2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷（南通专用人教版九年级上册+下册全部）（全解全析）

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷

（南通专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：人教版九年级上册+下册全部。

5.难度系数：0.75o

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号厂遥十九运载火箭在酒泉卫星发射

中心点火发射，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

中国火前中国探火航天神舟

中国行星探测

【答案】A

【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180。后与原来的图形完全重合,

所以不是中心对称图形，

选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180。后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形.

故选A.

2.如图，管中放置着三根同样的绳子BB\,CG，小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选取

该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选中同一根绳子的概率为（）

._________________A\

5三尺以

CCi

【答案】c

【详解】解；画树状图如下：

开始

小明AA；

小张AAiBBiCCiAA>BB>CGAAiBB.CCi

由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人选中同一根绳子的结果数有3种，

31

•••两人选中同一根绳子的概率为3=],

故选：c.

3.东方美学钟爱“白银分割”.日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的A4纸（图①）,

对折后得到两个全等的A5纸并与A4纸相似（图②），则图中/4纸长与宽的比值为（）

图①图②

A.-\/5—1B.V2+1c.V2D.V5

【答案】C

【详解】解：设/4纸长与宽分别为招儿

则A5纸长与宽分别为

对折后得到两个全等的A5纸并与A4纸相似,

••xy—A/2，

故选：C

4.如图，AB,DE是。。的直径，弦CD||48,连结2C,BE,若/BCD=a,则/CDE的度数为（）

A.2aB.3aC.90°-aD.90°-2a

【答案】A

【详解】解：：弦CDIM3，

/.Z.ABC-/BCD-cc,

由圆周角可知，ZBCD=ZE=a,

•••OE=OB,/E=/ABE=a,

ZCBE=/ABC+/ABE=2a,

NCDE=ZCBE=2a,

故选：A

5.已知机、几是方程/+5%+2=0的两个实数根，则冽+〃一加〃的值为（）

A.-7B.-3C.7D.3

【答案】A

【详解】•・,加、〃是方程/+5x+2=0的两个实数根，

•工5C2。

..m+n=——=-5,mn=—=2,

11

m+n-mn--5-2--l.

故选：A.

6.平面坐标系xOy中，点/的坐标为（一2,3）,将线段。4绕点。逆时针旋转90。,则点力的对应点4的坐

标为（）

A.（—3,—2）B.（3,2）C.（—2,—3）D.（2,3）

【答案】A

【详解】解：如图，过A作/C，了轴于点C,过4作轴于点8,

则/C=2,CO=3,ZACO=ZA'BO=90°,

又・・・乙4。4=90。,

NA+ZAOC=ZAOC+NBOA'=90°,

NN=/BOA',

又・.・4C=H。,

.•.△40C%0H5（AAS）,

AB=OC=3,OB=AC=2,

故选：A.

7.如图，一次函数了=-无+4的图象与反比例函数y="的图象交于/（I,a）,3两点.在了轴上有一点P,使

PN+P8的值最小，则点P的坐标为（）

A.（4,0）B.（0,4）°。

【答案】D

【详解】解：把点41,。）代入一次函数＞=-》+4,

得a=—1+4,

解得a=3,

Al,3）,

k

点/（1,3）代入反比例函数了=生，得左=3,

X

...反比例函数的表达式＞=士3，

X

.3

y——

两个函数解析式联立列方程组得无，

y=-x+4

解得：％=1,%2=3,

・•・5（3,1）,

作点3作关于y轴的对称点。，交歹轴于点C,连接20,交y轴于点P,

此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小，

.■•^(-3,1),

41,3),

设直线ZM的解析式为'=h+"7,

3=k+m

把。(-3,1)和/(1,3)代入得，

1=-3k+m

k=-

解得：,

m=—

I2

二直线DA的解析式为＞=gx+1",

当x=0时，了=|'，

PA+PB取得最小值时，尸［°，|1.

故选：D.

百

4一

8.已知A48c中，N4和均为锐角，若4C=2,BC=B-3

A."B.-C.—百

D.T

333

【答案】C

【详解】解：过点C作⑵于点D,

在RtZ\/CZ）中，AC-2,sinA-......二—，

AC3

:.CD=AC•sinA=2x—=^~,

33

在RtZXBCD中，8C=G，

9.如图，△ABC是一张直角三角形纸片，4C=15cm,BC=20cm.若将斜边AB上的高CD分成5等份,

然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（）

A.145cm2B.120cm2C.140cm2D.60cm2

【答案】B

【详解】解：如图，

=90°,ZC=15cm,BC=20cm,

AB=ylAC2+BC2=Jl52+2()2=25(cm),

:.-ACBC=-ABCD,

22

Bp|xl5x20=ixCZ>x25,

.-.0)=12(cm).

