2024-2025学年广西柳州市高一年级上册期末考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广西柳州市高一上学期期末考试数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.集合Z={x1bg兀％>1},则（）

A.leAB.2GJC.3eAD.4eA

2.在三角形45。中，若点。满足丽=2皮，则近=（）

1—►2—►5—►2―►

A.-AC+-ABB.-AB+-AC

3333

2—►1―►

C.-AC+-ABD.-AC——AB

3333

3.已知命题夕：VXGR,x2+x-1>0,贝1为（）

A.3x0GR,XQ+x0-1<0B.3%0GR,XQ+XQ—1W0

C.VXGR,%2+x-l<0D.VxeR,x2+x-1<0

l-cos2x

4.化简:）

A.sinxB.cosxC.2sinxD.2cosx

5.为了得到函数y=2sin，x-野的图象，只要把y=2sin2x的图象上的所有的点（

A.向左平移？个单位长度B.向右平移展个单位长度

O

C.向左平移匚个单位长度D.向右平移三JT个单位长度

7.““>g”是“函数小）=怆（"-1）在区间（°,+8）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题(本大题共4小题)

9.已知函数/(x)=2sinx,则()

A./(x)是R上的奇函数“X)的最小正周期为2万

C.“X)有最大值1/(x)在［0,可上为增函数

10.下列命题正确的是（）

A.若a>b,贝I」/>/

B.若/>户,则°>b

C.若a>0,b>。,且a+b=6,贝UabW3

D.若a>—1,贝！J-------!■<2>1

11.奇函数〃x)(xeR)满足=则下列选项正确的是()

A.“X)的一个周期为2B./（100.4）</（2.6）

/为偶函数D./(2x-4)为奇函数

12.已知函数/(x)=Gsin3_r+cos3x-21g(无+1)的所有非负零点从小到大依次记为

xx,x1,---,xn,贝I()

A.几=8B.〃=9

Vx>

C.Xj+x2H----FX〃—1>D.再+X2■1-----n

三、填空题(本大题共4小题)

13.已知同=2,且£与B的夹角为60。，工为与3方向相同的单位向量，则向量Z在向

量b上的投影向量为.

14.函数的值域为

3

15.已知$M(60。+0：)=,，30°<a<120°,则cose=.

16.已知函数=若函数了=/[.]所有零点的乘积为1,则实数。

[e+l,x<0I0J

的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题)

17.已知函数〃x)=2sin(2龙-/).

⑴求函数“X)的最小正周期及对称轴;

(2)求〃x)在区间上的最值.

18.已知〃x)是定义在R上的偶函数，且x(0时，/(x)=bg]-x+l).

3

⑴求函数“X)在(0,+的上的解析式，并判断其单调性(无需证明)；

(2)若求实数。的取值范围.

19.(1)已知sina=3cosa,求sin?e-2sin?的值；

(2)求4cos40°-百tan50°的值.

20.如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物，其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰,

寓意自信与快乐，现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物，已知生产这种

吉祥物的年固定成本为20万元,每生产x千件需另投入资金c(无)万元，其中c(x)与x之

ax2+bx,0<x<30,xeN,

间的关系为:c(x)*，且函数c(x)的图象过

20x+-------888,x>30,xeN

x-2

/(6,18),8(12,48),C(82,952)三点,通过市场分析，当每千件吉祥物定价为10万元时，该

厂年内生产的此吉祥物能全部销售完.

(1)求a,6,c的值，并写出年利润“x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;

(2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.

21.m,"为函数/(x)=x2-2xlog.6+k)g6a的两个零点，且0<〃<1<加.

(1)若皿=2,求不等式/(x)<0的解集；

(2)比较a,b,1的大小关系.

22.已知函数〃x)=2cos[x+《'inx,g(x)=

⑴求函数〃无)的单调递减区间；

(2)求函数g(x)的零点;

121兀一

(3)若不等式2〃g(x)+—+cos2x-2g(v)+—cos2x-3a+3>0在工£0,—时恒成立,

求实数。的取值范围.

答案

1.【正确答案】D

【分析】求出集合A,结合元素与集合关系判断即可.

【详解】VlogIIx>l=logII7t,：.X>71,：.A={x\x>n},

可知1e/,2史故A、B、C错误；4eA,故D正确.

故选：D.

2.【正确答案】C

【分析】根据向量的线性运算，结合点。的位置，即可求得结果.

