2024-2025学年广西钦州市高三年级上册10月摸底考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年广西钦州市高三上学期10月摸底考试数学

检测试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改

动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

小本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

什正人Z=（x|x〉2]B=[y\2<y<3\

1.若集合111,V1-J,则（）

A.AC\B=0B.AnB=AC.A\JB=BD.A\JB=A

【答案】D

【解析】

【分析】首先判定集合A和集合3的关系，再根据集合的运算确定=A\3B=A.

【详解】由题意可得，集合3是集合A的一个真子集，

则4口3=5,A\3B=A,

故选：D.

2.曲线yngd+i在点（-3,—8）处的切线斜率为（）

A.9B.5C.-8D.10

【答案】A

【解析】

【分析】求导，根据导数的几何意义可得解.

【详解】由已知y=gY+i,则_/=/,

当x=-3时，y'-（一3）2=9,

即切线斜率左=9,

故选：A.

3.若向量45=(2,5),AC=[m,m+l),且A,B,C三点共线，则加=()

2233

A.----B.-C.----D.一

3322

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得益〃正，根据两向量平行的坐标运算求解即可.

【详解】解：由A,2,C三点共线，

得刀〃4，

2

得2(m+1)-5机=0,解得加=§.

故选：B.

4.在四棱锥P—48C。中，“8。//40”是“5。//平面尸40”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理，结合充分、必要条件的定义进行判定.

由8C//4D,8C■平面尸4D,4Du平面尸4D,得5C//平面04D.

由3C//平面尸4D,BCu平面48CD,平面43CD0平面P4D=，得BC//AD.

故"BCHAD”是“//平面PAD”的充要条件.

故选：C.

(it..4TIY3兀..3兀、

5.cos—+isin—cos—+ism—=()

I55共1010)

A.1B.iC.-1D.-i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的四则运算，结合三角恒等变换可得解.

,、斗左力.(兀♦•4兀3兀..3兀、

【详解】Icosy+ism—IIcos—+isin—I

(兀..兀、(3兀..3兀、

=cos—+ism—cos—+ism—

I551010)

兀3兀.兀.3兀.，.兀3兀兀.3兀、

=cos—cos---sm—sin----Fism—cos---1-cos—sin—

510510I510510J

兀..兀

=cos—+1sm—

22

=i,

故选：B.

6.已知双曲线=l的左、右焦点分别为片，F2,尸为C右支上一点，。为坐标原点，0为线

段尸片的中点，T为线段4上一点，且|。丁|=|。。|，则闺T|=()

A.3B.VlOC.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案.

【详解】如图：

因为P为C右支上一点，所以|尸图一|尸闻=2。=2而=8.

因为。为坐标原点，。为线段尸片的中点，所以「闻，闺0|=。|尸周,

则闺=\F.Q\-\QT\=闺。|—|。@=|(|^|-|^|)=4.

故选：C

则不等式（Mvo的解集为

7.定义在R上的奇函数〃x）在（0,+。）上单调递增，且/=0,

IX2-2

()

A.B.一巩

cf—V2,——u｛0｝U(V^,+8)

D.一8,

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据函数的奇偶性、单调性，判断/（。）=0,/（x）在（-。,0）上单调递增，且

0,再结合函数/（X）的单调性解不等式即可.

【详解】由题意可得，/（o）=o,/（X）在（-8,0）上单调递增,

由驾0,得

X2-2>0,或

X2-2<0,

•.•/(x)W0时，x<-1,或

XX2-2>0,即x<—后，或x>&，

二/(x)<〉0解得…厂,

故0,

1八31

•.•/(x)20时,—Vx<0,或—，

33

又2<0，即—夜<x（啦，

<个)"°,解得—Lx<0,或LX<VL

故

X2-2<033

则不等式jfclwo的解集为：xeo-i1,0oi,

X2-2333

故选：D.

ba

8.若数列｛4｝、｛a｝满足%=%=1，"=%—〃+1，n+X=n〃+3,贝。数歹!]{a“+”}的前50项

和为（）

A.2500B.2525C.2550D.3000

【答案】C

【解析】

【分析】又已知可得％+]+4+]=%+〃+2,可知数列｛%+4｝为等差数列，进而可得解.