・••斜边48上的高CD分成5等份，

:.CH=—.

5

•••EF//AB,

NCEF=ZCAB,ZCFE=NCBA,

:.&CEF~ACAB,

,EFCH

12

即£尸_号，

25~TI

EF=5,

即从上往下数，第一个矩形的长为5（。机），

同理可得从上往下数，第二个矩形的长为三口乂25=10（cm）,

从上往下数，第三个矩形的长为平x25=15（ca）,

从上往下数，第四个矩形的长为与、25=20（切），

而所有矩形的宽都为彳（而），

所以4张纸条的面积和为（5+10+15+20）x^=120（0!?）.

故选：B.

10.如图，在平面直角坐标系网格中，点48,C,。都在格点上，过点尸（-3,2）的抛物线

＞=加/+2加x+〃（加＜0）可能经过的点是（）

A.点AB.点3C.点。D.点。

【答案】D

【详解】解：•・•抛物线尸加—+2加x+〃（加＜0）过点尸（一3,2）,

2=（—3『加+2x（-3）加+〃，即2—3加=〃，

*.*m<0,

/.2-3m=n>2,

A.若抛物线j=祇/+2加x+〃(机＜0)过点/(1,3),则3=机+2机+〃，得3=3%与2=3"?+“矛盾，故选

项A不符合题意；

B.若抛物线y=52+2加x+〃(加＜0)过点8(0,2),贝1]2=〃，与〃＞2不相符，故选项B不符合题意；

C.若抛物线了=:内2+2加x+〃(加＜0)过点。(-2,0),则0=(-2)，加+2x(-2)加+〃，得0=〃，与力＞2矛盾，

故选项C不符合题意；

D.若抛物线〉=机—+2g+〃(加＜0)过点。(2,-1),贝-1=22%+2x2m+〃，得-1=87〃+〃，代入

3

2-3〃?=〃，得加=-丁与比＜0相符，故选项D符合题思；

故选：D.

二、填空题(本题共8小题，11,12题每小题3分，其余每题4分，共30分)

11.已知6是一元二次方程/+工-2024=0的两个根，则1+20+6=.

【答案】2023

【详解】解：6是一元二次方程V+x-2024=0的两个根，

a2+a—2024=0,a+b=—1,

a2+a=2024，

a?+2a+6=a?+a+a+6=2024+(-1)—2023,

故答案为：2023.

12.已知二次函数图象的顶点在坐标原点，且图象经过点。,-2).将它向左平移2个单位，再向上平移3个

单位，则平移后对应的二次函数的表达式为.

【答案】y=-2(x+2)+3

【详解】解：设抛物线解析式为了=办二

把(1,-2)代入得4=一2,

所以这个二次函数解析式为了=-2尤2,

把二次函数y=-2x?的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线解析式为：

＞=-2(x+2『+3.

故答案为：y=-2(x+2『+3

13.如图，△NBC中，ZABC=90°,ZA=60°,AB=4,以8c为直径的半圆。交斜边4c于点。，以点C

为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点、E,则阴影部分面积为(结果保留n).

【答案】3拒一兀I-兀+3也

【详解】解：如图，连接OD,BD.

在RtZX/BC中，•.•人=60。，4B=4,

ZACB=30°,AC=2AB=8,BC=^AC2-AB2=4A/3，

ZBOD=2NBCD=60°,则/COD=180°-ZBOD=120°,

「BC是直径，

/.ZBDC=90°,

BD=15C=2瓜CD=yjBC2-BD2=6,

是8c的中点，

OD是ABOC的中线，

；.S的」SBDC=-X-BDXCD=3^3,

30•乃d

=3^-71,

360

故答案为3目-71.

14.代数式x(x+3)中字母x与其对应的代数式的值，部分列表如下:

X-3-2-10123456789

x(x+3)0-2-20410182840547088108

从表中得出方程X(X+3)=54的一个根是；则该方程的另一个根是.

【答案】6-9

【详解】由表格可得，

当尤=6时，x(x+3)=54,

方程x(x+3)=54的一个根是6；

,/x(x+3)=54

/.X2+3X-54=0

+3x—54=0

解得%=6,x2——9

，该方程的另一个根是-9.

故答案为：6,-9.

