方程对应的残差散点图应是均匀地分布在横轴两侧的带状区域内.且带状区域越窄，说明模型拟合效果越好．越窄越好

观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两侧．说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为σ2的随机变量的观测值．可见，通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设．新知学习练一练观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？(1)(2)(3)(4)图(1)显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型.图(2)显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分.图(3)说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大.图(4)的残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内.

一般地,建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析.借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.新知学习分析残差可以帮助我们解决以下几个问题:(1)寻找残差明显比其他残差大很多的异常点，如果有，检查相应的样本数据是否有错.(2)分析残差图可以诊断选择的模型是否合适，如果不合适，可以参考残差图提出修改模型的思路.新知学习温馨提示在使用经验回归方程进行预测时，需要注意下列问题:(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体.(2)经验回归方程一般都有时效性.(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.事实上，它是响应变量的可能取值的平均值.新知学习例1典例解析

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据．x3456y2.5344.5(1)请画出表中数据的散点图；(2)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)中求出的经验回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．新知学习新知学习典例解析例2

某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；(3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．新知学习新知学