【详解】根据题意，作图如下：

0________0________1____o

由题意得通=方+丽=下+(反三方+:国一码三方+(记

故选：C

3.【正确答案】A

【分析】全称命题的否定为存在命题，利用相关定义进行判断即可

【详解】全称命题的否定为存在命题，命题P：\/xeR,x2+x—1>0,

则F为叫wR,XQ+xo-l<O.

故选：A.

4.【正确答案】C

【分析】结合诱导公式和二倍角公式，逐步化简，即可得到本题答案.

l-cos2x1-(1-2sin2x)2sin2x,.

”.---7----=---------------=-------=2sinx

【详解】(兀)sinxsinx.

(2)

故选：C

5.【正确答案】B

【分析】根据三角函数图象之间的变换，结合题意，即可容易判断.

兀

【详解】为了得到函数y=2sin［2X---］--的--图象，只需把函数P=2sin2x的图象上所有

12

7T

的点向右平移万个单位长度.

故选：B

6.【正确答案】D

【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.

【详解】函数/(x)=q奈的定义域为R,

4sin(-x)_4sinx

=一/(4,

E+l-x2+l

，函数〃x)是奇函数，排除AC；

当时

此时图像在x轴的上方，排除B.

故选：D

7.【正确答案】B

【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.

【详解】令〃=办-1，了=lg",

若/(x)=lg(ax-l)在(a,+8)上单调递增，因为y=lg"是(0,+网上的增函数,

则需使〃="-1是(。,+℃)上的增函数且u>0,贝U。>0且/一120,解得。21.

因为［L+s)，故是心1的必要不充分条件,

故选：B.

8.【正确答案】C

【分析】已知条件式变形为/+3。=(3-6)2+33弋构造函数/(幻=/+3)利用单调性

得a=3-b,从而/+6=/一〃+3,利用二次函数的性质即可求出最小值.

7797

【详解】由/一9二学—3。—66得/+3。=62—66+9+.=(3—6y+333,

令〃、)=/+3",6),

•••f(x)在(0,+8)上单调递增，a,6£(0,3),3-6G(0,3),

;.a=3—b,/./+b=Q?—Q+3=(Q—yH—,

24

故当a时，取最小值1^.

24

故选：c.

9.【正确答案】AB

【分析】根据正弦函数的性质依次判断选项即可.

【详解】A：函数的定义域为R,且/'(-x)=2sin(-尤)=-2sinx=-/(_r),为奇函数，故

A正确；

B：函数的最小值正周期为7=7=2%，故B正确；

C：-l<sinx<l,得/(x)=2sinx的最大值为2,故C错误；

D：函数/(x)=2sinx的单调增区间为一5+2^71,5+2左兀(左EZ),

当上=0时，-y+2hl,y+2^>[-p^,即函数在上为增函数，故D错误.

故选：AB.

10.【正确答案】BD

【分析】根据特例判断A,由作差法可判断B,由均值不等式可判断CD.

【详解】对A,0>-1成立，但。2>(-1)2不成立，故A错误；

又寸B,/>投(u—b+ab+Z>2)>0,

而/+"+/=(a+2>>0(q,b不同时为零)，所以Q—6>0,即a>b,故B正

24

确；

对C,由均值不等式可得/4(9)2=9,故仍43不成立，故C错误；

对D,ci>—1,。+1>0,/.—-—卜a+122」—-—(a+1)=2,即----故D正确.

a+1Va+1a+\

故选：BD

11.【正确答案】ACD

【分析】由/(x)=〃l-X)得/(X)的对称轴为x=g,结合/(无)的奇函数性质对选项

逐一辨析即可.

【详解】/(x)=/(l-x),/(X)的对称轴为尤=；,

/(x+2)=/(-x-l)=-/(^+l)=-/(-^)=/(^)>；.T=2,A正确；

7=2,故/。00.4)=/(0.4),/(2.6)=/(0.6),

“X)关于x=；时称，故/(0.4)=/(0.6),B错误；

7J尤一£|=一/13一2尤;==尤一?，/Qx-g］偶函数，C正确；

/(2X-4)=/(2X+4)=-/(-2X-4),〃2x-4)为奇函数，D正确，

故选：ACD.

12.【正确答案】BC

【分析】根据函数零点转化为方程的根的问题，再转化为两函数图象交点问题，故

作出函数图象，数形结合判断交点个数，再由正弦型函数的对称性判断CD选项.