15.如图，已知△4BC为等腰直角三角形，NB4c=90。,AC=2,以点C为圆心，1为半径作圆，点P为

oc上一动点，连接的，并绕点/顺时针旋转90。得到/尸‘，连接CP,CP的正整数值可以是.

0

【答案】2或3

【详解】解：如图，连接CP、BP',

■：ABAC=90°,旋转角为90。,

NCAP+ZCAP'=ZBAP'+ZCAP'=90°,

/CAP=NBAP',

AP=AP'

在AAPC和AAPB中，<NCAP=ZBAP',

AB=AC

:.“PC也“PB(SAS),

PC=P'B=1,

在等腰Rt448C中，

vAC=2,

BC=A/22+22=2V2，

在△5CP中，有2g-l<CF<2也+1，

当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意.

：.CP的取值范围是：20-1WCPW20+1，

•.♦1<2后-1<2，3<2亚+1<4，

1<CP<4,

，CP的正整数值可以是：2或3,

故答案为：2或3.

16.坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方

法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的43C),小明受到启发，利用“矩”测量超然楼DE的高

度.通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使/C保持水平，点/、从。在同一直线上，//FE=/DEF=90。,

测得NB=0.15m,SC=0.2m,AF=1.7m,£T=37.5m,则超然楼的高度。E=m.

/

二—iss人bi_______□测量工具“矩”

FE

【答案】51.7

【详解】解：如图，令/C所在的水平线与。E交于点G,

­,•ZAFE=ZDEF=ZAGE=90°,

，四边形NFEG是矩形，

AG=EF=37.5m,EG=AF=\.lm,

•・./ABC=/AGD=90°,ABAC=/GAD,

:."BCS"GD,

.AB_BC

,•而一丽‘

vAB=0.15m,BC=0.2m,

.0.15_0.2

…石一丽’

DG=50m,

.•./?£1=Z)G+£,G=50+1.7=51.7m,

故答案为：51.7.

,D

J

依」G

FE

17.阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2

倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”.当矩形的长和宽分别为3和2时，其“加倍矩形”的外接圆半径

为.

【答案】M

【详解】解:设“加倍矩形”的长为x,则宽为[2%(3+2)-对，

依题意得：X[2X(3+2)-A]=2X3X2,

整理得：X2-10X+12=0,

解得：西=5+后，x2=5-V13,

当x=5+VH时，2x(3+2)-x=5-而＜5+而，符合题意；

当x=5-而时，2x(3+2)-x=5+而＞5-而，不符合题意，舍去；

即“加借'的长为5+旧，宽为5-旧，

加倍矩形”的外接圆如图:

矩形的对角线zc即为外接圆的直径，

••・四边形/BCD是矩形，

ZABC=90°,

:.AC=y)AB2+BC2=7(5+V13)2+(5-VB)2=2M,

“加倍矩形”的外接圆半径为M，

故答案为：晒.

k

18.如图，平面直角坐标系中正方形048C的顶点/,C分别在x轴，y轴上，且。/=4,y=-(^*0,x>0)

的图象与正方形。43c的两边/5、3C分别相交于M、反比例函数N两点，且AOIW的面积为3.5,若动点P

在x轴上，则尸M+PN的最小值是.

【答案】5A/2

【详解】解：正方形0/8。中，且O4=/8=8C=4,

点M的横坐标及点N的纵坐标都是4,

:点M、N在反比例函数〉=々4片0,》>0)的图象上,

k

，BM=BN=4——，

4

,S正方形OZ5C=S&BCN+S&OAM+^OMN+^AMBN，

17Lru”,左丫，，

-kH—左+3.5H—4—=4x4,

222(4J

解得：k=12（负值舍去）,

，M（4,3）,N（3,4）,

如图，作点”关于x轴的对称点“，连接将x轴于点P,连接此时PM+PN最小,

•••点M关于x轴的对称点M',

.•・”（4,-3）,

.­,PM+PN=PM'+PN=MN=J（4-3）2+（4+3）2=5亚

故答案为：572

三、解答题（本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）

19.（本小题12分）解方程：

（|）（x-2）（x-1011）=2022；

⑵#-2岳+1=0.

【详解】（1）解：原方程化为/_10131=0,........................................2分

即x（x-1013）=0,........................................3分

所以x=0或x-1013=0,.........................................5分

所以原方程的解是xi=0,%2=1013；.........................................6分

（2）解：由题意可知，0=3,b=—2>/3,c=l,

A=52-4ac=（-2>/3）2-4x3xl=0,.........................................8分

所以上=2道±0,.........................................I。分

2x3

所以%=x2=.............................................12分

20.（本小题10分）

如图，在平面直角坐标系中，AABC顶点的坐标分别为“（-3,3）,3（-5,2）,C（-1,1）.