【详解】因为。2=1，。=4+1一”+1，所以4=%-1+「1，

又%+1=4+〃-1，4+1=%-〃+3，

则%+1+&1=an+bn+2,

所以数列｛%+%｝是首项为%+4=2,公差为2的等差数列，

所以4+4=2+（〃一1>2=2〃,

则数歹U｛%+4｝的前50项和为50x2+x2=50x（2+49）=2550,

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100平方千米）、柳州

市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千

米），来宾市（13411平方千米），崇左市（17332平方千米），这7个市区的面积构成一组数据，则

（）

A.这组数据的极差为22889平方千米

B.这组数据的中位数对应的市区为桂林市

C.这组数据的第40百分位数对应的市区为柳州市

D.这组数据中，大于1.8万平方千米的频率为*

7

【答案】ACD

【解析】

【分析】将这7个数从小到重新排列，求出极差判断A；找出中位数判断B；求出第40百分位数判断C；

求出大于1.8万平方千米的频率判断D.

【详解】解：这组数据（单位：平方千米）按照从小到大的顺序排列为13411,17332,18596,22100,

27800,33500,36300,

所以这组数据的极差为36300-13411=22889平方千米，故A正确；

这组数据的中位数22100平方千米，中位数对应的市区为南宁市，故B错误；

因为7x40%=2.8,所以这组数据的第40百分位数为18596平方千米，

所以第40百分位数对应的市区为柳州市，故C正确；

这组数据中，大于1.8万平方千米的有5个，

所以大于1.8万平方千米的频率为T，D正确.

故选：ACD.

10.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于

2兀与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如:

兀兀

正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为一，故其各个顶点的曲率均为2兀-3x—=兀.如图，在正

33

方体48co-45012中，48=而，则（）

A.在四面体中，点A的曲率为——

12

7兀

B.在四面体45。。］中，点4的曲率大于——

6

C.四面体4SC2外接球的表面积为12兀

D.四面体ABCn内切球半径的倒数为"+4®+30

6

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正方体的性质及四面体的内切球与外切球的半径算法，结合曲率的定义分别计算各选项.

7T

【详解】在正方体43CQ—4gG2中，易证△NCR为正三角形，AB±ADX,ZBAC=~,

在四面体48c中，点A的曲率为2兀-A选项正确;

在正方体ABCD-481GA中，NgB=/BRC,•/tan^AD^=tanZBD.C=-^<1,

77

:.O〈/ADTB=NBDTC<1,在四面体ZBCD］中，点A的曲率为

2兀一++；〉2兀一］；71x2+；717兀

-7，B选项正确;

436

•••四面体ABCD｛外接球的半径即为正方体ABCD-外接球的半径为走.、％=

22

2

•••四面体外接球的表面积为47rx=1871,C选项错误;

四面体的体积％=

32

213义(旧了=3+6&+3月，

四面体ABCD,的表面积5=-x(V6y+-XV6XV12X2+

2

3瓜6

•••四面体内切球的半径r=—=----尸_广=-----尸~广=———广_尸,

S3+6V2+3V31+2V2+V3V6+4V3+3V2

日门1y/-6+4V3+3^/2c注T否pr#.

即一二------------—，D选项正确；

6

故选：ABD.

11.已知函数/(x)=bin2x|+cos4x,则(

/(x)的最大值为j

A.

B./(x)的最小正周期为］

曲线V=/(x)关于直线x=与(左eZ)轴对称

D.当xe［O,可时，函数g(x)=16/(x)—17有9个零点

【答案】BC

【解析】

【分析】化简函数解析式，结合函数的周期性与对称性可判断各选项，根据函数零点的定义可解得

1B

回112乂=：±子，数形结合即可得解.

［详解】/(x)=|sin2x+1-21sin2x|2

当卜in2x|=；时，/(x)取得最大值，且最大值为I,A选项错误;

因为>=卜由2司，y=cos4x的最小正周期均为所以/(x)的最小正周期为B选项正确;

所以曲线y=/(x)关于直线

x=彳(左eZ)轴对称，C选项正确;

令g(x)=16/(x)—17=0,得/(x)=£,则|sin2x|=；土芯,

结合函数>=卜由2城0Wx4兀)的图象，可知方程卜也2$=；±/在［0,可上有8个不同的实根，D选项

错误；

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

,1,1

12.lg-+lg-=•

【答案】-1

【解析】

【分析】根据对数的运算公式直接可得解.

【详解】lg1+lg|=lg^=-l-

故答案为：-1.

