2024-2025学年广西平果市高二年级上册期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年广西平果市高二上学期期中考试数学检测试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知向量=Q，加，〃)，且万//B,则加+〃=()

A.-2B.-4C.2D.4

【正确答案】C

【分析】依题意存在实数，使得很=应，根据根据向量相等得到方程组，解得即可；

解；因为向量1=(1,2,-1)不=(2,加,〃)，且5//3，所以存在实数，使得石=夜，即

7=2,=2

,所以＜2/=加，解得〈加=4,所以加+〃=2

-t=nn=-2

故选：C

2.已知2(3,5),8(5,7),直线的斜率是直线N5斜率的6倍，则直线的倾斜角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【正确答案】C

【分析】先利用题意得到直线的斜率，可得到直线的斜率，即可求得答案

由/(3,5),8(5,7)可得k4B=—=1,

5-3

因为直线的斜率是直线AB斜率的G倍，所以直线的斜率为百，

设直线的倾斜角为。(0"。＜180。)，则tanO=JL解得。=60°,

故选：C

3.若二=(1,1,0)»=(1,0,1)，则£与B的夹角为()

【正确答案】A

【分析】求出两向量的模及数量积，根据cos少=黯y即可求解.

\a\\b\

vi4=lxl+lx0+0xl=l,a=Vl2+l2+02=V2,|6|=712+02+l2=V2,

II

/r£\q空11/--\ri

则cos（叫=耐=苏7r5,且"闫0,兀］,

故选：A.

4.如图，是棱长为1的正方体，若尸在正方体内部且满足

--3—•1--2--

AP=-AB+-AD+-AE,则尸到直线48的距离为（）

523

【正确答案】C

【分析】以A为原点，以分别为x/，z轴建立空间直角坐标系，进而求得不在

在上的投影向量的长度，进而结合勾股定理求解即可.

以A为原点，以AB,AD,AE分别为x,%2轴建立空间直角坐标系，

则1（0,0,0）,5（1,0,0）,£＞（0,1,0）,£（0,0,1）,

__kULIUI__.

所以28=（1,0,0）,4。=（0,1,0）,ZE=（0,0,1）,

___19►Q12

所以万=心存+—而+—9=—（1,0,0）+—（o1,o）+—（o,o』）=

53523Mil

APAB3

所以Q在在上的投影向量的长度为:

5

5.点M为圆C：(x+2『+(.v+l)2=4上任意一点，直线(32+l)x+(2N+l)y=52+2过

定点P,则的最大值为()

A.V13B.V13+2C.2GD.2G+2

【正确答案】B

【分析】先把定点P坐标求出来，P。/)，|九。|最大值为M,C,P三点共线，且C位于

加与尸之间，求解方法为连接定点与圆心的线段长加上半径即可.

(32+l)x+(22+l)_y=52+2整理为：(3x+2y-5')A+x+y-2=0

3x+2y-5=0[x=l(、

令<■八，解得：<,，所以定点p坐标为p。」)，代入圆的方程中，

x+y-2=0['=1

(1+2)2+(1+1)2〉4,所以P(l,l)在圆外，因为点M为圆C：卜+2『+5+1)2=4上任

意一点，设圆C的半径为r=2,所以囚尸|的最大值应该为|PC|+r,由两点间距离公式：

PC=^(-2-1)2+(-1-1)2=V13)所以|〃尸|的最大值为屈+2

y

6.三棱锥/-BCD中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是。

—•1—-1--2--

A.AM^-AB+—AC+-ADB.AM=-AB+-AC+-AD

4123356

——■1—■1—-1—.D.AM=-AB+-AC+]-AD

C.AM=-AB+-AC+-AD

234222

【正确答案】A

【分析】根据空间向量的共面定理计算即可.

如图所示，因为点M在平面BCD内，可设丽7=x就+了而，

则有痴-益=x(/_方)+y西-万”加=(1-x-j)AB+xAC+yAD,

即用向量在，~AC，而表示加，三个基向量的系数之和为1，显然A符合题意.

故选：A.

7.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交

点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆

=l（a〉b〉O）的蒙日圆是一+；?=/+/,若圆（x—3『+（y—4『=9与椭圆

/b2

上+y2=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则加的值为()

m

A.2或8B.3或63C.垂，或屈D.4或64

【正确答案】B

【分析】求出蒙日圆的方程，分析可知，两圆内切或外切，根据圆与圆的位置关系可得出关于

加的等式，解之即可.

由已知条件可知，加〉0且加w1,

蒙日圆方程为/+72=加+1,蒙日圆的圆心为原点。，半径为而开，

圆(x—3y+(y—4)2=9的圆心为4(3,4),半径为3,

因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，

则\0A\=3+6+1或=|3—Vm+l|,

又因为10H=132+42=5,所以，3+J嬴斤=5或3—标工1|=5,解得加=3或63,

故选：B.