（1）以点C为位似中心，作出AIBC的位似图形△^/8/C,使其位似比为1：2,且48c位于点C的异侧,

并表示出点A；的坐标.

（2）作出）8。绕点C顺时针旋转90。后的图形

（3）在（2）的条件下求出点5经过的路径长（结果保留Q.

【详解】解：（1）如图，A4/B/C为所作，点小的坐标为（3,-3）；....................1分

（2）如图，ZU2&C为所作；....................6分

⑶CB=F^=历,

所以点8经过的路径长=9°x,x后=叵口......................10分

1802

21.（本小题10分）井字棋是老少皆宜的游戏，规则是：两个游戏者轮流在3*3的格子里留下标记，任意三

个标记形成一条直线即为获胜，小张是班里的井字棋高手，每步均为最佳着法.

（1）小吴执先手去挑战小张，若无论小张如何落子，小吴前两步都会将两个子放在一条直线上，求：小吴输

棋的概率；

（2）小吴不服，让小张执先手，小张第一步选择下中间，若小吴除了第一步均不会犯错，求：小吴和棋的概

率.

故内魏万△

【详解】(1)解：小吴执先手去挑战小张，小吴只有落子在最中间时才不输棋，共有9种等可能的情形，其

中有1种不会输棋，则有9-1=8种会输棋的情形，

Q

.♦.小吴输棋的概率为|：....................4分

(2)解：小张执先手，小张第一步选择下中间，此时还有8个空位，小吴只有下周围4个角处才能和棋，

共有8种等可能的情形，其中和棋的情形有4种，

41

.•小吴和棋的概率为a......................分

♦O/io

22.(本小题10分)如图，反比例函数y=：(x<0)与一次函数y=s+l的图象交于点/(-2,3),点3是反

比例函数图象上一点，5C1X轴于点C,交一次函数的图象于点。，连接

⑴求反比例函数了=&与一次函数>=必+1的表达式；

x

(2)当OC=4时，求△48。的面积.

【详解】(1)解：；反比例函数夕=夕》<0)与一次函数了=妙+1的图象交于点/(一2,3),

k

3=—,3=—2m+1,

-2

••k——6,加——1,

...反比例函数为：y=--,一次函数的解析式为：y=-x+i；........................................4分

X

(2)解：VOC=49

・・・8。，工轴于点。，交一次函数的图象于点。，

・••点8的横坐标为-4,点。的横坐标为-4,

・•・丹=一白=!"，%=4+1=5，....................................6分

4j，。(-4,5),

a7

.•.50=5-5=5,点/到直线8。的距离是一2-(-4)=2,........................................8分

177

=-x2x-=~............................................10分

23.(本小题10分)如图，48为。。的直径，弦CG_L48于。，尸为圆上一点，BC平分NFBA,AF交CG

于点E.

⑴求证：EC=EA；

⑵若/。=1,CG=4,求。。的半径.

【详解】(1)证明：,:BC平分NFBA,

：.NFBC=NABC,

AC^CF>........................................2分

为直径，CG_L48,

-AC=AG>........................................3分

-AG=CF^

：.ZACG=ZCAF,.......................................4分

/.EC=EA-.........................................5分

(2)解：如图所示，连接OC,

CGLAB,CG=4,

CD=-CG=2....................7分

2

设圆的半径为，，则。。=厂-1,

在Rt^OCD中，由勾股定理得，OC2=OD2+CD2,

：.r2=22+(r-l)2)....................8分

解得厂=2.5,

圆的半径为2.5....................10分

24.(本小题12分)某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内,

销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.不妨设该种品牌玩

具的实际销售单价为x元(x>40),销售该品牌玩具获得的利润为卬元.

(1)求出w与尤之间的函数关系式；

(2)若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？

(3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该

品牌玩具获得的最大利润是多少？

【详解】(1)解:由题意得：w=(x-30)[600-10(x-40)],

整理得：w=-1Ox2+1300x-30000；

答：w与x之间的函数关系式为w=-10尤2+i300x-30000；....................4分

(2)解：由题意得：7Ox?+13OOx-3OOOO=6000,

整理,得:x2-130%+3600=0,

解得：xt=90,X2=40(舍去)，

答：该玩具销售单价为90元；....................8分

fx>44，

(3)解:由题意得：j600_10(x_40)>500

角军得：44MxM50；

,/w=-10x2+1300x-30000=-10(x-65)2+12250,-10<0,

.•.当x=50时，函数取得最大值，且最大值为10000；

答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元......................12分

25.(本小题13分)旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达

到解决问题的目的.

