2024-2025学年九年级数学开学摸底考试卷（湖北武汉专用）（人教版）（全解全析）

2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考

（湖北武汉专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

1.下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（）

A&DB介，呻*

【答案】C

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.根据轴对称图形

的定义逐项分析即可.

【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴

对称图形；

故选：C.

2.一个不透明的盒子中装有1个红球和2个白球，它们除颜色不同外其它都相同.若从中随机摸出一个球,

则下列叙述正确的是（）

A.摸到黑球是不可能事件B.摸到白球是必然事件

C.摸到红球与摸到白球的可能性相等D.摸到红球比摸到白球的可能性大

【答案】A

【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用0来表示不可

能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，

这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为1,但概率为1的事件不一定为必然

事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解.

【详解】解：A选项，装有1个红球和2个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意；

B选项，装有1个红球和2个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意；

C选项，装有1个红球和2个白球，摸到红球的概率是摸到白球的概率是概率不同，不符合题意；

D选项，装有1个红球和2个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键.

3.已知的半径为3cm,点P是直线/上一点，0P长为5cm,则直线/与的位置关系为（）

A.相交B.相切

C.相离D.相交、相切、相离都有可能

【答案】D

【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：

若d<r,则直线与圆相交；若d=r,则直线于圆相切；若d>r,则直线与圆相离.

【详解】因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5.

此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能.

故答案为相切，相交或相离.

【点睛】考查直线和圆的位置关系，需要求出圆心到直线的距离，与半径进行比较即可得出结论.

4.若方程4/_（加一2）x+l=0的左边可以写成一个完全平方式，则用的值为（）

A.—2B.—2或6C.—2或—6D.—6

【答案】B

【分析】根据完全平方式/±2仍+〃=（〃±b）2的结构，flu4x2=（±2x）2,即可求解.

【详解】解：v4x2-（m-2）x+l=0,

•••（2x）2-（m-2）x+l2=0,

••方程4/—（加—2）x+l=0的左边可以写成一个完全平方式，

：.—[m-2）x=±2x-1-2,

-(m-2)=±4,

二加=6或=-2,

故选B.

【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二

次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

5.将抛物线y=(x-l『+2向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是

()

A.y-x2+2B.y=(x+l)2+3C.y=(x+l)~+lD.y=(x-3)~+l

【答案】C

【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可.

【详解】解：由题意得，将抛物线>=(x-l『+2向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得

到的抛物线表达式是y=(x-l+2y+2-l,BPJ=(X+1)2+1,

故选C.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键.

6.下列一元二次方程中，两根之和是-1的方程是()

A.x2-x+6=0B.x2-x-6=0C.x2+x+6=0D.x2+x-6=0

【答案】D

【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用XI+X2=-2计算即可.

a

【详解】A>vx2-x+6=0,

.，.A=b2-4ac=-23<0,

・•・此方程没有实数根，故此选项错误；

B、vx2-x-6=0,

,-.△=b2-4ac=25>0,

・・・此方程有实数根，X1+x2=l,故此选项错误；

C、*.^2+\+6=0,

.•.A=b2-4ac=-23<0,

・•・此方程没有实数根，故此选项错误；

D、vx2+x-6=0,

.-.△=b2-4ac=25>0,

此方程有实数根，

根据根与系数的关系可求X1+x2=-l,

故此选项正确.

故选D.

【点睛】此题考查了根与系数的关系.,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（axO）的两根时，xx--,x-

X11+2aX12

以及根的判别式的运用，注意若△＜（）,则方程没有实数根；若△20,则方程有实数根.

a

7.在一个布袋里装有2个红球,1个黄球,3个黑球，它们除颜色外其他都相同，从布袋中任意摸出一个球，则摸

到黑球的概率为（）

111

A.—B.—C.—D.0

236

【答案】A

【分析】用黑球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率.

【详解】•••在一个布袋里放有2个红球，1个黄球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，.•・从布袋中任意

摸出一个球是黑球的概率为：江：3=1

故选A.

【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解答本题的关键.

8.用一个直径为10c加的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示,

圆锥的母线AB与OO相切于点B,不倒翁的顶点A到桌面Z的最大距离是18c切.若将圆锥形纸帽表面全涂

上颜色，则涂色部分的面积为（）

【答案】C

【分析】连接03,如图，利用切线的性质得05J./5,在RtAAOB中利用勾股定理得/3=12,利用面积法

求得阳=/，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面.