8.已知圆C:(x—2>+俨=2,过平面上的点p引圆的两条切线/[A，使得4，/2,则尸的

轨迹方程为()

A(x-2)2+/=16B.(X-2)2+/=4

C.x2+(y-2)2=16D.x2+(y-2)2=4

【正确答案】B

【分析】连接圆心和切点，能得到正方形，贝“PC|=2为定长，即点P在以C为圆心，2为半

径的圆上.

圆0(2,0),半径厂=夜，设P(x,y),

设切线4/2与圆。分别切于48，

所以PA_LAC,PB_LBC,PA=PB,因为两切线丸，4,

所以四边形上4cB为正方形，所以|PC|=2,

点P在以C为圆心，2为半径的圆上，

则P的轨迹方程为(x-2)2+y2=4.

故选：B.

&

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项

只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分.

9.以下四个命题表述正确的是()

A.直线(3+加)工+4〉一3+3加=0(me火)恒过定点(-3,-3)

B.圆X?+/=4上有且仅有3个点到直线/:x-v+V2=0的距离都等于1

C.曲线G.,必+72+2%=0与曲线。2：必+了2-4X一8^+掰=0恰有三条公切线，贝1」

m=4

D.已知圆=],点尸为直线x+2y=4上一动点，过点尸向圆C引两条切线尸4、

PB,其中A、8为切点，则直线48经过定点g]

【正确答案】BCD

【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判

断B；由圆心距等于半径和列式求得加判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系

方程求得直线所过点的坐标判断D.

由(3+m)x+4y-3+3m=0,得3x+4y-3+m(x+3)=0,

x+3=0x=-3

联立＜解得＜c

3x+4歹一3二0b=3

直线（3+加）x+4y-3+3加=0（加e&）恒过定点（-3,3）,故A错误;

••・圆心（0,0）到直线/：x-y+0=0的距离等于1，；•直线与圆相交，而圆的半径为2,

故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，

因此圆上有三个点到直线/:x-y+后=0的距离等于1,故B正确；

两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线G.•必+/+2》=0化为标准式（x+lf+j^=1,

曲线Qx2+v2-4x-8v+/«=0化为标准式（x-2）2+（>-4）2=20-〃z>0,

圆心距为J（2+Ip+4?=5=1+J20—，解得加=4,故C正确；

设点P的坐标为（加,"），,?+^=1,以0P为直径的圆的方程为/+/一小一即=o,

两圆的方程作差得直线的方程为：mx+ny=l,消去〃得，加。-9+2了-1=0,

令x'=0,2y-l=0,解得x=；,y=l,故直线经过定点（；，1）,故D正确.

故选：BCD

V2

10.已知椭圆Q:「+l(o>b〉0）,则下列结论正确的是（）

ab2

A.若a=2b,则椭圆Q的离心率为注

2

B.若椭圆Q的离心率越趋近于0,椭圆越接近于圆

C.若点片，鸟分别为椭圆Q的左、右焦点，直线1过点片且与椭圆Q交于A,B两点，则

△4B6的周长为4a

D.若点分别为椭圆Q的左、右顶点，点P为椭圆。上异于点4,4的任意一点，则直

线尸4,尸4的斜率之积为―匕.

a

【正确答案】BCD

【分析】根据椭圆的方程和几何性质，逐项验证得出结果.

a=2b,且/=人2+02,解得离心率e=g=1,选项A错误;

a2

根据椭圆离心率的性质“离心率越小椭圆越圆”，选项B正确；

根据椭圆的定义，I/周+M阊=2°,忸周+忸g|=2tz

所以△/班的周长为坪+|盟|+忸阊=|/4|+|/阊+忸周+忸g|=4a,选项C正确;

22

根据题意，4（—a,O），H（a，O），设点P（x/），其中=+二=1

ab

所，K=；♦上=-T="22b2,选项D正确.

故BCD.

11.如图所示四面体048。中，0B=0C=4,。4=3,OBLOC,且N/OB=//OC=60。,

CD=^CB,G为ZD的中点，点〃是线段。4上动点，则下列说法正确的是（）

B.当X是靠近A的三等分点时，DH,0C，刀共面;

___.5—•

C.当=时，GH上0A；

D.丽・丽的最小值为-1.

【正确答案】BCD

【分析】以｛方,砺，炭｝为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共

面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假.

以｛方,砺，玩｝为基底，则|方|=3,|砺|=|玩|=4,

OA-OB^OA-OC^6,OBOC^O-

对A：因为

而=/+而=%+汐万一羽1君

所以

OG=OA+AG=OA+-AD=OA+-\-OA+-OB+-OC\=-OA+-OB+-OC,故

22133J236

A错误；

对B：当〃是靠近A的三等分点，即而=2次时，

3

丽=京_赤=一刀_，刀+：砺+M]=抑-洒-户，

___.?—•1__■

又AB=OB-OA，所以。笈=一§48—gOC.故而，在，0c共面.故B正确；

对C：因为

HG=0G-0H^0A+AG-0H=OA+^AD-yOA

26

—.1（—.2—•1—5—•1—■1—.1.