（1）【探究发现】如图①，在等边三角形N3C内部有一点P,PA=2,PB=Q,PC=1,求/3PC的度

数.爱动脑筋的小明发现：将线段AP绕点3逆时针旋转60。得到线段连接N"、PP',则

△BPC空ABPA,然后利用ABP尸和“尸尸’形状的特殊性求出ZBP4的度数，就可以解决这道问题.

下面是小明的部分解答过程：

解：将线段2尸绕点8逆时针旋转60。得到线段.BP',连接4P'、PP',

,:BP=BP：ZP'BP=60°,

APBP，是等边三角形,

ZBP'P=60°,PP=PB=6

LABC是等边三角形，

ZABC=60°,BC=BA,

NABC-NABP=NP'BP-ZABP,

即ZPBC=NP'BA.

请你补全余下的解答过程.

（2）【类比迁移】如图②，在正方形N3CD内有一点尸，且尸/=&?,PB=24i，尸。=1，则/8PC=

度.

（3）【拓展延伸】如图③，在正方形43CD中，对角线NC、8。交于点O,在直线上方有一点尸，

P4=4,PD=2,连接尸0,则线段尸。的最大值为______.

AMB-------------C

图①图②图③

【详解】（1）解：将线段AP绕点3逆时针旋转60。得到线段BP.连接4P'、PP：

,:BP=BP',ZP'BP=60°,

是等边三角形，

/./BPP=60°,pp=PB=PB=y5.........................1分

,/LABC是等边三角形,

/ABC=60°,BC=BA,

：.ZABC-NABP=NP'BP-NABP,

即ZPBC=ZP'BA........................................2分

:.△PBgAP'BA

PC=AP'=\.....................................3分

在中，

AP'2+PP'2=12+(V3)2=22=AP"

:.ZAP'P=90°

ZAP'B=ZBP'P+AAP'P=60°+90°=150°

•.ZBPC=NBP'A=150°.........................................4分

(2)解：将线段BP绕点8逆时针旋转90。得到线段8P,连接/尸'、PP',

VBP=BP',AP'BP=90°,

•••四边形238是矩形，

/.ZABC=90°,BC=BA,

ZABC-NABP=NP'BP-NABP,

BPZPBC=ZP'BA........................................5分

:./\PBC^/\P'BA

PC=AP'=\.....................................6分

在冲，

AP'2+PP'2=l2+42=(V17)2=AP2

:.ZAP'P=90°.....................................7分

ZAP'B=NBP'P+ZAP'P=45°+90°=135°

NBPC=NBP'A=135°.

故答案为：135°.........................................8分

(3)解：将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP',连接DP'、PP'.

P

OP=OP',NP'OP=90°,

/.△「方是等腰直角三角形，

/.ZBP'P=45°,pp'=45,PB=4........................................9分

•••四边形N2CD是正方形，

/.ZAOD=9Q°,OA=OD,

：.ZAOD-APOD=ZP'OD-APOD,

^ZPOA=ZP'OD.

:./\POA^AP'OD

PA=P'D=4.....................................10分

在AOPP中，PP'<PD+P'D^6

当点。在PP时，PP=PD+P'D=4+2=6

P'PW6

PP的最大值为6.....................................11分

在RtZiP。尸'中，OP=OP'

：.OP2+OP'1=20P2=PP'2

:.OP=—PP'^—x6=3y/2........................................12分

22

•••OP的最大值为3a.........................................13分

26.(本小题13分)如图1,在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板Z3C,且直角三角板的三

个顶点/,B,C均在坐标轴上,5(-l,0),C(0,V3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,已知直线/C上方抛物线上一点。，连接/2CZ),求ANC。的面积最大值以及此时点。的坐标;

(3)如图2,将原抛物线沿射线/C方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C,已知点尸为新抛物线

上的一点，过8作直线3E〃/C交新抛物线于第四象限的点E,连接PB,PE,当NBPE+NPEB=2NABE

时，写出所有符合条件的点尸的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程.

【详解】(1)解：根据题意，NQ4c=30。，OC=BAC=WC=2yf3,

•*.OA=yjAC2-OC2=3-则/C，0)，

设抛物线的解析式为y^ax2+bx+c,

a-b+c=0

将/(3,0)、8(-l,0),C(0,6)代入，得＜9a+36+c=0,

C=y/3

出

a=------

3