【详解】由f(JC)=V3sin3jc+cos3x-21g(JC+1)=2sin(3x+-^)-2lg(x+1)=0,

JT

可得sin(3x+—)=lg(x+1),

6

即尸sin(3x+g)与y=lg(x+l)的图象在第一象限交点横坐标即为玉

6

因为V=sin(3x+：)<1,>=lg(x+l)=l时，x=9,如图，

令sin（3x+工）=-1,解得3%+匹=2加+龙，k£Z,EPx=^^+—,kGZ,

66239

_47r27r4兀4兀4兀

故由图象可矢口XI+%2>2X,x3+x4>2x,x5+x6>2x,

c/6兀4兀

X

7+%8>2*（7+歹），

x"现

所以X]+%+…+/>2

99

巾生104兀13171

因为再+%2+…+/>~^―若再+x+…+x+x>

289~9~

则需兀，由图知，/<9<3兀，故不成立,

综上可知，BC正确，AD错误.

故选：BC

13.【正确答案】e

【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知数据，求解即可.

【详解】因为々与B的夹角为60。，

所以）在向量B上的投影向量为「卜0$60。？=2*5?=£.

故答案为.2

14.【正确答案】—5+°°j

【分析】由函数“X）定义域求出1--的取值范围，再由。『的单调性即可得解.

【详解】函数的定义域为R，而1-x2〈l,当且仅当x=0时取“=”，又

（；）,在R上单调递减，

于是有§尸&（权=；,

所以函数/（x）=Qjx的值域为

故

15.【正确答案】拽二^

10

34

【分析】先根据5皿60。+口）=丁30°＜6/＜120°,求出3$（60。+a）=-不，再根据凑角

法，余弦的差角公式进行求解.

【详解】因为30。＜。＜120。，所以90。＜60。+。＜180。，

因为sin（60。+a）=（,所以cos（60。+a）=-^1-sin2（60°+cr）=一g,

故cosa=cos［（60。+a）-60。］=cos（60°+cr）cos60°+sin（60°+or）sin60°

525210

故答案为.36-4

10

16.【正确答案】（0』U（2,+s）

【分析】令/则可得y（x）=a,结合的图象，即可得答案.

a

【详解】解：令4区=/,

a

则有/（。=o=，=1,

f（x）=a,

满足题意.

故（0,l]U（2,y）

ATI।兀7ry

17.【正确答案】（1）7=71,X=----1---，左£/;

23

【分析】（1）根据公式直接求解最小正周期，利用整体法结合正弦函数性质，即可

求得结果；

（2）利用换元法，结合正弦函数的性质，即可求得结果.

【详解】（1）因为/（x）=2sin（2x-力，所以/（x）的最小正周期7=芸=/=无；

^2x~—=kn+—,keZf解得X=如+'■，左EZ,

6223

所以“X）的对称轴方程为x=g+：丘Z.

/、人7T,兀兀，2兀兀

（2）令2%-2=%,由xw一■,知”---,—,

6L44」|_33_

所以要求〃尤）在区间-抬上的最值，即求了=2singe上的最值，

当/='时，/n=2sin[-]]=-2,当"/时，y111ax=2s呜=6,

所以/（xL=Gj（x）mm=2

18.【正确答案】⑴函数/（x）在（O,+e）上的解析式为〃x）=bg：（x+l）,

函数在（0,+"）上单调递减，在（-*0）上单调递增；

7

【分析】（1）设x>0,贝!|-尤<0,根据题意得出无+D,然后利用函数为偶

函数即可求解；

（2）结合（1）的结论，求出8）=/（8）=-2,将不等式等价转化为|3a-1|<8,解之即

可求解.

【详解】（1）设x>0,贝iJ-x<0,所以/（T）=bg/尤+1）,

3

又因为“X）是定义在R上的偶函数，所以V=/（》）=/（-x）=logJx+i）,

则函数“X）在（0,+为上的解析式为〃x）=bgjx+l）,

函数在（0,+司上单调递减，在（-8,0）上单调递增；

（2）由（1）可知：/（-8）=/（8）=-2,所以不等式〃3.-1）>-2可化为

八3.-1）>-2=/（8）=〃-8）,结合函数的单调性可知：|3«-1|<8,

77

解得：-所以实数。的取值范围为-彳<。<3.

33

7

19.【正确答案】（1）—；（2）1.

【分析】（1）由已知条件求得tana,再求齐次式的值即可;

（2）利用三角恒等变化，转化目标式，即可求得结果.