=0A+-\-0A+-0B+-0C——0A=——0A+-0B+-0C,

2133J6336

所以：

liG0A=\--0^+-0B+-0C\0^=--0A+-0B0A+-0C0^

L336J336

x9+—x6+—x6=0,

336

所以济，万，故而，方，故c正确；

对D：设面=2E，（0<2<1）.

因

为=砺=WA-{OA+AD^=2CZ4-^CZ4-O2+yO5+^OCj

=AOA--OB--OC

33

所以

DH-OH=f^OA——OB——0Cj-AOA=（20Z）——0A-OB——0A-0C=9/12—6A<

（0<2<1）.

当X=g时，DH-OH有最小值，为：9xg-6x；=-l,故D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知实数X/满足/+了2一4%一2^-4=0,贝＞]/+「的最小值是

【正确答案】14-675

【分析】根据点和圆的位置关系求得正确答案.

方程X?+「-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(v-l)2=9,

所以(xj)是以(2,1)为圆心，半径为3的圆上的点，

(o,o)与(2,1)的距离是7FTF=V5，

所以/+/的最小值是(3-V5)2=14-675.

故14-6班

13.己知直线/：＞-2=后卜-2)与两点/80),点8(4,3),若直线与线段Z3有公共点，则

实数上的取值范围是.

【正确答案】[一°0，5U[2,+oo)

【分析】

写出线段48的方程，联立求得交点坐标，由lWx＜4可求得左的范围.

2k—3

y-2=k(x-2)x-k-1

由条件得-J一二八有解，解得,二，

r=KT

0721

由IV——<4,得ks—或kN2.

k-12

故1°°'gU[2,+oo).

方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题.解题方法是直线(线段)方程求出交点坐标,

利用交点坐标的范围求出参数上的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出尸4口的

斜率，由图形观察出左的范围.

22

14.己知椭圆C：A+"=1(。〉b〉0)的左、右焦点分别为片，鸟，上顶点为A,过耳作/月

ab

的垂线，与y轴交于点尸，若|尸周=半，则椭圆。的离心率为.

【正确答案】—##0.5

2

【分析】设耳(―c,0)，与(。,0),得到直线制的方程为y=：(x+c),解得尸(0,9),再利用

一bb

勾股定理即可求解.

设片(―c,0),月(c,0),A(0,b),则直线2心的斜率为—直线尸片的斜率为

cb

直线产片的方程为y=f(x+c),

b

令x=0,得^=土，即P(0,£)，

-bb

因为I尸耳F=QG「+1尸0「，所以(半产=，+(，『，

即a2(a2—c2)=3(a2—c2)c2+3c4,

c1

解得e=—二

a2

四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.平面直角坐标系中，已知V4BC三个顶点的坐标分别为2(3,-2),5(-3,4),C(0,6).

(1)求8C边所在的直线方程；

(2)求V4BC的面积.

【正确答案】(1)2x-3j+18=0

(2)15

【分析】(1)由B,C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程；

(2)用两点间距离公式求B,C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高,

得三角形的面积.

【小问11

因为8(-3,4),C(0,6),所以BC所在的直线方程为u上—一4=上丫+一3，

6-40+3

即2x—3y+18=0.

【小问2】

B,C两点间的距离为忸q=7(0+3)2+(6-4)2=V13，

点A到直线BC的距离d=J——j---------[，

A/22+3213

所以V48C的面积为L*历。辰1=4*/*型姮=15.

211213

16.已知圆C.V+j?=/(尸>o)若直线x—>+2=0与圆C相交于A,B两点，且

\AB\=241.

(1)求圆C的方程；

(2)请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点P的坐标，求过点P与圆C相切的直

线4的方程.

①(2,-3)；②(1,g).

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【正确答案】（1）/+/=4

（2）①x=2或5x+12y+26=0；②&+3y-4G=0

【分析】（1）根据圆的几何性质，通过点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，再根据弦长

与勾股定理即可计算出圆的半径，继而得到圆。的方程.

（2）①根据切线切点到圆心距离等于圆的半径，用点斜式表示出直线右的方程，利用点到直

线的距离公式即可求出斜率得出直线方程；②根据切线与过切点的半径与其垂直，即可得出该

斜率继而得出直线方程.