【详解】解：连接作于H,如图,

:圆锥的母线AB与QO相切于点B,

/.OBVAB,

在RtAAOB中，04=18-5=13,0B=5,

AB=收2-52=12,

•・•-OA^BH=-OB-AB,

22

，5//=5X12=60

1313

・••圆锥形纸帽的底面圆的半径为四=瑞，母线长为12,

形纸帽的表面=；X27TX《X12=等乃（C7"2）.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径,

构造定理图，得出垂直关系.也考查了圆锥的计算.

9.已知抛物线了="2+法+。的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）

①。>0,②c=-3,（3）2a-b=0,④当-3<y<0时，x的取值范围是-1<x<0或2cx<3.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【分析】根据抛物线开口向上可知。＞0,抛物线与夕轴交于点（0,-3）,对称轴为x=-，=l,抛物线与x

2a

轴的一个交点为（-L0）,根据对称性可知另一个交点为：（3,0）,据此结合图像即可作答.

【详解】根据抛物线开口向上可知。＞0,即①正确；

抛物线与了轴交于点（。,-3）,

即当x=0时，>=。=一3,即②正确;

对称轴为X=-g=l,

2a

即：-3=1，可得：b+2a=0,即③错误；

2a

抛物线与X轴的一个交点为（-1,。），根据对称性可知另一个交点为：（3,0）,

同理点（0,-3）关于抛物线对称轴对称的点为：（2,-3）,

由图可知：当一l<x<0时，有-3<y<0,

则根据抛物线的对称性可知：当2<x<3时，同样有-3<歹<0,故④正确；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质，注重数形结合是解答本题

的关键.

10.如图，在平面直角坐标系xQy中，直线4B与x轴交于点/（3,0）,与y轴交于点B,OB=2O4,点M

在以点C（T,0）为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是。C的切线，则MN?的最小值为

【答案】C

【分析】本题主要考查切线的性质，坐标与图形,勾股定理等知识,连接CM,CN,由点/的坐标可求出04=3,

由=2CM得08=6,由是OC的切线知ZCMN=90°,由勾股定理得MN?=CNi_CM2，因为CM=3,

所以当CN最小时MV最小，即CN1.4B时CN最小，运用等积法求出CN=|VL代入MN?=CN2-CM。

可得结论.

【详解】解：连接CM,CN,BC,如图,

•••43,0),

OA—3,

VOB=2OA,

OB=6；

AB=y/OA2+OB2=A/32+62=375；

•••MM是OC的切线，

ZCMN=90°,

.-.MN2=CN2-CM~,

■：CM=3,

二当CN最小时儿W最小，即CN_L48时CN最小,

•••C(TO),4(3,0),

:./C=3-㈠)=4,

y,-ACxOB=-ABxCN

22

...gx4x6=；x3«xCN,

...CN=|VL

故选：c

第n卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.点尸的坐标为（x+1/T）,其关于原点对称的点P的坐标为（-3,-5）,则无一k.

【答案】-4

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得x+l=3,y-l=5,解可得x、y的值，即

可求得结果.

【详解】「P、P两点关于原点对称，

x+1=3,y—1=5,

解得：x=2fy=6,

：.x-y=2-6=-4,

故答案为：-4.

【点睛】本题考查关于原点对称的两点的坐标特征，代数式求值，掌握这个特征并建立方程是解题的关键.

12.如图，在4x4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个

白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率

是.

」F「

CICIC5I

Irr

3

【答案】B-

【详解】因为共有13种等可能的情况，其中3处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形，如图，

所以涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的

图形是轴对称图形的概率=]3,故答案为3

13.一个正方形的边长减少3cm后，它的面积比原面积的一半还少:Lcm?,则原来的边长为_.

【答案】10cm

【分析】设原来的边长为x,则减少后边长为x-3,然后根据题意列式并逆运用完全平方公式进行求解.

【详解】设原来的边长为xcm,则9"（x-3）2=1,

.•.x2+12x-20=0,

解得Xi=10,X2=2（不符合题意，舍去）.

所以，原来的边长为10cm.

故答案为10cm.

【点睛】本题主要考查了灵活选用方法解一元二次方程，理解题意列出一元二次方程是解题的关键.

