2024-2025学年广西平果市高二年级上册期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年广西平果市高二上学期期中考试数学检测试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知向量”（12T）不=。，风〃），且、/区,则根+〃=（）

A.-2B.-4C.2D.4

【正确答案】C

【分析】依题意存在实数，使得3=历，根据根据向量相等得到方程组，解得即可；

解：因为向量"=02—1）工=（2,巩〃），且1//B,所以存在实数，使得3=%，即

7=2'=2

<2t-m<m=4

（2,ffl,77）=Z（l,2,-l）^所以=解得［〃=—2,所以加+〃=2

故选：C

2.己知/（35），8（57）,直线的斜率是直线48斜率的G倍，则直线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【正确答案】C

【分析】先利用题意得到直线48的斜率，可得到直线的斜率，即可求得答案

,=7-5

由4（3,5）,8（57）可得3B—5—3一,

因为直线的斜率是直线48斜率的G倍，所以直线的斜率为吞，

设直线的倾斜角为网°""180°）,则tan。=G,解得°=60。，

故选：C

II

3,若。=（U，0）力=（1,0,1）,则a与3的夹角为（）

71712兀57r

A.3B.6c.3D,6

【正确答案】A

赢

【分析】求出两向量的模及数量积，根据IIII即可求解.

t7-Z>=lxl+lx0+0xl=l,a=Vl2+12+02=V2,|ZJ|=Vl2+02+12=V2

cos（谪=瑞=11

'/卜帆正义62且(a,B)e[0,7i]

则

故选：A.

4.如图，/BCD-E尸GH是棱长为1的正方体，若尸在正方体内部且满足

-AP-=-3A—B•+-1A―D-+-2A—E■

3

A.4B.5C.6D.5

【正确答案】C

【分析】以A为原点，以“民40，NE分别为X//轴建立空间直角坐标系，进而求得

方在森上的投影向量的长度，进而结合勾股定理求解即可.

以A为原点，以“民分别为x，N，z轴建立空间直角坐标系,

刖2(0,0,0)5(1,0,0)D(0,1,0)£(0,0,1)

火ufJ/,J

UUUJ

所以羽=(1,0,0),20=(0,1,0),ZE=(0,0,1)

—►3—►1—.2—►31?

AP=-AB+-AD+-AE=-(1,0,0)+-(0,1,0)+-(0,0,1)=

所以523Sit)

AP-AB_3

——\AB\5

所以4P在上的投影向量的长度为：II

5

所以尸到直线48的距离为6

5.点M为圆gG+2)+3+1)=4上任意一点，直线

(3"+1b+(2'+1)k5几+2过定点「，则的最大值为()

A.而B,巫+2273D.2e+2

【正确答案】B

【分析】先把定点p坐标求出来，°(1/)，最大值为川，C,尸三点共线，且C位

于“与P之间，求解方法为连接定点与圆心的线段长加上半径即可.

(3A+1)%+(24+l)y—52+2簸钾sr(3x+2y—5)%+x+y—2=0

3x+2y-5=0ix=l

令［x+y—2=0,解得：［y=l,所以定点P坐标为0(1/)，代入圆的方程中，

(1+2)2+(1+1)2>4,所以尸(U)在圆外,因为点M为圆C：(x+2)2+(y+l)2=4上任

意一点，设圆C的半径为r=2,所以I"外的最大值应该为PC+1由两点间距离公式：

PC=J(-2-正所以阿的最大值为g+2

6.三棱锥4—88中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是()

--1--1—-2—■

AM=-AB+—AC+-AD~AM=-AB+-AC+-AD

4123B.356

——■1一1--1―-

AM=-AB+-AC+-ADAM=-AB+-AC+-lD

:.234D.222

【正确答案】A

【分析】根据空间向量的共面定理计算即可.

如图所示，因为点M在平面BCD内，可设+

AM-AB=x^C-AB'yy(AD-AB^AM=(1-x-y)AB+xAC+yAD

则有

即用向量方，AC,近表示三个基向量的系数之和为1,显然A符合题意.

故选:A.

7.画法几何学的创始人一法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的

交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆

JQy

/+〃1(。〉，〉。)的蒙日圆是/+/=/+匕若圆(I)+&_4)=9与椭圆

J-

m的蒙日圆有且仅有一个公共点，则加的值为()

A.2或8B.3或63C.省或届D,4或64

【正确答案】B

【分析】求出蒙日圆的方程，分析可知，两圆内切或外切，根据圆与圆的位置关系可得出关

于加的等式，解之即可.

由已知条件可知，机＞°且加W1,

蒙日圆方程为一+/=心+1,蒙日圆的圆心为原点O,半径为而斤，

圆(X-3)+&-4)=9的圆心为4(3,4),半径为3,

因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，

则=3+而I或|。/|=B

又因为如=4+42=5,所以，3+J加+1=5或〔3—+=解得机=3或63,

故选：B.