【详解】（1）sina=3cosa,则tana=3,

222

,,.2c2「兀1.232sincr-2cosatana-2

故sina—2sin----a=sina-2cosa=——-----------——=------------

12)sina+cosatana+1

^32-2_7

-32+l-io

(2)4cos40°-V§tan50°=4cos40°^sin5°°=4cos40。cos501Qsm50。

cos50cos50

_4sin40"cos40°-6sin50°_2sin80"-QOn50°_2sin(50°+30°)-V5sin50°

cos50°cos50°cos50°

_2sin50°cos30°+2cos50°sin30°-Csin50°_73sin50°+cos50°-\Tbin50

cos50°cos50°

cos50°

cos50°

——%2+8x-20,0<x<30,xGN

20.【正确答案】(1)。=3,6=2,c=16000；“x)=，

6-lOx-1^222+868,X>30,XGN*

x—2

⑵产量为24（千件）时，利润最大为76（万元）

【分析】⑴根据将/（6,18）,8（12,48）,C（82,952）三点代入c（x）中，即可求出a,b,c的值，

根据利润等于收益减总成本，列出关系，将c（x）代入即可；

（2）根据（1）中的解析式，分别求出0<x<30,x230时的最值,进行比较即可求得最大年利

润.

【详解】（1）解:将16,18）,5（12,48）,C（82,952）三点代入c（x）中有:

a=­

36a+6b=186

<144Q+⑵=48，解得b=2

c=16000

20x82+———888=

I82-2

19*

—X2+2x,0<x<30,xGN

故c(x)

20x+1^22-888,x>30,xe

x-2

-1x2+8x-20,0<x<30,xeN*

由题知Z(x)=10xx-c(x)-20=<

1

_10x_^222+868,x>30,xeN

x—2

-1X2+8X-20,0<X<30,XGN*

(2)由(1)知“x)=，

-1Ox-^0+868,x230,xeN

x—2

ii9

当0<x<30时,"x)=——X2+8X-20=——(x-24)+76,

66

所以当尤=24(千件)时，“4^=76(万元)，

当x230时，£(x)=-10尤一^^+868=868-fl(kI16000

x—21x—2,

c/icL八/9160001°°c11oiI~16000.,

=848-l0(x-2)+--------<848-2/iQx-)-------二4g

卜x2JYx2

当且仅当l0(x-2)="绊，即x=42(千件)时取等，

x—2

所以“X）皿="42）=48（万元），

综上：当x=24（千件）时，〃x）1mx=76（万元）

所以当年产量为24千件时，该厂的年利润最大，最大年利润76万元.

21.【正确答案】（1）（后-1,2）

(2)6〉。〉1或0<6<〃vl

【分析】(1)由韦达定理联立消去bg.b得(加+小•加〃=2,从而求得〃的值，得到

/(x)<0的解集；

(2)解法一：根据零点的分布列出满足的不等式组求解即可；

解法二：根据不等式%+〃>2标及韦达定理得log,6>l,求解即可.

【详解】(1)由换底公式得1。8“小1。及。=用•整=1,

1g”Igb

[m+n=2logb/、

依题意得,,两式相乘得加+”•加〃=2

\mn=logba

代入加=2,得〃2+2〃-1=0

由0<〃<1,得〃=行—1，而/(%)<。

故不等式解集为(0T,2)

7(0)=iogfl&>0

(2)解法一：因为0<〃<1<加，故</(l)=lTog”b<0,

bg“b>Q

化简得logf>1,

[a>\fO<tz<l

故人或，A，

\b>a[0<6<〃

即6>〃〉1或。<6<a<l.

解法二：V0<m<n,m+n>2y[mn

BP2logab>2yjlogba,故(味小丫>1,BPlogab>1

[a>\fO<tz<l

故人或「A,

\b>a[0<6<〃

即6>Q>1或。<6<Q<1.

TT2TT

22.【正确答案】(1)—+ATI,—+An,keZ

o3

兀、5兀

(2)x=--F左兀或％=---卜kn,kGZ

v71212

f-3-V71

⑶[2J

【分析】(1)利用三角恒等变换化简〃x),结合三角函数的性质求出单调减区间;

(2)求出g(x)的解析式，令g(x)=0,求解即可；

(3)原不等式化简为2q(sin2x+cos2x)2-2(sin2x-cos2x)-3〃+3〉0,令

t=sin2x-cos2x，问题转化为2/+2%一。—3<0在［TU上恒成立，结合一次函数和二

次函数的性质，分类讨论可得结果.

【详解】(1)

/(x)=2cos(x+jsinx=(囱cosx-