14.在直径为4cm的。0中，长度为26机的弦BC所对的圆周角的度数为.

【答案】60。或120°

【分析】如下图所示，分两种情况考虑：D点在优弧CDB上或E点在劣弧BC上时，根据三角函数可求出NOCF

的大小，进而求出NBOC的大小，再由圆周角定理可求出ND、NE大小，进而得到弦BC所对的圆周角.

【详解】解：分两种情况考虑：D在优弧CDB上或E在劣弧BC上时，可得弦BC所对的圆周角为ND或NE,

如下图所示，

作OF1BC,由垂径定理可知，F为BC的中点,

•••CF=BF=yBC=V3cm，

又直径为4cm,

.，.OC=2cm,

在RtAAOC中,coszOCF=—=—

OC2

/.ZOCF=30°,

vOC=OB,

.-.ZOCF=ZOBF=30°,

.-.ZCOB=120°,

.*.Z,D=—Z.COB=60°,

又圆内接四边形的对角互补,

.-.ZE=120°,

则弦BC所对的圆周角为60。或120。.

故答案为：60。或120。.

【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值,

熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.

15.二次函数y=a/+6x+c（a,b,c是常数，aw0）的自变量x与函数值V的部分对应值如下表：

X-2-1012

y=ax2+bx+ctm-2-2n

且当X=时，与其对应的函数值y>0,有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②一2和3是

20

关于X的方程办2+云+C=/的两个根；（?）0<m+n<—,其中正确结论的是（填正确的序号）.

【答案】①②/②①

【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可判断；②根据二次函数的对称

性即可判断；③根据抛物线的对称轴确定。与b的关系式，再根据已知条件求出。的取值范围即可判断.

【详解】解:①根据图表可知：

二次函数y=aN+6x+c的图象过点（0,-2）,（1,-2）,

对称轴为直线x=^=；,c=-2,

♦..当x=-g时，与其对应的函数值y>0,

在对称轴左侧，y随x增大而减小，

：.a>0,b<0,

二函数图象的顶点在第四象限内；①正确；

②根据二次函数的对称性可知：

（-2,f）关于对称轴x=9的对称点为（3,/）,

即-2和3是关于x的方程aN+bx+c=t的两个根，②正确；

・・,对称轴为直线％=3，

._A_1

-2a~2"

••b---a.

・・•当X=-^■时，与其对应的函数值y>0,

:・Jq-；b-2>0,即-2>0,

「・6Z>—.

3

;对称轴为直线％=去，二次函数y="+bx+c的图象过点(-1,m)(2,n),

・・m~~n，当x~~~1日寸，m.~~ci~b+c==a+a-2:=2a-2,

m+n—4(7-4,

..

•a>二.

3

on

4a-4>y,③错误.

故答案为：①②.

【点睛】本题考查了抛物线与X轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以

及二次函数的性质，解决本题的关键是从表格中获得正确信息，准确进行推理判断.

16.如图，A、C、D、8依次为一直线上4个点，CD=2,APCD为等腰直角三角形，且NCPD=90。,

。。过点A、B、P,且弧4B的度数=90。，则4。8。的值是.

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，弧与圆心角的关系，矩形的性质，勾股定理，正确作辅助线

是解题关键；连接0408,。？，延长尸交分别为凡E,得到△403是等腰直角三角形，则四

边形PFOE是矩形，A/FC,△。班是等腰直角三角形，设AF=CF=x,DE=EB=y,则尸尸=。£=应+》,

进而表示出。£尸尸,。尸，根据勾股定理建立关系式，整理得出中=1,即可求解.

【详解】如图所示，连接。4。8。「，延长尸C*。交/。送。分别为

p

■.-CD=2,APC。为等腰直角三角形

•••PC=PD=y/2,

••・弧42的度数=90。，

.•.△403是等腰直角三角形，

则四边形PFOE是矩形，AAFCQDEB是等腰直角三角形，

设AF=CF=x,DE=EB=y,则尸尸=O£=V^+x，PE=OF=PD+DE=&y

AO=BO=OP=y/2+x+y,

在Rt/XP尸。中，PF2+OF2=PO2

即x~+y~+2>[^x+2H+4=2,xy+x~+y~+2H+2*\/2y+2

整理得，xy=l

■：AC=y[2AF=缶,DB=拒DE=也y

：.ACBD=2

故答案为：2.