8.已知圆C：(x—2『+「=2,过平面上的点P引圆的两条切线人右，使得L上4,则p的

轨迹方程为()

2222

A(X-2)+y=16B(x-2)+y=4

x2+(y-2)2=16J-)x2+(y-2)2=4

【正确答案】B

【分析】连接圆心和切点，能得到正方形，则忸1=2为定长，即点P在以C为圆心，2为

半径的圆上.

圆。(2,0),半径”及,设尸(xj),

设切线4,12与圆c分别切于48,

所以P"上"GPB』BC,P4=PB,因为两切线4U,

所以四边形R4cB为正方形，所以1尸0=2,

点P在以C为圆心，2为半径的圆上，

则P的轨迹方程为(％-2)2+/=4.

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选

项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分.

9.以下四个命题表述正确的是()

A,直线G+加)x+4歹一3+3加=0(meR)恒过定点(-3,-3)

B.圆/+廿=4上有且仅有3个点到直线/：x-.V+应=°的距离都等于1

C,曲线01：必+/+2%=0与曲线°2：必+/_4》_87+加=0恰有三条公切线，则

m=4

D.已知圆°：/+/=1,点尸为直线x+2y=4上一动点，过点尸向圆C引两条切线尸/、

PB,其中A、2为切点，则直线48经过定点Si

【正确答案】BCD

【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径

判断B；由圆心距等于半径和列式求得加判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线

系方程求得直线所过点的坐标判断D.

由(3+m)x+4y—3+3m=0得3x+4y-3+m(x+3)=0

x+3=0x=—3

联立自+外―3=0,解得g,

...直线（3+m）x+4歹-3+3加=0（meR）恒过定点（-3,3）,故人错误；

•.•圆心（0，°）到直线/：》-？+亚=°的距离等于1,.••直线与圆相交，而圆的半径为2,

故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，

因此圆上有三个点到直线/：x—V+后=°的距离等于1,故B正确；

两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线G：x2+V2+2x=°化为标准式（X+1P+/=1,

曲线町+加=0化为标准式（x-2）2+（y-4『=20-加＞0,

圆心距为收+1）2+42=5=1+,20一加,解得阳=4,故c正确；

设点尸的坐标为（加M,；・4+2一，以。尸为直径的圆的方程为Y+V-MX-町=0,

两圆的方程作差得直线48的方程为：mx+ny=lt消去〃得，2,

y1111

x—=o①1_'——y——（——）

令2,2y—l=0,解得4,2,故直线4B经过定点4,2,故D正确.

故选：BCD

Q:5+-=1（a〉6〉0）

10.已知椭圆或b一,则下列结论正确的是（）

也

A.若a=2b,则椭圆Q的离心率为2

B.若椭圆Q的离心率越趋近于0,椭圆越接近于圆

C.若点片，片分别为椭圆。的左、右焦点，直线1过点片且与椭圆。交于A,B两点，则

△28鸟的周长为4a

D.若点分别为椭圆。的左、右顶点，点p为椭圆。上异于点4,4的任意一点，则直

£

线尸4,的斜率之积为a2.

【正确答案】BCD

【分析】根据椭圆的方程和几何性质，逐项验证得出结果.

ra=2b,且/=户+°2,解得离心率a2,选项A错误；

根据椭圆离心率的性质“离心率越小椭圆越圆”，选项B正确；

根据椭圆的定义，MM叫=2a，|瓯+1组=2a

所以的周长为|四+|典|+愿|=|泪+网|+|附+愿|=4",选项V正确;

X2y2_

根据题意，设点尸(XJ),其中“+〃

b~/22\

,JJ_/―/(。-X)b2

kpAkpA———2T-22-2~

所以x+ax-ax--ax-a-a,选项D正确.

故BCD.

11.如图所示四面体0Z8C中，0B=0C=4,0A=3,OBLOC,且

ZAOB=ZAOC=60°t3,G为ND的中点，点8是线段。4上动点，则下列说法

正确的是。

B.当，是靠近A的三等分点时，DH,0C,方共面;

OH=-OA

C.当6时,GHVOA.

D.DHOH的最小值为—1.

【正确答案】BCD

快,函反｝

【分析】以为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量

共面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假.

以仍瓯叫为基底,则网=3,|砺|=国一以砺=万反”

OBOC=0

AD=AC+CD=AC+-CB=AC+-(AB-AC^-AB+-AC

对A：因为33、733

=海—刀）+*_刘=_刀+洒+；灰

__1_-.1

OGk=OA+AG=OA+-AD=OA+--OA+-OB+-

所以2233

=-OA+-OB+-OC

236,故A错误;

OH=-OA

对B：当”是靠近A的三等分点，即3时,

=萨

DH^AH-AD33J333

—►2—►1—►

DH=——AB——OC—.