[小问1]

如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点，

根据点点到直线距离公式：|。。|=，兽=&,

根据勾股定理：r=yl\ocf+\BCf=2，

得圆C的方程：x2+/=4

【小问2】

由（1）可知点尸在圆外，若切线斜率不存在，x=2,由图可知x=2为过点P与圆。相切

的直线右的方程;

若斜率存在，根据点斜式设直线的方程为歹+3=2）,整理为一般式

kx~y~2k—3=0,

\-2k-3\5

因为直线乙与圆。相切，则2="艰，解得左=-五,

直线，2的方程为：5x+12y+26=0,

综上所述过点尸与圆C相切的直线人的方程为x=2或5x+12y+26=0.

选②：由（1）可知点尸在圆上，0P的直线方程为y=

则过点p与圆。相切的直线4与垂直，斜率为左=-立

3

整理为一般式氐+

根据点斜式设直线12的方程为j-V3=--(x-1),3y—4g=0.

3

17.如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，ABCF是边长为2的等边三角形，平

面BCF_L平面ABCD,EA=ED=5,二面角E-4D-8的大小是巴.

6

（1）求证：直线跳7/平面ABCD；

（2）求直线AE与平面CDEF所成角的正弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵普

【分析】（1）取AD的中点G,连接EG,则GEL4D,设E在平面ABCD内的射影为O,

连接EO,则£O_L平面ABCD,证明侬_L平面ABCD,则£O//W,进而可证石尸//。7/,

再由线面平行的判定定理即可求证；

（2）以C为坐标原点，分别以向量丽，0的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标

系，求出平面CD斯的法向量为利用向量法求解即可

[小问1]

如图，取AD的中点G,连接EG,则GE，/。，

因为ABCF是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形，

所以ZG=LAD=LX2=1,

22

因为EA=ED=5，

所以GE=YEA2—4G2=J13—1=26・

设E在平面ABCD内的射影为0,连接E0,则£0J_平面ABCD,

连接0A,0D,0G,则△££)(?三AE4。，

所以0D=Q4,所以/£>，G。，

所以NEGO为二面角E-/O-8的平面角，

7T

所以/£GO=—,

6

所以E0=EGxsin巴=2gxL=C.

62

过F作垂足为H,

因为平面3CF_L平面ABCD,平面3CFc平面45C。=8C,FHu平面BCF,

所以切_L平面ABCD,

又£0J_平面ABCD,

所以E0//EH.

易知FH=G>=E0，连接0H,则四边形EFHO为矩形，

所以EFIIOH,

又£/(/平面ABCD,08u平面ABCD,

所以石力//平面ABCD.

【小问2】

以C为坐标原点，分别以向量函，在的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系,

如图，

^AB=a,则。(0,0,0),r>(tz,O,O),F(O,1,V3),/(a,2,0),E(a—3,1,C),

所以丽=(a,0,0),4=(0,1,6),AE=(-3,-l,V3),

设平面CD£厂的法向量为〃=（x,y,z）,

nLCD

则《

H1CF

n-CD=Of(x,j,z)-(tz,O,O)=O(x=0

gpJ得<

n-CF=O[(xj,z)-(0,l,g)=0'[y+VJz=O

取2=1,得〃=(o,—.

设直线AE与平面CDEF所成的角为。，

n-AE1—3x0+(—l)xV3+1x-\/31

V39

〃|%E^02+(-V3)2+12x^(-3)2+(-1)2+(V3)2IT，

故直线AE与平面CDEF所成角的正弦值为叵.

13

18.已知椭圆E:0+忘=l（a〉b〉O）的离心率为彳，点/在椭圆E上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知椭圆E的右顶点为B,过2作直线与椭圆E交于另一点C,且18cl=苛7|48|，

求直线1的方程.

【正确答案】（1）—+/=1

4

（2）V5X-2J-2A/5=0

【分析】（1）利用给的条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程;

(2)联立圆与椭圆的方程，先求得点。的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得.

【小问11

由题可知£=虫_,其中小=/一所以b

a22

又点Z1,--在椭圆E上，所以=十―^y=l,即4+W=l,解得02=4万=1,

(2Ja24b2a-a2

所以椭圆E的方程为—+y2=l.

4

【小问2】

由椭圆E的方程工+歹2=1，得8(2,0),

4

所以|48|=j(l—2)2+g—0

设其中/e[—2,2),%),因为18cl=当2148|=1，

所以(/-2)?+需=1,

22

又点。(%,%)在椭圆£：3+/=1上，所以学+了；=1,

(%-2)+y；=1

联立方程组1考，，得3年-16%+16=0,

彳+%-

4

解得％或％=4(舍)，

当兀=：时,y°=土浮即。*乎或。p-y--

所以当C的坐标为:，,j时，直线的方程为也x+2y-2也=0；

当C的坐标为§，—w时，直线的方程为逐％—2y—=0.

综上，直线的方程为氐+2y—26=0或氐—2y—26=0.

19.如图，四棱锥P—4BC。中，底面4