三、解答题(本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写

出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(8分)

解下列方程：

(1)X2-3X-4=0；

(2)2(X-3)-x(x-3)=0.

【答案】(1)%=4,苞=一1

(2)X]—3,x?=2

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

(1)找出。，6,c的值，代入求根公式计算即可.

(2)利用提取公因式法提取公因式(x-3)求解即可.

【详解】(1)解：=b=—3,c=—4f

.•.△=/?2-4ac=(-3)2-4xlx(-4)=9+16=25>0

2

方程有两个不等的实数根x=-^+^-4ac=-(-3)±25=3±5

za2x12

解得再=4,(4分)

(2)解：2(x—3)——3)=0

因式分解，得(x-3)(2-x)=0,

.•.x-3=0或2-尤=0.

解得再=3,x2=2.(8分)

18.(8分)

已知关于x的一元二次方程住-1)/-2x+l=0有两个实数根.

⑴求上的取值范围；

(2)当左取最大整数时，求此时方程的根.

【答案】⑴左42且后心

(2)1

【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题关键.

(1)根据一元二次方程的定义，即二次项系数不为0,以及方程有两个实数根时A20建立不等式，解之即

可得到后的取值范围；

(2)根据(1)的结论得到满足条件时左的最大整数，代入原方程求出原方程的根即可.

【详解】(1)解：的一元二次方程信-l)f-2x+l=0有两个实数根

J左一IwO]J左一lw0

,,[A>O，l|]|（-2）2-4（yl-l）>0

解得：女《2且后wl

二.左的取值范围为左W2且女wl.（4分）

（2）解：由（1）可得左取最大整数为2,代入原方程有

x2-2x+\=0

即（I）;。

解得：x=l

当上取最大整数时，此时方程的根为1.（8分）

19.（8分）

如图，O。是△NBC的外接圆，NNC2=90。，点。是NC的中点，连接。。，过点/作48的垂线交。。的

延长线于点£,连接EC,并延长EC与4g的延长线交于点尸.

⑴求证：EC是OO的切线：

（2）若8尸=4,4C=CF,求OO的半径.

【答案】⑴证明见解析

(2)4

【分析】（1）连接。C,先说明OE垂直平分4C得到ZE=C£,再证ACME名AOCE得到

ZOCE=ZOAE=90°,即可证明结论；

（2）先根据等腰三角形的性质得到NCOF=2/尸，再根据EC是O。的切线可得NOCF=90。，进而得到

ZCOF=60°即ASOC是等边三角形，进而得到OB=BC=BF=4即可解答.

【详解】（1）证明：连接OC,

E

.-.ZOAE=90°f

•・•点。是4c的中点，

・・・。。垂直平分4C,即。石垂直平分4。,

・•.AE=CE,

又•；0A=OC,0E-E0,

.•・△04婷△OCE(SSS),

ZOCE=ZOAE=90°,

/.OCLCE,

・•.EC是。。的切线.(4分)

(2)解:如图：

・•.ZCAF=ZF,

又・・・NCOF=2NCAF,

・•.Z.COF=2ZF,

由(1)知，EC是O。的切线,

・・.NOCF=90。,

/.ZC(9F+ZF=90o,

-.ZCOF=60°fZF=30°f

又・：OB=OC,

”力oc是等边三角形，

ZBOC=60°,OB=BC,

ZBCF=ZOBC-NF=300=ZF,

；.OB=BC=BF=4,即。。的半径为4.（8分）

【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、圆周角定理,

等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，综合运用所学知识成为解答本题的关键.

20.（8分）

袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不

到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球.

（1）这个球是白球还是黑球？

（2）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？

为了验证你的想法，动手摸一下吧！每名同学随机从袋子中摸出1个球，记下球的颜色，然后把球重新放

回袋子并摇匀.汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中.

球的颜色黑球白球

摸取次数

比较表中记录的数字的大小，结果与你事先的判断一致吗？

在上面的摸球活动中，"摸出黑球"和"摸出白球"是两个随机事件.一次摸球可能发生"摸出黑球"，也可能发

生"摸出白球"，事先不能确定哪个事件发生.由于两种球的数量不等，所以“摸出黑球"与"摸出白球”的可能

性的大小不一样，"摸出黑球”的可能性大于"摸出白球"的可能性.你们的试验结果也是这样吗？

【答案】（1）都有可能；（2）不一样大，黑球的可能性大；验证：30,15（答案不唯一）；结果和事先判断一

致，试验结果一致

【分析】（1）根据随机事件的定义可知；

（2）根据事件发生的可能性大小判断即可.