又AB=OB—OA,所以33.故DH,AB0C共面.故B正确;

——.—.——----.——-=OA+-14D--OA

对C：因为HG=OG—OH=OA+AG—OH26

=0A+—(-0A+—OB+—OC]-zOA=_104+—OB+—OC

2133J6336

_

+-OB+—OC\'OA二」o/+J_Qp+j_QQ

所以：HGOA=336J336

x9+—x6+—x6=0

336,

所以〃G,CM,故故c正确；

对D：设面=历，(OWE).

因为丽=两一“初-@+通产力一叵一方+汐+M]

=WA--OB--OC

33

所以说.曲=|'0'T°'—RO"厉=（疝^一,E.砺一:火而

=9A2—6/1

2=-----►——►9x——6x—=-1

当3时，DH-OH有最小值,为：93,故D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知实数X/满足/+/-4x—2y—4=0,则/+/的最小值是.

【正确答案】14—66

【分析】根据点和圆的位置关系求得正确答案.

方程—+/一©-2y-4=0可化为（x-2）2+（y_l）2=9,

所以（X'V）是以G」）为圆心，半径为3的圆上的点，

（°，°）与（2,1）的距离是亚7F=6,

所以x”的最小值是G一⑸"I"6后

13.已知直线/：＞一2=《-2）与两点，（1，0）,点以4,3）,若直线与线段4g有公共点，则

实数左的取值范围是

【正确答案】''」

【分析】

写出线段的方程，联立求得交点坐标，由可求得上的范围.

y-2=k（x-2）

由条件得="—IO*"""）有解，解得

由一左T一，得一2或422.

1—00,、U[2,+00）

故I2」

方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题.解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标,

利用交点坐标的范围求出参数片的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出

尸4必的斜率，由图形观察出左的范围.

22

C—+yy=l（fl>Z）>0）FF"

14.已知椭圆ab-的左、右焦点分别为巧"2,上顶点为A,过冬作

/乙的垂线，与歹轴交于点尸，若3,则椭圆°的离心率为.

【正确答案】2##0.5

【分析】设耳（—，'0）,°）,得到直线PFi的方程为‘一/+'）,解得"°力，再利

用勾股定理即可求解.

bc

i（，），2（，），）,则直线伍的斜率为C,直线P片的斜率为Z,

令x=0,得Nb,即R°'6),

22

因为|即『=3『+|PO|2,所以净=。+令,

即02面一)=3(/-02兀2+3c“，

C1

e——————

解得a2.

故2

四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.平面直角坐标系中，己知V/3C三个顶点的坐标分别为/(3,-2),8(—3,4),C(0,6)

(1)求3C边所在的直线方程；

(2)求V48C的面积.

【正确答案】(1)2X-3J+18=0

(2)15

【分析】(1)由B,C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程；

(2)用两点间距离公式求B,C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高,

得三角形的面积.

【小问11

y-4_x+3

因为8(—3,4),C(0,6))所以BC所在的直线方程为6—40+3,

即2%-3歹+18=0

【小问2】

B,C两点间的距离为忸1=4°+3)2+(6-4);而,

J2x3+3x2+18|30而

点A到直线BC的距离也+3213,

-x|^C|xtZ=-xVi3x30^=15

所以V4BC的面积为2213

16.已知圆C."+1="«＞（））若直线£x-，+2=0与圆。相交于人,

B两点，且

\AB\=241

（1）求圆C的方程；

（2）请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点尸的坐标，求过点尸与圆°相切的

直线,2的方程.

①Of②"）

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【正确答案】（1）x2+y2=4

⑵①x=2或5x+12y+26=0；②#x+3歹-48=0

【分析】（1）根据圆的几何性质，通过点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，再根据弦

长与勾股定理即可计算出圆的半径，继而得到圆°的方程.

（2）①根据切线切点到圆心距离等于圆的半径，用点斜式表示出直线,2的方程，利用点到直

线的距离公式即可求出斜率得出直线方程；②根据切线与过切点的半径与其垂直，即可得出

该斜率继而得出直线方程.

【小问11

如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点，

\oc\=LJ_=I.„i_B

根据点点到直线距离公式：3+1,—

根据勾股定理：7也不所=2,

得圆C的方程：/+「=4

【小问2】

由（1）可知点尸在圆外，若切线斜率不存在，》=2,由图可知》=2为过点P与圆C相切

的直线'2的方程;

若斜率存在，根据点斜式设直线,2的方程为V+3=，（x-2）,整理为一般式

kx—y—2k—3—0

2-BM,5

乙—I-----左=----

因为直线与与圆°相切，则11+公，解得12

直线"的方程为：5X+12J；+26=0

综上所述过点p与圆C相切的直线,2的方程为X=2或5x+12y+26=0.

选②：由（1）可知点尸在圆上，”的直线方程为歹=后,

卜=_叵

则过点尸与圆°相切的直线,2与。尸垂直，斜率为3

根据点斜式设直线,2的方程为'3X整理为一般式由x+3y-46=°

17.如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，4BCF是边长为2的等边三角形，平

兀

面8c尸1平面ABCD,EA=ED=,二面角E-/O-5的大小是6.

(1)求证：直线跖〃平面ABCD；

(2)求直线AE与平面CDEF所成角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

V39

⑵年

【分析】(1)取AD的中点G,连接EG,则GEL4D,设E在平面ABCD内的射影为0,

连接E0,则£°工平面ABCD,证明切，平面ABCD,则£0//不归，进而可证

EFH0H,再由线面平行的判定定理即可求证；

(2)以C为坐标原点，分别以向量出,3的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐

标系，求出平面CDEE的法向量为〃，利用向量法求解即可

[小问1]

如图，取AD的中点G,连接EG,则GE1/D,

因为ABCF是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形，

AG=—AD=—x2=1

所以22,

因为EA=ED=JTJ

所以GE=ylEA2~AG2=V13-1=2G.

设E在平面ABCD内的射影为O,连接E0,则£°工平面ABCD,

连接OA,OD,0G,贝IIAED。三AEN。，

所以00=04,所以ND,GO,

所以/EGO为二面角E-40一5的平面角,

ZEGO=-

所以6,

EO=EG义sin色=2A/3X—=石

所以62

过F作用LBC,垂足为H,

因为平面5y平面ABCD,平面5CFC平面48CD=5C,FHu平面BCF,

所以尸"_L平面ABCD,

又E0_L平面ABCD,

所以EO//FH.

易知FH=也=E°,连接OH,则四边形EFHO为矩形，

所以EF//OH,

又EF<Z平面ABCD,C归u平面ABCD,

所以ER//平面ABCD.

【小问2】

以C为坐标原点，分别以向量CD,C5的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系,

如图，

设AB=a,则。(0,0,0),飞」，行)，4。20),£砥3,1,8)

所以丽=(%0,0)赤=(0,1,百)AE=(-3-1,73)

设平面COEE的法向量为〃=卜，乂z),

nVCD

则RE

n-CD=0(x),z)(a,0,0)=0k=0

所以［拓.而=0即’》)(0,1，百)=0得:+屈=0

取Z=l,得二(°，一百，1)

设直线AE与平面CDEF所成的角为。,

/_n-AE1-3x0+(—/30

sin。=cosUAE)=f一一二,=一—’1=-—

则〃「E^02+(^V3)+12X^(-3)2+(-1)2+(73)13

V39

故直线ZE与平面C0£E所成角的正弦值为13.

r（

E:j+与=l（a〉b〉0）—A

18.已知椭圆a-b-的离心率为2,点I在椭圆E上.

（1）求椭圆£的方程；

\BC\=~\AB\

（2）已知椭圆E的右顶点为2,过8作直线与椭圆E交于另一点°,且7

求直线1的方程.

2

X2一

—I-y=1

【正确答案】（1）4'

（2）—2,y—2,yJ~5—0

【分析】（1）利用给的条件列方程求得°力的值，进而得到椭圆的标准方程；

（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点°的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得.

【小问11

c_V3,_1

一——??7b=­a

由题可知。2,其中02=/-6-，所以2,

回1313

又点I1在椭圆E上，所以。枷，即//,解得“=4,4=1,

所以椭圆E的方程为4

【小问2】

2

—+y2=1

由椭圆E的方程4，得8（2,0）,

所以Y1〃，

设C&，%),其中x0+2,2m1],因为PC卜〒

所以(Xo-2)2+y；=1,

2

上,所消+比』

又点CG。，％）在椭圆及4+'-1

(x0-2)+jj=1

彳氏3XQ6XQ

联立方程组—1+16=0

_4

解得“3或%=4（舍），

_4_V5c——C---

当3时，/°,3叵,即（33J或（33人

所以当°的坐标为I，3J时，直线的方程为氐+2y-2退=0；

当°的坐标为133J时，直线的方程为氐-2y-26=0.

综上，直线的方程为氐+2j—2后=0或逐x—2y—26=0

19.如图，四棱锥P—中，底面4BC。是正方形，PDLCD,且尸。=℃=2,

平面尸平面48CD,点£,歹分别是棱R4,尸0的中点，川是棱5c上的动点.

（1）求证：平面。瓦以，平面「4S；