13.(x+.v)(x-y)6的展开式中，各项系数之和为,项的系数为

【答案】①.0②.-5

【解析】

【分析】令x=y=l可得展开式各项系数和，写出(X-jo。展开式的通项，利用通项求出/式项的系数.

【详解】令x=y=l,得(x+y)(x—>)6=0,即各项系数之和为0,

6

又(x+y)(x—y)6=x(x—y)6+y(x-y),

6r

其中(x->)6展开式的通项为Tr+l=C'6x-re{0,1,2,3,4,5,6},

所以含的项为xC江3(一方+式"4(_历2=_5X"3,即》与3项的系数为—5.

故答案为：0；-5

14.两条都与轴平行的直线之间的距离为6,它们与抛物线j2=4x和圆(x+4)2+/=4分别交于点

A,8和C,D,则的最大值为.

128百

【答案】

9

【解析】

【分析】设直线CD方程为x=/,结合直线与圆相交可知/e(-6,-2),则直线4B的方程为x=/+6,根

据直线与圆相交的弦长及直线与抛物线相交得弦长可得|48卜|。。|=8，(7+6,4-(+4门,设

m=t+4e(-2,2),结合导数可得\AB\.\CD\的最大值.

【详解】设直线C。方程为x=/,

由己知圆(x+4『+/=4的圆心〃(一4,0),半径厂=2,

由直线CD与圆M相交，即点〃到直线C。的距离"=卜+4|<2,解得—6</<—2,

且|卬=2AP--=2#—«+4.；

直线4B的方程为x=I+6,设见%2，，2)，

x=t+6

联立直线<贝!IVj=2J/+6，y-,=-2J7+6,

「=4x

贝ij3|=|必-为=4J/+6,

则以郎|CO|=254—'+41-4#F6=3+6)4—(7+4『］(―6</<—2)

设加=£+4w(-2,2),

则|^|-|CD|=8,(加+2)(4—42)(-2<m<2),

设f(m)=(加+2乂4一加2)(_2<m<2),

则尸（m）=（4一加2）+（加+2）-（一2加）=-3m2-4m+4=一（3加一2）（加+2）,

22

令/'（加）＞0,解得一2c加＜§,令/'（加）＜0,解得加＜2,

即/（机）在2,1）上单调递增，在（g2］上单调递减，

2（2、25（

即当加=］时，/（机）取得最大值为/=H

则H即\CD\的最大值为8，%=*|叵，

故答案为：生I.

9

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在△45C中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，^.a1+b~=ab+c1bcsvaA=sinC.

（1）求C；

（2）求c的最小值.

jr

【答案】（1）c=-

3

（2）1

【解析】

【分析】（1）根据余弦定理直接可得角C；

（2）结合正弦定理边角互化可知仍=1,则根据基本不等式可得最值.

【小问1详解】

〃2.卜2_21

因为。2+，所以COSC=----------=—，

lab2

因为Ce（0,7i）,所以C=/；

【小问2详解】

因为bcsinZ=sinC,

由正弦定理可知abc=c,

所以仍=1,

由/=仍+。2，

得c2=a1+b~-ab>lab-ab=ab=\，

则c21,

当且仅当a=6=1时，等号成立.

所以c的最小值为1.

16.在六面体ABCD—481GA中，AA11平面ABCD,AAJIBBJ/CCX!/DD,,且底面ABCD为菱

(1)证明：AD2平面/CC/2-

7

(2)若=CG=2,ABAD=60。，AB=BBl=2.求平面481Goi与平面ABCD所成二面角的正

弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵巫

13

【解析】

【分析】(1)先证ZC工AD,AAJBD,再根据线面垂直的判定定理证明8。工平面么。。4.

(2)建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的三角函数.

【小问1详解】

因为四边形N8CD为菱形，所以ZC1AD.

又AAl1平面ABCD,BDu平面ABCD,所以24_LRD.

因为44],ZCu平面NCG4，

所以5。1平面NCG4.

【小问2详解】

由题意得3。=2,AC=2拒

以菱形48CD的中心。为坐标原点，0B，衣的方向分别为x,N轴的正方向，建立空间直角坐标系

Oxyz,如图所示,

则“0,—百,(J,g(1,0,2),C^0,V3,1

所以函=T］，A^=f-i,A|

设平面的法向量为〃1=(x,j,z),

4片•儿］=0

则令z=2,得［=(3,0,2).

B［C［•/=0

易知平面48CQ的一个法向量为0=(0,0,1),

一〃1的222V13

则COS(〃i，〃2

同同V13xl13，

3713

所以平面44G。］与平面ABCD所成二面角的正弦值为

13

17.已知函数/(X)=QX——+lnx.

a

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若/(x)存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析;

(2)(-<x),-l).

【解析】

【分析】(1)求出函数/(x)的导数，再按。分类讨论求出/(x)的单调区间.

(2)由(1)的信息，求出最大值，再建立不等式并构造函数，利用导数单调性求解即得.

【小问1详解】

1Z7V+1

显然QWO,/(%)的定义域为(0,+8),求导得/(%)=]+—=——,

XX

当。>0时，/(x)>0,/(x)在(0,+co)上单调递增；

11

当Q<0时，由得0<x<--,令/'(x)<0,得X〉一一,

aa

则/(X)在(0,-L)上单调递增，在(-工，+8)上单调递减，

aa

所以当a〉0时，/(%)的单调递增区间是(0,+«0；

当。<0时，/(x)的单调递增区间是(0,—工)，单调递减区间是(一上，+8).

aa

【小问2详解】

由(1)知，当且仅当a<0时，/(X)存在最大值，且最大值为/(—L)=—l—L—a).,

aa

11-11-/7/、

设g(a)=—l——ln(—a),求导得g，(a)=-―-=—>0,函数g(a)在(―。,0)上单调递增，

aa-aa

又g(-l)=O,则由g(a)<0,得a<—1,

所以。的取值范围为(-

18.甲、乙两个口袋都装有3个小球(1个黑球和2个白球).现从甲、乙口袋中各取1个小球交换放入另

外一个口袋(即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋)，交换小球“次后，甲口袋中

恰有2个黑球的概率为p„,恰有1个黑球的概率为%.

⑴求,1，名；

(2)求夕2，%；

n31

(3)求数列加“｝的通项公式，并证明Z0一£<—

z=i520

25

【答案】(i)Pi=3,=—

，、1649

(2)Pr=—,q,=—

28181

32

(3)q—,证明见解析

"545

【解析】

【分析】(1)根据古典概型概率及互斥事件的概率公式计算即可；

(2)根据条件概率与全概率公式计算即可；

(3)讨论第〃(〃>2)次换球后甲口袋中黑球的个数为1的情况下的三种情形,构造等比数列计算通项公式,

再由等比数列求和公式结合指数函数的性质证明即可.

【小问1详解】

第1次换球后甲口袋中有2个黑球，即从甲口袋取出的为白球且从乙口袋取出的为黑球，则

212

1339

第1次换球后甲口袋中有1个黑球，即从甲、乙口袋取出的同为白球或同为黑球，得

22115

133339

【小问2详解】

若第2次换球后甲口袋中有2个黑球，

则当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，

当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球，

,,211522116

所ce以P?~Q]x—x—Fp,x—=—x—I—x-=—.

82"3313999381

若第2次换球后甲口袋中有1个黑球，

则当第1次换球后甲口袋中有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，

当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球，

当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，

所以%=(1一%—Pi)x；+qi+pi=n

313333/3o1

【小问3详解】

第〃(〃22)次换球后，甲口袋中的黑球个数为1的情形有：

①若第"-1次换球后甲口袋中有2个黑球，则第〃次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第〃-1次换球后甲口袋中有1个黑球，则第〃次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；

③若第n-1次换球后甲口袋中有0个黑球，则第，次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

2(1122、221

所以9"=Xj+Xl+yXJl+(1-A1-l-

设纵+/=-+2)(zz>2),

则/=一号力一"纵—i，则一=得几=一|­

32f3121

又名-一=-去，所以数列%一^是以一去为首项，一台为公比的等比数列

545[5J459

所以纵-?3

1H），即纵=片〔-』

n32I111

所以学---1------------------

992

1-±

21o«1111

二——X--------=----------------X——<——

451120209〃20,

1—

9

【点睛】思路点睛：根据条件概率与全概率公式得出第几次换球后甲袋1个黑球的第〃-1次换球后甲袋中

黑球个数的情形得出外,%_1的关系式，结合等比数列的求和公式计算即可.

19.若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.

（1）证明：椭圆虻+工=1为“质朴椭圆”.

22554

（2）是否存在实数机，使得椭圆三+匕=1（0（机<36）为“质朴椭圆”？若存在，求机的值；若不存

36m

在，说明理由.

（3）设斜率为2