【详解】（］）都有可能；（3分）

（2）不一样大，黑球的可能性大.（5分）

验证：答案不唯一，假设全班学生共45人，

汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中.

球的颜色黑球白球

摸取次数3015

根据等可能性的概率，试验结果和事先判断一致；试验结果一致.（8分）

故答案为：30,15（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了事件的可能性，简单概率的求法，掌握比较事件的可能性是解题的关键.

21.（8分）

如图是由小正方形组成的8x7网格，每个小正方形的顶点叫做格点.C为格点，8是以/C为直径的圆

与格线的交点，”为圆外一格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

⑴画出圆的直径BD,并画出劣弧凝的中点及

（2）先在圆上画点F,使ZAEF=45°,再在圆上画点N,使为圆的一条切线.

【答案】⑴详见解析

⑵详见解析

【分析】（1）找到圆心，然后过8点和圆心作射线交圆于点。，即可得解，利用网格平行线找到力B的中点,

过此点和。点作射线OE交圆与点E,即可得解；

（2）找到格线尸。与圆的交点，连FE,AE,此时N4EF就为所求作的点，找到格线打点，连MH,交圆

一点N,此点就为所求作的点.

【详解】（1）解：如图所示，

（4分）

作出/C的中点（即圆心。）,

作射线80交圆与点。，线段BD就为所求作的直径BD,

利用网格平行线找到48的中点，

过此点和。点作射线OE交圆与点£,

此点即为所求作的点；

（2）解:如图所示，

找到格线尸。与圆的交点，连FE,AE,此时N4E产就为所求作的点,

■.■ZA0F=90°,

ZAEF=45°,

找到格点〃点，连MH,交圆一点N,此点就为所求作的点,

（8分）

理由如下，过点N作NQL/C交NC于点

3

在Rt^HGM中，tanAQMN=—,

4

.•.设QN=3x,0M=4x,

OQ=5—4x,

-：OQ2+QN2ON2,

(5-4x『+(3x『=32,

4

x=—

5

•••OM2=52,ON?=9,MN2=16,

■-OM-=ON2+MN~,

：.ZONM=90°,

・•・A/N为O。的切线.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握以上知识点并

灵活运用是解此题的关键.

22.（10分）

【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,△NBC中，若43=12,AC=8,求3c

边上的中线/D的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长/。到E,使连接BE.请根据小明的

方法思考:

A.SSSB.ASAC.AASD.SAS

(2)由"三角形的三边关系"可求得的取值范围是.

解后反思：题目中出现"中点""中线"等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证

的结论集合到同一个三角形中.

【初步运用】

(3)如图2,是△N8C的中线，BE交AC于E,交于/，且=若EF=3,EC=2AE,求线

段班'的长.

【灵活运用】

(4)如图3,在△NBC中，44=90。，。为3C中点，DE1DF,DE交AB于点、E,。尸交/C于点R

连接E尸，试猜想线段成，CF,E尸三者之间的等量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)D；(2)2<AD<10-(3)BF=9；(4)线段班、CF,E产之间的等量关系为：

BE2+CF2=EF2

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判

定定理和性质定理是解题的关键.

(1)根据全等三角形的判定方法证明即可AADC%EDB(SAS)解答；

(2)根据全等三角形的性质结合三角形的三边关系计算即可；

(3)延长AD到朋■，使连接证明△ADC也根据全等三角形的性质解答；

(4)延长切到点G,使OG=£D,连结GRGC,证明ADBE也ADCG,得到3£=CG,根据勾股定理

解答.

【详解】解：(1)在△4DC和△ED2中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDA,

DE=AD

:.“DC知EDB(SAS),故选D；(2分)

(2)■■AADC^EDB,

EB=AC=8,

在中，

AB-BE<AE<AB+BE,

■■AB-BE<2AD<AB+BE

:.2<AD<\G-(4分)

(3)延长4D到使4D=Z)M,连接由

■：AE=EF,EF=3,EC=2AE,

：,AC=9,

•・弘。是△Z5C中线，

CD=BD,

•・•在AADC和4MDB中，

BD=CD

<ABDM=ZCDA,

DM=DA

工八ADC注AMDB,

：.BM=AC=9,ACAD=AM,

•；AE=EF,

ACAD=/AFE,

-AAFE=ZBFD,

••・ZBFD=AM,

.・.BF=BM=AC,

即AF=9；(7分)

(4)线段BE、CF、跖之间的等量关系为：BE2+CF2=EF2.

证明：如图，延长石。到点G,使DG=ED,连结GEGC,

•••ED工DF,

・•.EF=GF,

•・・。是5C的中点，

/.BD=CD,

在△5。石和△CQG中,

ED=GD

<ZBDE=ZCDG,

BD=CD

:FBDE-CDG(SAS),

BE=CG,

■:ZA=90°,

；"B+NACB=90°,

•：ABDE知CDG，EF=GF,

BE=CG,ZB=ZGCD,

.-.ZGCD+ZACB=：90°,即/GCF=90°,

•••RtAC^G中，CF2+GC2=GF2,

■■.BE2+CF~=EF2.（10分）

23.（10分）

某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高

于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数

关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本.

⑴请直接写出y与x的函数关系式；

（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

⑶设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具

店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

［答案］⑴>=_2x+80

⑵25

⑶该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元

【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识;

（1）设>=履+6,根据题意，利用待定系数法确定出V与x的函数关系式即可；

（2）根据题意结合销量x每本的利润=150,进而求出答案；

（3）根据题意结合销量x每本的利润=w,进而利用二次函数增减性求出答案.

正确利用销量x每本的利润=«得出函数关系式是解题关键.

【详解】（1）解：^y=kx+b,把（22,36）与（24,32）代入得

J22左+6=36

124左+6=32'

［k=-2

解得:

则y=-2x+80；（3分）

（2）解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意

得

（x-20）v=150

则（x-20）（-2x+80）=150,

整理得：f-60x+875=0,

解得：X]=25,%=35,

20<x<30,

..x-25,

答：每本纪念册的销售单价是25元；（6分）

（3）解：由题意可得：

w=（x-20）（-2x+80）

=-2X2+120X-1600

=-2（x-30）2+200,

20<x<30,

当x=30时，w最大，w最大=200（元），

答：该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元.（10

分）

24.（12分）

如图，已知抛物线y=-x2+6x+c经过“（4,0）,8（0,4）两点.与x轴另一个交点为C.

图1图2图3

(1)求此抛物线的解析式；

⑵若点M是抛物线上在直线4B上方一点，连接MC,直线C"把△4BC分成面积比为1:3的两部分，请求

出符合条件的M点坐标；

⑶在抛物线上找符合条件的点7,使/L4c=2/C5O,并求出点7的横坐标.

【答案】⑴了=*+3x+4

723

(3)-----或----

1515

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

⑵在线段皿上取加=抑或但净’CM经过点。或点£时符合题意，证明

△AEGSAABOQADFSAABO,得出。(1,3),£(3,1),进而分情况讨论即可求解;

(3)取点〃(1,0),连接5C,过点a作上火，BC于点K,则=2/C2。，设口交了轴于点P,则

tanZTAC=tan2ZCBO=^=^,进而得出则尸当〕，根据对称性可得当尸点在负半轴时，

15OAv15J

-II),求得直线与抛物线的交点的横坐标即可求解.

【详解】(1)解:抛物线〉=-/+厩+0经过4(4,0),8(0,4)两点

J-16+46+c=0

[c=4

6=3

解得:

c=4

••・抛物线解析式为：y=f2+3x+4；(3分)

⑵如图,在线段"上取助1胡或皿CM经过点。或点E时符合题意,

过点。，石分别作x的垂线，垂足分别为八G,则。尸〃80,EG〃8。,

小AEGs小ABO,小ADFs八ABO,

AGEG_AE_\AF_DFAD

'AO~BO~AB~AO~

・7(4,0),3(0,4),

/.OA=OB=4

：.AG=EG=1,AF=DF=3,

：.OF=l,OG=3

.­.D(l,3),£(3,1)；

由丁=-/+3x+4,当y=。时，即-/+3工+4=0

解得：xi=一Lx?=4,

.­.c(-i,o),

①当CM经过点。时，设CM的直线方程为y=klx+bl,

3

[~kx+4=02

[左+4=3,解得: